滬科版初三數(shù)學(xué)知識點總結(jié).doc

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1、初三數(shù)學(xué)知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對

2、稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點

3、平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住

4、以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種

5、形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，即拋物線對

6、稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾

7、種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180

8、） 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是

9、一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另

10、一個交點坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.二次函數(shù)圖像參考： 十一、函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點， 則的值是 2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像

11、，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線（a0）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是1、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方

12、法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 (1) (2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、

13、(x1，0)，且1x12，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方下列結(jié)論：abO；4a+cO，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D4個答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合設(shè)x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（1）寫出y與x的關(guān)系式；（2）當(dāng)x=

14、2，3.5時，y分別是多少？（3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標(biāo)、對稱軸.例5、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長【點評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例6、 “已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（c，2）， 求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說

15、明理由。（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補充完整。點評： 對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點A（c，2）”，就可以列出兩個方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo)，可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交點的坐標(biāo)等。解答 （1）根據(jù)的圖象經(jīng)過點A（c，

16、2），圖象的對稱軸是x=3，得解得所以所求二次函數(shù)解析式為圖象如圖所示。（2）在解析式中令y=0，得，解得所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是（3+”或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是令x=3代入解析式，得所以拋物線的頂點坐標(biāo)為所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為等等。函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例1已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最

17、大面積【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù) （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b則 解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達式為y=-x+40 （2）設(shè)每件產(chǎn)

18、品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50 x-400=-（x-25）2+225 產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元 【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）

19、A. B. C. D. 3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: a,b同號;當(dāng)和時,函數(shù)值相等;當(dāng)時, 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個5.已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的個數(shù)為（ ）A.0個 B.1個 C.2個. 3 個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與

20、軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A. B. C. 或 D. 或二、填空題9二次函數(shù)的對稱軸是，則_。10已知拋物線y=-2（x+3）+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.11一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（1，2），當(dāng)0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。12拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b= ,c= 。14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的

21、地方，橋的高度是 (取3.14).三、解答題：第15題圖15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,).(1)求這個二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關(guān)系式 （0t2），其中重力加速度g以10米/秒2計算這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？（2）在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由. 17.如圖，拋物線經(jīng)過直線

22、與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的點P的坐標(biāo)。18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結(jié)算，未售出的由廠家負責(zé)處理）當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）（1）當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月

23、銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時，月銷售額也最大”你認為對嗎？請說明理由相似三角形基本知識 知識點一：放縮與相似形1. 圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。2. 把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。 相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。 我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的 若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等

24、形3. 相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.知識點二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內(nèi)項：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比

25、例內(nèi)項。6、第四比例項：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：如果比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為（或a:bb:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項的積等于兩內(nèi)項積）2.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差

26、變化比例仍成立如：3.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法 (2)應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立知識點三：黃金分割1） 定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=ABBC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.作法：過

27、點B作BDAB，使；連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點C就是所求作的線段AB的黃金分割點.黃金分割的比值為：.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)?？?，關(guān)鍵在于找由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,

28、條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例. 5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。幾何語言 ABE中BDCE 簡記： 歸納： 和推廣：類似地還可以得到和 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在

29、的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.用符號語言表示：ADBECF,.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號

30、語言表示：. 重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.知識點三：相似三角形1、 相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2） 性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。3） 相似比：兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做

31、這兩個三角形的相似比。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。4）判定：定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成

32、比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例. 相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比). 相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.2、 相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)

33、系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。2）性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離等于位似比（相似比）。每對位似對應(yīng)點與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：C=90A+B=902、在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。 A=30可表示如下： BC=AB C=9

34、03、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ACB=90 可表示如下： CD=AB=BD=AD D為AB的中點4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ACB=90 CDAB 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC二、直角三角形的判定 1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。三、銳角三

35、角函數(shù)的概念 （38分） 1、如圖，在ABC中，C=90 銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記為sinA，即銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記為cosA，即銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記為tanA，即銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù) 0 30 45 60 90sin01cos10tan01不存在cot不存在104、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在090之間變化時，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。?/p>

36、或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?圓圓的周長： C=2r或C=d 、圓的面積：S=r圓環(huán)面積計算方法：S=R -r或S=（R - r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 五

37、、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理 頂點到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定

38、理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何

39、中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理

40、： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進行，： （3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）A圓柱側(cè)面展開圖 =B圓柱的體積：（2）A圓錐側(cè)面展開圖=B圓錐的體積： 第 24 頁 共 24 頁