2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（二十五）解三角形的綜合應(yīng)用 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤練(二十五) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．在相距2 km的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為(　　) A. km B. km C. km D．2 km 解析：如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以＝， 所以AC＝2×＝ (km)． 答案：A 2.如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：①測量A，C，b；②測量a，b，C；③測量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號

2、為(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：對于①③可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點(diǎn)間的距離，對于②直接利用余弦定理即可確定A，B兩點(diǎn)間的距離． 答案：D 3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦

3、定理得＝， 解得BC＝10(海里)． 答案：A 4.如圖，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝15. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan ∠ACB＝15×＝15. 答案：D 5．(2019·廣州模擬)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是6

4、0 m，則河流的寬度BC等于(　　) A．240(＋1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：如圖，作AD⊥BC，垂足為D. 由題意，得DC＝60×tan 60°＝60(m)，DB＝60×tan 15°＝60×tan(45°－30°)＝60×＝60×＝120－60(m)． 所以BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120－120＝120(－1)(m)． 答案：C 6．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距__

5、______m. 解析：由題意畫示意圖，如圖， OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得 MN＝ ＝ ＝10 (m)． 答案：10 7.(2019·哈爾濱模擬)如圖，某工程中要將一長為100 m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長________m. 解析：設(shè)坡底需加長x m， 由正弦定理得＝，解得x＝100. 答案：100 8.(2019·泉州質(zhì)檢)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行

6、于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘．若此人進(jìn)行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米． 解析：如圖，連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50. 答案：50 9．如圖，航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10 000 m，速度為50 m/s，某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜祝??。?.4，＝1.7

7、) 解：如圖，作CD垂直于直線AB于點(diǎn)D， 因?yàn)椤螦＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°， 在△ABC中，由正弦定理得，＝，AB＝50×420＝21 000. 所以BC＝×sin 15°＝10 500(－)． 因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin ∠DBC＝10 500×(－)×＝10 500×(－1)＝7 350. 故山頂?shù)暮０胃叨葹閔＝10 000－7 350＝2 650 m. 10.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船

8、乙，剛好用2小時(shí)追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為＝14海里/時(shí)． (2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝， 所以sin α＝＝＝. B組　素養(yǎng)提升 11．某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射

9、高度：在C處(點(diǎn)C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100 m，∠BAC＝60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40 m．A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC＝15°，A地測得最高點(diǎn)H的仰角為∠HAO＝30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為(　　) A．210(＋) m B．140 m C．210 m D．20(－) m 解析：由題意，設(shè)AC＝x m，則BC＝(x－40) m，在△ABC內(nèi)，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC， 即(x－40)2＝x2＋10 000－100

10、x，解得x＝420(m)． 在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°， ∠CHA＝90°－30°＝60°， 由正弦定理，＝， 可得CH＝AC·＝140(m)． 答案：B 12．(2019·泉州質(zhì)檢)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，DA＝DB＝2，DC＝1，則AB·AC的最大值是________． 解析：因?yàn)閏os ∠ADB＋cos ∠ADC＝0， 所以＋＝0?AB2＋2AC2＝18， AB2＋2AC2＝18≥2＝2AB·AC， 即AB·AC≤，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC時(shí)取等號， 所以AB·AC的最大值是. 答案： 13.校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿

11、正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌時(shí)長為50 s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻升旗． 解析：依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知＝， 所以AC＝·sin ∠AEC＝20 m. 所以在Rt △ABC中，AB＝AC·sin ∠ACB＝20×＝30 m. 因?yàn)閲钑r(shí)長為50 s，所以升旗速度為＝0.6 m/s.

12、答案：0.6 14.(2019·成都診斷)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE＝1，連接EC，ED.若∠CED＝，EC＝. (1)求sin ∠BCE的值； (2)求CD的長． 解：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝因?yàn)锽＝，BE＝1，CE＝， 所以sin ∠BCE＝＝＝. (2)因?yàn)椤螩ED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE， 所以cos ∠DEA＝＝＝＝. 因?yàn)锳＝，所以△AED為直角三角形，又AE＝5，所以ED＝＝＝2. 在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos ∠CED＝7＋28－2××2×＝49. 所以CD＝7. 8