《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第30講 正弦定理、余弦定理的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第30講 正弦定理、余弦定理的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第30講 正弦定理、余弦定理的綜合應用
1．(2017·淮北一中月考)在△ABC中，兩邊的差為2，兩邊夾角的余弦值為，且三角形面積為14，則這兩邊的長分別是(D)
A．3,5 B．4,6
C．6,8 D．5,7
不妨設兩邊為b，c(b>c)，則b－c＝2，cos A＝，則sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝14.
所以bc＝35.所以b＝7，c＝5.
2．(2019·岳陽一模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀是(D)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D
2、．等腰或直角三角形
由正弦定理得：
sin C－sin Acos B＝(2sin A－sin B)cos A，
即 sin(A＋B)－sin Acos B＝(2sin A－sin B)cos A，
得sin Bcos A＝sin Acos A.
當cos A＝0時，A＝，此時為直角三角形；
當cos A≠0時，sin B＝sin A，即A＝B或A＋B＝π(舍)，此時為等腰三角形．
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，則A的取值范圍是(C)
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，
3、π)
由正弦定理及題設條件知
a2≤b2＋c2－bc?b2＋c2－a2≥bc?≥1?cos A≥，所以0
4、見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時 10 海里．
如圖，可知∠BMA＝75°－60°＝15°，又∠MAP＝30°，
所以∠MBA＝15°，所以AM＝AB＝10.
所以MP＝AMcos 60°＝5，其速度為＝10(海里/小時)．
6．(2018·石家莊一模)如圖所示，平面四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部， AB＝1, BC＝， AC＝CD, AC⊥CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為__3__．
設∠ABC＝α，∠ACB＝β，則由余弦定理可得
5、AC2＝3－2cos α，
由正弦定理可得sin β＝，
所以BD2＝2＋3－2cos α－2×× ×cos(90°＋β)
＝5－2cos α＋2sin α
＝5＋4sin(α－45°)，
所以α＝135°時， BD2有最大值9 , BD取得最大值為3.
7．(2018·石家莊二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝tan A＋tan B.
(1)求角A的大??；
(2)設AD為BC邊上的高，a＝，求AD的取值范圍．
(1)在△ABC中，因為＝tan A＋tan B.
所以＝＋，
即＝，
所以＝，則tan A＝，所以A＝.
(2)因為S△AB
6、C＝AD·BC＝bcsin A，所以AD＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝≥，
所以0
7、 因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac，
又a＋c＝3，cos B＝，
由余弦定理，得：ac＝a2＋c2－2a·c·，
即ac＝(a＋c)2－2ac－ac，所以ac＝(a＋c)2＝2.
所以·＝c·a·cos(π－B)＝－ac＝－×2＝－.
10．(2017·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.
(1)由題設及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B)．
上式兩邊平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，或cos B＝.
故cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，則ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××(1＋)＝4.
所以b＝2.
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