2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動(dòng)態(tài)幾何問題透視

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第二十七講動(dòng)態(tài)幾何問題 透視 春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時(shí)每刻都處于運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運(yùn)動(dòng)中方能凸現(xiàn)出來． 動(dòng)態(tài)幾何問題，是指以幾何知識(shí)和圖形為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類問題，常見的形式是：點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng)、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是： 1．動(dòng)中覓靜這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性． 2．動(dòng)靜互化“靜”只是“動(dòng)”的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，動(dòng)靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)”與“靜

2、”的關(guān)系． 3．以動(dòng)制動(dòng)以動(dòng)制動(dòng)就是建立圖形中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運(yùn)動(dòng)函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)來研究變動(dòng)元素的關(guān)系．注：幾何動(dòng)態(tài)既是一類問題，也是一種觀點(diǎn)與思維方法，運(yùn)用幾何動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強(qiáng)化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動(dòng)態(tài)思維”． 【例題求解】 【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到A〃B〃C〃的位置，設(shè)BC=1,AC=,則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A〃的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線所

3、圍成的面積是 思路點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形準(zhǔn)確分割.RtAABC的兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個(gè)扇形面積之和. 【例2】如圖，在00中，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)作AA'丄AB,BB‘丄AB，且AA'=AP,BB'=BP,連結(jié)A'B'，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移到點(diǎn)B時(shí)，A'B‘的中點(diǎn)的位置（） A.在平分AB的某直線上移動(dòng)B.在垂直AB的某直線上移動(dòng) C.在AmB上移動(dòng)D.保持固定不移動(dòng) 思路點(diǎn)撥畫圖、操作、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【例3】如圖，菱形OABC的長為4厘米，ZA0

4、C=60。，動(dòng)點(diǎn)P從0出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O-A-B路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P出發(fā)2秒后，動(dòng)點(diǎn)Q從0出發(fā)，在0A上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路線運(yùn)動(dòng)，過P、Q兩點(diǎn)分別作對角線AC的平行線.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題： (1) 當(dāng)=3時(shí)，的值是多少? (2) 就下列各種情形： ①0WW2:②2WW4；③4WW6；④6WW8.求與之間的函數(shù)關(guān)系式. (3) 在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系． 思路點(diǎn)撥本例是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問題，又是一個(gè)“分段函數(shù)”問題，需運(yùn)用動(dòng)態(tài)的

5、觀點(diǎn)，將各段分別討論、畫圖、計(jì)算． ①② 注：動(dòng)與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運(yùn)動(dòng)變化的哪一類問題，都真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形的變與不變兩個(gè)方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略． 建立運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值 或自變量的值． 【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1m/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A—D—C以2cm/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為2(秒). (1) 當(dāng)為何值時(shí)，線段EF與BC

6、平行？ (2) 設(shè)1<<2，當(dāng)為何值時(shí)，EF與半圓相切？ (3) 當(dāng)1W〈2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,問點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值. 思路點(diǎn)撥動(dòng)中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對于(1)、(2)，運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對于(3)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值. 注：動(dòng)態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想. 【例5】OO與0

7、0相交于A、B兩點(diǎn)；如圖(1),連結(jié)00并延長交00于P點(diǎn)，連結(jié)PA、 12211 PB并分別延長交O0于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)C0并延長交O0于E點(diǎn).已知O0的半徑為R， 2222 設(shè)ZCAD=. (1) 求：CD的長(用含R、的式子表示)； (2) 試判斷CD與P0］的位置關(guān)系，并說明理由； (3) 設(shè)點(diǎn)P'為O0上(O0外)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)P'A、P'B并分別延長交O0于C'、D，, 122 請你探究ZC'AD'是否等于？C'D'與P'O］的位置關(guān)系如何?并說明理由. 思路點(diǎn)撥對于⑴、(2)，作出圓中常見輔助線；對于(3)，P點(diǎn)雖為001上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但 l O0］、O02

8、—些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運(yùn)用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來. (1)⑵⑶ 學(xué)力訓(xùn)練 1. 如圖，△ABC中，ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,將AABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn), 使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積cm(n=3.14159…, 最后結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字). 2. 如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=cm,將AABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至AA'BC'的位置，且使A、B、C'三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路線的長度是—cm. 3. —塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B

9、點(diǎn)從開始至結(jié)束走過的路徑長度為() A．B．C．4D． 4. 把AABC沿AB邊平移到AA'B'C'的位置，它們的重疊部分的面積是AABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動(dòng)的距離人人'是() A．B．C．1D． 5. 如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，00的半徑為r厘米，當(dāng)圓心0從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB—BC—CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，0O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng). (1) 若r=厘米，求。0首次與BC邊相切時(shí)AO的長； (2) 在0移動(dòng)過程中，從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3) 設(shè)O在整個(gè)移動(dòng)過程中，在AABC內(nèi)

10、部，0O未經(jīng)過的部分的面積為S,在S>0時(shí)，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍. 6. 已知：如圖，0O韻直徑為10,弦AC=8，點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(dòng)(與A、C兩點(diǎn)不重合)，連結(jié)BC、BA,過點(diǎn)C作CD丄AB于D.設(shè)CB的長為，CD的長為. (1) 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí)，求的值； (2) 在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，以CD為直徑的圓與0O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時(shí)的取值范圍； (3) 在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，如果過B作BE丄AC于E,那么以BE為直徑的圓與0O能內(nèi)切嗎? 若不能，說明理由；若能，求出BE的長. 7. 如圖，已知A為ZP

11、OQ的邊OQ上一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的ZMAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且ZMAN=ZPOQ=(為銳角).當(dāng)ZMAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(ZMAN保持不變)時(shí)，M、N兩點(diǎn)在射線OP上同時(shí)以不同的速度向右平移移動(dòng).設(shè)OM=，ON=(〉三0),AAOM的面積為S,若cos、OA是方程的兩個(gè)根. ⑴當(dāng)ZMAN旋轉(zhuǎn)30°(即ZOAM=30°)時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離； (2) 求證：AN2=ON?MN； (3) 求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (4) 試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍. 8. 已知：如圖，梯形ABCD中，A

12、D〃BC,AB=CD=3cm,ZC=60°,BD丄CD. ⑴求BC、AD的長度； (2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 9. 已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊

13、長、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動(dòng). 設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S. ⑴當(dāng)n=l、2時(shí)，如圖②、③，觀察運(yùn)動(dòng)情況，寫出四邊形3FGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置,使? (2) 當(dāng)n=3時(shí)，如圖④，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使； (3) 當(dāng)n=k(k三1)時(shí)，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由. 10. 如圖1,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從0點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從0點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，B(4,2)，以BE為直徑作001. (1) 若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線

14、段EF與線段0B交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與00』勺位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2) 在(1)的條件下，連結(jié)FB,幾秒時(shí)FB與001相切？ (3) 如圖2,若E點(diǎn)提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā),，當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)BA丄軸于A點(diǎn)，連結(jié)AF交001于點(diǎn)P,試問PA?FA的值是否會(huì)發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍． 參考答案 AE_2-tCF4—2t 勿動(dòng)態(tài)幾何問廳透視 【例題求解】 例2選D 例3(1)當(dāng)x=3時(shí),y=3X3-l=8； (2)①當(dāng)時(shí),y=3OP，即

15、$=3小②當(dāng)2Cx<4時(shí),5'=3OP-CX?=3j—(j-2)=2x+2?③當(dāng)時(shí)， y=2(OA+AP)—OQ+PB=Zz—5—2》+(8—±)=10；④當(dāng)6^x<8時(shí)，AQ=2[(z-2)—4]=2工一12,y=3(AB一AQ)—PB=3[4-(2h-12)]-(8-z)=-5h+4O；(3)略. 例4⑴設(shè)E.F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了r秒時(shí),EF//BC,如圖(G,則BE=t.CF=4—2"由t=4~2t,得/=■即當(dāng)■秒時(shí)， 43 EF//RC. (2}設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了『秒時(shí),EF與半?[相切,Vl

16、=2,BE=t.CF=4-2r,EG=t-(4-2f)=3f-4,EF=BE+CF=4-r,又EF2=EG2+FGl,即(4一"=(3/—4嚴(yán)+22,解得「=沢尹,故當(dāng)<=葦吃秒時(shí)，EF與半圓相切. ⑶設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了r秒時(shí)，因1￡<2,所以EF的位置如圖(c),則AE=2-t,CF=4—2t,由AB〃DC,有需= ，即點(diǎn)P的位置與Z的取值無關(guān)，即P點(diǎn)的位置不會(huì)發(fā)生變化. (1〉連結(jié)DE,CD~CE?sin?=2R?sin^； ^MPA=^ABP=ZACD,MN#CD,丈:MN丄PO」， CD (2) 連結(jié)AB,HP作?Oi的切線MN,7 丄PO; (3) 在圖

17、(2)中.ZC^DJZAP'D'+ZP'D'A,在圖(1)中，^CAD=^APD+ZPDA, 而ZAP'D'與ZAPD所對的都是?Oi中的筋,ZP'D'A與ZPDA所對的都是①O?中的Ah,QO^QO2中的爲(wèi)都是定弧，幾ZC'AD'=ZCAD=a.連結(jié)AB.HP'作OO：的切線“N',同理可證^M,P,A=^P'BA=^AC'Dr. MN'/UD',又TMN'丄P'O,:.CD1丄P'O- 【學(xué)力訓(xùn)縑】 K 1.1132.y733.B4*A C 5. (1)AO-(6V3-2)4(2)由正三角形的邊長為6V3cm,可得它一邊上的高為9cm. ① 當(dāng)?O的半徑r=9cm時(shí)，?O在

18、移動(dòng)中與厶人月。的邊共相切三次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為3； ② 當(dāng)0VY9時(shí)，?O在移動(dòng)中與AABC的邊共相切六次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為6； ③ 當(dāng)r>9時(shí)，00在移動(dòng)中與AABC的邊不相切，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. (3)如圖，$>0時(shí)20在移動(dòng)中，在△ABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為正三角形A'B'C'的內(nèi)部，Sgc= y-B'C'-A,E=3V3(3-r)2./.所求解析式為S=3歯(3—"(0Vr<3). 6, =當(dāng)以CB為直徑的圓與AC相切時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，此時(shí)z=6,y=4.8: (2)以DC為直徑的圓①廳與?O的位置關(guān)系是相交或內(nèi)切. 4 ①當(dāng)CB=CA=8時(shí)，兩圓內(nèi)切?>=—XS=6.4)

19、②當(dāng)CBH8時(shí)，兩圓相交,0?(4)0CS<73. 8. (l)AD-AB=3cmf(2)Ssa?AflRM>='^(2?-6/+27)(O0,???二次函數(shù)圖象的拋物線開口向上， 規(guī)律t在對稱軸x=y左側(cè)，S隨工增大而減??；在對稱軸工=號(hào)右側(cè)，5隨乂增大而增大.

20、 1 猜想t四邊形EFGH各頂點(diǎn)仍燃運(yùn)動(dòng)到矩形ABCD各對應(yīng)邊中點(diǎn)，使S=ySe^fl(of ⑶當(dāng)n-=k時(shí)，上述規(guī)律和猜想是成立的.同理可求得8=2用一2肋卄好=2心一號(hào)卩+號(hào)込 5? 10. (1)點(diǎn)G在0O1上1(2〉當(dāng)1=-^-秒時(shí)，必有BF與?0】相切； (3)AP?AF的值不會(huì)發(fā)生變化，連結(jié)PB,在y軸上截取FM=OA=4.設(shè)OE=r(2