2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第30講 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第30講正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1(2017淮北一中月考)在ABC中,兩邊的差為2,兩邊夾角的余弦值為,且三角形面積為14,則這兩邊的長分別是(D)A3,5 B4,6C6,8 D5,7 不妨設(shè)兩邊為b,c(bc),則bc2,cos A,則sin A,所以SABCbcsin Abc14.所以bc35.所以b7,c5.2(2019岳陽一模)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cacos B(2ab)cos A,則ABC的形狀是(D)A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 由正弦定理得:sin Csin Acos B(2sin Asin B)cos A,即

2、sin(AB)sin Acos B(2sin Asin B)cos A,得sin Bcos Asin Acos A.當(dāng)cos A0時,A,此時為直角三角形;當(dāng)cos A0時,sin Bsin A,即AB或AB(舍),此時為等腰三角形所以ABC為等腰三角形或直角三角形3在ABC中,sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C,則A的取值范圍是(C)A(0, B,)C(0, D,) 由正弦定理及題設(shè)條件知a2b2c2bcb2c2a2bc1cos A,所以0A.4如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于(C)A240(1)

3、m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 如圖,ACD30,ABD75,AD60m,在RtACD中,CD60m,在RtABD中,BD60(2)m,所以BCCDBD6060(2)120(1)m.5一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60,另一燈塔在船的南偏西75,則這只船的速度是每小時10海里 如圖,可知BMA756015,又MAP30,所以MBA15,所以AMAB10.所以MPAMcos 605,其速度為10(海里/小時)6(2018石家莊一模)如圖所示,平面四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部, AB

4、1, BC, ACCD, ACCD,當(dāng)ABC變化時,對角線BD的最大值為_3_ 設(shè)ABC,ACB,則由余弦定理可得AC232cos ,由正弦定理可得sin , 所以BD2232cos 2 cos(90) 52cos 2sin 54sin(45),所以135時, BD2有最大值9 , BD取得最大值為3.7(2018石家莊二模)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且tan Atan B.(1)求角A的大??;(2)設(shè)AD為BC邊上的高,a,求AD的取值范圍 (1)在ABC中,因為tan Atan B.所以,即,所以,則tan A,所以A.(2)因為SABCADBCbcsin A,所以

5、ADbc.由余弦定理得cos A,所以0bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立)所以0AD.8(2018鄭州一中周測)在ABC中,AB12,C的平分線CD把三角形面積分成3 2兩部分,則cos A(C)A. B.C. D0 因為C的平分線CD把三角形面積分成32兩部分,所以ACBC32,所以,所以cos A.9(2018華南師大附中模擬)在ABC中,a,b,c為A,B,C的對邊,a,b,c成等比數(shù)列,ac3,cos B,則_ 因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2ac,又ac3,cos B,由余弦定理,得:aca2c22ac,即ac(ac)22acac,所以ac(ac)22.所以cacos(B)ac2.10(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B;(2)若ac6,ABC的面積為2,求b. (1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2,故sin B4(1cos B)上式兩邊平方,整理得17cos2B32cos B150,解得cos B1(舍去),或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B,故SABCacsin Bac.又SABC2,則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362(1)4.所以b2.5

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