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1、第4節(jié) 萬有引力理論的成就
[精讀探究·縱橫拓展]
1、萬有引力在天文學(xué)上的應(yīng)用:
○理要點:
把天體的運(yùn)動看成是勻速圓周運(yùn)動,其所需的向心力由萬有引力提供。
天體質(zhì)量M、密度ρ的估算。
(R為中心天體的半徑)
在衛(wèi)星貼近天體表面飛行時R=r,故
○悟方法:
(1)研究天體運(yùn)動的理論依據(jù)
我們現(xiàn)在對天體運(yùn)動的計算只能是近似運(yùn)算,所以我們把天體的運(yùn)動看做是由萬有引力提供向心力的勻速圓周運(yùn)動。
(2)相關(guān)公式
研究天體運(yùn)動:
研究天體表面物體重力:
(3)衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動各物理量隨軌道半徑的變化情況
(1) 由得:即隨著軌道半徑的增加,作勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星
2、的向心力和向心加速度都減小。
(2) 由得:即隨著軌道半徑的增加,作勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的線速度減小。
(3) 由得:即隨著軌道半徑的增加,作勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的角速度減小。
(4) 由得:隨著軌道半徑的增加,作勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的周期增大。
(4)估算天體的質(zhì)量
當(dāng)做圓周運(yùn)動的天體繞中心天體運(yùn)行時,只需知道其軌道半徑和運(yùn)行周期,即可求得該中心天體的質(zhì)量。
由得: 其中M即為中心天體的質(zhì)量。
(5)估算天體的密度
由 代入 和 可得 其中R為中心天體的半徑。當(dāng)勻速圓周運(yùn)動的天體繞中心天體表面運(yùn)行時,,則。
說明:(1)在求天體質(zhì)量時,只能求出中心天體的質(zhì)量,不能求出環(huán)繞天
3、體的質(zhì)量。
(2)應(yīng)掌握地球的公轉(zhuǎn)周期、地球的自轉(zhuǎn)周期、月球的周期等,在估算天體質(zhì)量時,應(yīng)作為已知條件。
(6)發(fā)現(xiàn)新天體
憑借著萬有引力定律,通過計算與觀察,在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新天體,這充分的顯示了科學(xué)理論的威力。在浩瀚的宇宙中,還有許多的未知領(lǐng)域,同學(xué)們應(yīng)該刻苦學(xué)習(xí)理論知識,掌握一些科學(xué)的研究方法,為了人類的發(fā)展,去發(fā)現(xiàn)更多的奧秘。
[讀題悟法·思維激活]
○讀題型組
1. 題型一:利用行星估算中心天體的質(zhì)量
例1:為了研究太陽演化進(jìn)程,需知道目前太陽的質(zhì)量M。已知地球半徑,地球質(zhì)量,日地中心距離,地球表面處的重力加速度,1年約為,試估算目前太陽的質(zhì)量M(保留一位有效數(shù)字,引
4、力常量未知)
讀思路:根據(jù)太陽對地球的引力提供地球繞太陽做圓周運(yùn)動的向心力列出相關(guān)方程,再根據(jù)地球表面重力等于萬有引力列出方程聯(lián)立求解。
規(guī)范解:
設(shè)T為地球繞太陽運(yùn)動的周期,則由萬有引力定律和動力學(xué)知識得
對地球表面物體又有
兩式聯(lián)立得
代入數(shù)據(jù)得
題后小結(jié):不能將地球質(zhì)量和地球表面物體的質(zhì)量混為一談。在引力常量未知的情況下應(yīng)能利用題目中的已知量來求得。
題型二:估算天體的密度
例2:一艘宇宙飛船飛近某一個不知名的行星,并進(jìn)入靠近該行星表面的圓形軌道,宇航員進(jìn)行預(yù)定的考察工作。宇航員能不能僅用一只表通過測定時間來測定該行星的密度?說明理由及推導(dǎo)過程。
讀思路:本題不需
5、要具體確定M和R,只需求出即可,而該比值可用宇宙飛船繞行星運(yùn)行的周期表達(dá),周期可用表測出。
規(guī)范解:使宇宙飛船靠近行星表面做勻速圓周運(yùn)動,設(shè)行星的質(zhì)量為M,宇宙飛船質(zhì)量為m,行星半徑為r,測出飛船運(yùn)行周期T
所以
又行星的體積
所以
即宇航員只需測出T就能求出行星的密度。
題后小結(jié):
題型三:萬有引力定律與角速度、周期等
例3:如果到某一天,因某種原因地球自轉(zhuǎn)加快,則地球上物體重量將發(fā)生怎樣的變化?當(dāng)角速度等于多少時,赤道上的物體重量為零?
(,,)。
讀思路:重力是萬有引力的分力,地球上物體隨地球自轉(zhuǎn)作圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力的分力提供,引力的另一分力為重力。在赤道
6、上的物體萬有引力、重力和向心力在一條直線上,結(jié)合其特點和題中條件可知重力為零時,萬有引力充當(dāng)向心力。
規(guī)范解:由以上分析可知,地球自轉(zhuǎn)加快,重力減小。
當(dāng)重力為零時有
則
代入數(shù)值得
題后小結(jié):在通常情況中,物體隨地球自轉(zhuǎn)所作的圓周運(yùn)動所需向心力很小,故可在近似計算中認(rèn)為萬有引力等于重力。但若要考慮自轉(zhuǎn)的影響時則不能近似處理。
○讀高考題
例4、(06四川)蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動。隨著科技的迅速發(fā)展,將來的某一天,同學(xué)們也許會在其它星球上享受蕩秋千的樂趣。假設(shè)你當(dāng)時所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R,可將人視為質(zhì)點,秋千質(zhì)量不計、擺長不變、擺角小于90°,萬有引力常量為G。那么
7、,
(1) 該星球表面附近的重力加速度g星等于多少?
(2) 若經(jīng)過最低位置的速度為v0,你能上升的最大高度是多少?
讀思路:本題的關(guān)鍵是確定星球表面的重力加速度,與在地球表面的求解方法相似。
規(guī)范解:(1)設(shè)人的質(zhì)量為m,在星球表面附近的重力等于萬有引力,有
mg星= ①
解得 g星= ②
(3) 設(shè)人能上升的最大高度為h,由功能關(guān)系得
mg星h= ③
解得 h= ④
題后小結(jié):本題以“秋千”為情景立意命題,涉及了萬有引力
8、定律和功能關(guān)系的知識,題目很基礎(chǔ),但考查了考生運(yùn)用基礎(chǔ)知識分析綜合問題的能力。
例5、(06全國1)我國將要發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的,且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的,月球的半徑約為地球半徑的,地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s,則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為
A.0.4km/s B.1.8km/s C.11km/s D.36km/s
讀思路:本題的關(guān)鍵是確定星球表面的重力加速度,并結(jié)合圓周運(yùn)動的規(guī)律及第一宇宙速度的計算公式處理。
規(guī)范解:B
題后小結(jié):本題涉及圓周運(yùn)動和天體知識,考察了天體表面重力加速度、第一宇宙速度及天體質(zhì)量與半徑的關(guān)系,要求學(xué)生能熟練運(yùn)用物理量之間的關(guān)系來處理問題。
例6、一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行。認(rèn)為行星是密度均勻的球體,要確定該行星的密度,只需要測量
A.飛船的軌道半徑 B.飛船的運(yùn)行速度
C.飛船的運(yùn)行周期 D.行星的質(zhì)量
讀思路:萬有引力提供向心力,則
所以
由于飛船在行星表面附近飛行,其運(yùn)行軌道半徑近似為行星的半徑,行星的體積
所以
規(guī)范解::C
題后小結(jié):本題涉及的知識點是萬有引力定律的應(yīng)用,考察了考生靈活選擇公式解決物理問題的能力。