大學物理機械工業(yè)出版社上冊課后練習答案.doc

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1、第一章 質點的運動1-1已知質點的運動方程為：，。式中x、y的單位為m，t的單位為。試求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。分析由運動方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運動合成算出速度和加速度的大小和方向解(1) 速度的分量式為 當t 0 時, vox -10 m-1 , voy 15 m-1 ,則初速度大小為設vo與x 軸的夾角為,則12341(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為設a 與x 軸的夾角為,則-3341(或32619)1-2 一石子從空中由靜止下落，由于空氣阻力，石子并非作自由落體運動?，F(xiàn)測得其加速度aA-Bv，式中A、B 為正恒量，求

2、石子下落的速度和運動方程。分析本題亦屬于運動學第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分解選取石子下落方向為y 軸正向,下落起點為坐標原點(1) 由題 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度 由此可知當,t時,為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度(2) 再由并考慮初始條件有得石子運動方程1-3 一個正在沿直線行駛的汽船，關閉發(fā)動機后，由于阻力得到一個與速度反向、大小與船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k為常數(shù)。在關閉發(fā)動機后，試證：（1）船在t時刻的速度大小為 ；（2）

3、在時間t內(nèi)，船行駛的距離為 ；（3）船在行駛距離x時的速率為v=v0e-kx。證明（1）分離變數(shù)得， 故 ，可得： （2）公式可化為，由于v = dx/dt，所以：積分 因此 (3 ) 要求 v( x)，可由 ，有積分得證畢Hhv0圖1-18 習題1-4圖14行人身高為h，若人以勻速v0用繩拉一小車行走，而小車放在距地面高為H的光滑平臺上，求小車移動的速度和加速度。解：人前進的速度v0，則繩子前進的速度大小等于車移動的速度大小，所以小車移動的速度小車移動的加速度1-5 質點沿軸運動，其加速度和位置的關系為 ，a 的單位為 m/s2，x 的單位為 m。質點在x=0處，速度為10m/s，試求質點在

4、任何坐標處的速度值。解： 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，, 1-6 如圖所示，一彈性球由靜止開始自由下落高度 h 后落在一傾角的斜面上，與斜面發(fā)生完全彈性碰撞后作拋射體運動，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠。解：小球落地時速度為 建立直角坐標系，以小球第一次落地點為坐標原點如圖 （1） （2）第二次落地時 所以 17一人扔石頭的最大出手速率為v25m/s，他能擊中一個與他的手水平距離L=50m，高h=13m的目標嗎？在此距離上他能擊中的最大高度是多少？解：由運動方程,消去t得軌跡方程以x05.0m ，v25ms1代入后得取g10.0，則當時，13所以他不能射中，能射中得最大高度

5、為1-8 一質點沿半徑為R 的圓周按規(guī)律運動，v0 、b 都是常量。(1) 求t 時刻質點的總加速度；(2) t 為何值時總加速度在數(shù)值上等于b？(3) 當加速度達到b 時，質點已沿圓周運行了多少圈？分析在自然坐標中,s 表示圓周上從某一點開始的曲線坐標由給定的運動方程s s(t),對時間t 求一階、二階導數(shù),即是沿曲線運動的速度v 和加速度的切向分量a,而加速度的法向分量為anv2 /R這樣,總加速度為a aeanen至于質點在t 時間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標的改變量sst -s0因圓周長為2R,質點所轉過的圈數(shù)自然可求得解(1) 質點作圓周運動的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為,

6、 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使ab,由可得(3) 從t0 開始到tv0 /b 時,質點經(jīng)過的路程為因此質點運行的圈數(shù)為1-9 已知質點的運動方程為：，式中為正的常量。求：（1）質點運動的軌道方程；（2）質點的速度大?。唬?）質點的加速度大小。解： （1）軌道方程為 這是一條空間螺旋線。在O平面上的投影為圓心在原點，半徑為R的圓，螺距為h（2） （3） ， 110飛機以100ms-1的速度沿水平直線飛行，在離地面高為100m時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標處。問：（1）此時目標在飛機下方前多遠？（2）投放物品時，駕駛員看目標的視線和水平線成何角度？（3）物品投出2s

7、后，它的法向加速度和切向加速度各為多少？解：（1）（2） （3） 111一無風的下雨天，一列火車以v1=20m/s的速度勻速前進，在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75角下降，求雨滴下落的速度v2。（設下降的雨滴作勻速運動）解：以地面為參考系，火車相對地面運動的速度為V1,雨滴相對地面豎直下落的速度為V2，旅客看到雨滴下落速度V2為相對速度，它們之間的關系為112升降機以加速度a0=1.22ms-2上升，當上升速度為2.44ms-1時，有一螺帽自升降機的天花板脫落，天花板與升降機的底面相距2.74m，試求：（1）螺帽從天花板落到底面所需時間；（2）螺帽相對于升降機外固定柱子的下降距離。解：

8、（1）以升降機為參考系，此時，螺絲相對它的加速度為a=g+a,螺絲落到底面時，有 （2）由于升降機在t時間內(nèi)的高度為則113飛機A相對地面以vA =1000km/h的速率向南飛行，另一飛機B相對地面以vB =800 km/h的速率向東偏南30方向飛行。求飛機A相對飛機B的速度。解：114 一人能在靜水中以1.10ms-1的速度劃船前進，今欲橫渡一寬為1000m、水流速度為0.55ms1的大河。（1），那么應如何確定劃行方向？到達正對岸需多少時間？（2）如果希望用最短的時間過河，應如何確定劃行方向？船到達對岸的位置在什么地方？解：如圖（1）若要從出發(fā)點橫渡該河而到達正對岸的一點，則劃行速度和水流

9、速度u的合速度的方向正對著岸，設劃行速度合速度的夾角為如圖（2）用最短的時間過河，則劃行速度的方向正對著岸115設有一架飛機從A處向東飛到B處，然后又向西飛回到A處，飛機相對空氣的速率為，而空氣相對地面的速率為u，A、B間的距離為l。（1）假定空氣是靜止的（即u=0），求飛機來回飛行的時間；（2）假定空氣的速度向東，求飛機來回飛行的時間；（3）假定空氣的速度向北，求飛機來回飛行的時間。解：由相對速度的矢量關系有（1）空氣時靜止的，即u0，則往返時，飛機相對地面的飛行速度就等于飛機相對空氣的速度v（圖（1），故飛機來回飛行的時間(2) 空氣的速度向東時，當飛機向東飛行時，風速與飛機相對空氣的速度

10、同向；返回時，兩者剛好相反（圖（2），故飛機來回飛行的時間為(3) 空氣的速度向北時，飛機相對地面的飛行速度的大小由可得為，故飛機來回飛行的時間為vuv(1)(2)vu第二章 質點動力學AB習題2-1圖aAmgTATBaBmg21如本題圖，A、B兩物體質量均為m，用質量不計的滑輪和細繩連接，并不計摩擦，則A和B的加速度大小各為多少 。解：如圖由受力分析得習題22圖22如本題圖所示，已知兩物體A、B的質量均為m=3.0kg，物體A以加速度a=1.0m/s2 運動，求物體B與桌面間的摩擦力。（滑輪與連接繩的質量不計）解：分別對物體和滑輪受力分析（如圖），由牛頓定律和動力學方程得，2-3 如圖所示，

11、細線不可伸長，細線、定滑輪、動滑輪的質量均不計已知。求各物體運動的加速度及各段細線中的張力。習題2-3 圖解：設m1下落的加速度為a1，因而動滑輪也以a1上升。再設m2相對動滑輪以加速度a下落，m3相對動滑輪以加速度a上升，二者相對地面的加速度分別為：（下落）和（上升），設作用在m1上的線中張力為T1，作用在m2和m3上的線中張力為T2。列出方程組如下：代入，可求出：，24光滑的水平面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側作圓周運動，其摩擦系數(shù)為。物體的初速率為v0，求：（1）t時刻物體的速率；（2）當物體速率從v0減少到v0/2時，物體所經(jīng)歷的時間及經(jīng)過的路程。解：（1）設物體質量為m

12、，取圖示的自然坐標系，由牛頓定律得，（2） 當物體速率從v0減少到v0/2時，由可得物體所經(jīng)歷的時間經(jīng)過的路程25從實驗知道，當物體速度不太大時，可以認為空氣的阻力正比于物體的瞬時速度，設其比例常數(shù)為k。將質量為m的物體以豎直向上的初速度v0拋出。（1）試證明物體的速度為(2)證明物體將達到的最大高度為(3)證明到達最大高度的時間為證明：由牛頓定律可得26 質量為m的跳水運動員，從距水面距離為h的高臺上由靜止跳下落入水中。把跳水運動員視為質點，并略去空氣阻力。運動員入水后垂直下沉，水對其阻力為bv2，其中b為一常量。若以水面上一點為坐標原點O，豎直向下為Oy軸，求：（1）運動員在水中的速率v與

13、y的函數(shù)關系；（2）跳水運動員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10？（假定跳水運動員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等）解：運動員入水可視為自由落體運動，所以入水時的速度為，入水后如圖由牛頓定律的yfkvmgv 27一物體自地球表面以速率v0豎直上拋。假定空氣對物體阻力的值為fkmv2，其中k為常量，m為物體質量。試求：（1）該物體能上升的高度；（2）物體返回地面時速度的值。解：分別對物體上拋和下落時作受力分析（如圖），2-8 質量為的子彈以速度v0水平射入沙土中，設子彈所受阻力f = - kv，為常數(shù)，求：(1) 子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；(2) 子彈

14、進入沙土的最大深度。解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，分離變量，可得： 兩邊同時積分，所以：（2）子彈進入沙土的最大深度也就是v=0的時候子彈的位移，則：由 可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移： 。2-9 已知一質量為的質點在軸上運動，質點只受到指向原點的力，是比例常數(shù)。設質點在時的速度為零，求質點在處的速度的大小。解：由題意和牛頓第二定律可得：再采取分離變量法可得： ，兩邊同時取積分，則：所以：2-10 一顆子彈在槍筒里前進時所受的合力大小為，子彈從槍口射出時的速率為。設子彈離開槍口處合力剛好為零。求：（1）子彈走完槍筒全長所用的時間；（2）子彈在槍筒中所受力的沖量；（3）子彈的

15、質量。解：（1）由和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到： 算出t=0.003s。（2）由沖量定義：（3）由動量定理：2-11 高空作業(yè)時系安全帶是非常必要的。假如一質量為51.0 kg 的人，在操作時不慎從高空豎直跌落下來，由于安全帶的保護，最終使他被懸掛起來。已知此時人離原處的距離為2.0 m ，安全帶彈性緩沖作用時間為0.50 s。求安全帶對人的平均沖力。分析從人受力的情況來看,可分兩個階段：在開始下落的過程中,只受重力作用,人體可看成是作自由落體運動；在安全帶保護的緩沖過程中,則人體同時受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力,且作用時間很短為求安全帶的沖力,可以從緩沖時間內(nèi),人體運

16、動狀態(tài)(動量)的改變來分析,即運用動量定理來討論事實上,動量定理也可應用于整個過程但是,這時必須分清重力和安全帶沖力作用的時間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零這樣,運用動量定理仍可得到相同的結果解以人為研究對象,按分析中的兩個階段進行討論在自由落體運動過程中,人跌落至2 m 處時的速度為 (1)在緩沖過程中,人受重力和安全帶沖力的作用,根據(jù)動量定理,有 (2)由式(1)、(2)可得安全帶對人的平均沖力大小為212長為60cm的繩子懸掛在天花板上，下方系一質量為1kg的小球，已知繩子能承受的最大張力為20N。試求要多大的水平?jīng)_量作用在原來靜止的小球上才能將繩子打斷？解：由動量定理

17、得，如圖受力分析并由牛頓定律得，213一作斜拋運動的物體，在最高點炸裂為質量相等的兩塊，最高點距離地面為19.6m。爆炸1.0s后，第一塊落到爆炸點正下方的地面上，此處距拋出點的水平距離為100m。問第二塊落在距拋出點多遠的地面上？(設空氣的阻力不計)解：取如圖示坐標系，根據(jù)拋體運動規(guī)律，爆炸前，物體在最高點得速度得水平分量為214質量為M的人手里拿著一個質量為m的物體，此人用與水平面成角的速率v0向前跳去。當他達到最高點時，他將物體以相對于人為u的水平速率向后拋出。問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設人可視為質點）（自己算一遍）解：取如圖所示坐標，把人和物視為一系統(tǒng)，當人跳躍到

18、最高點處，在向左拋物得過程中，滿足動量守恒，故有215鐵路上有一靜止的平板車，其質量為M，設平板車可無摩擦地在水平軌道上運動?，F(xiàn)有N個人從平板車的后端跳下，每個人的質量均為m，相對平板車的速度均為u。問：在下列兩種情況下，（1）N個人同時跳離；（2）一個人、一個人地跳離，平板車的末速是多少?所得的結果為何不同，其物理原因是什么?（典型）解：取平板車及N個人組成的系統(tǒng)，以地面為參考系，平板車的運動方向為正方向，系統(tǒng)在該方向上滿足動量守恒?？紤]N個人同時跳車的情況，設跳車后平板車的速度為v，則由動量守恒定律得0Mv+Nm（vu）vNmu/(Nm+M) (1)又考慮N個人一個接一個的跳車的情況。設當

19、平板車上商有n個人時的速度為vn，跳下一個人后的車速為vn1，在該次跳車的過程中，根據(jù)動量守恒有（M+nm）vn=M vn1+(n-1)m vn1+m(vn1-u) (2)由式（2）得遞推公式vn1=vn+mu/(M+nm) (3)當車上有N個人得時（即Nn），vN0；當車上N個人完全跳完時，車速為v0，根據(jù)式（3）有，vN-1=0+mu/(Nm+M)vN-2= vN-1+mu/(N-1)m+M).v0= v1+mu/(M+nm)將上述各等式的兩側分別相加，整理后得，2-16 一物體在介質中按規(guī)律x ct3 作直線運動，c為一常量。設介質對物體的阻力正比于速度的平方：，試求物體由x0 0 運動

20、到x l 時，阻力所作的功。分析本題是一維變力作功問題,仍需按功的定義式來求解關鍵在于尋找力函數(shù)F F(x)根據(jù)運動學關系,可將已知力與速度的函數(shù)關系F(v) kv2 變換到F(t),進一步按x ct3 的關系把F(t)轉換為F(x),這樣,就可按功的定義式求解解由運動學方程x ct3 ,可得物體的速度按題意及上述關系,物體所受阻力的大小為則阻力的功為217一人從10m深的井中提水，起始桶中裝有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被勻速地從井中提到井口，人所作的功。（典型）解：水桶在勻速上提的過程中，加速度為0，拉力和重力平衡，在圖示坐標下，水桶重力隨位置的變化關

21、系為Gmggy其中0.2kg/m,人對水桶的拉力的功為218如本題圖所示，A和B兩塊板用一輕彈簧連接起來，它們的質量分別為m1和m2。問在A板上需加多大的壓力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起來時B稍被提起。（設彈簧的勁度系數(shù)為k）解：選取如圖所示坐標系，取原點處為重力勢能和彈性勢能零點，作各種狀態(tài)下物體的受力圖。對A板而言，當施以外力F時，根據(jù)受力平衡有習題218圖219如本題圖所示，質量為m、速度為v的鋼球，射向質量為M的靶，靶中心有一小孔，內(nèi)有勁度系數(shù)為k的彈簧，此靶最初處于靜止狀態(tài)，但可在水平面上作無摩擦滑動，求子彈射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離。解：設彈簧得最大壓縮量為x0。小球

22、與靶共同運動得速度為v1。由動量守恒定律，有習題219圖習題220圖220以質量為m的彈丸，穿過如本題圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。已知擺錘的質量為M，擺線長度為l，如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，彈丸的速度的最小值應為多少？解：221如本題圖所示，一質量為M的物塊放置在斜面的最底端A處，斜面的傾角為，高度為h，物塊與斜面的滑動摩擦因數(shù)為，今有一質量為m的子彈以速度v0 沿水平方向射入物塊并留在其中，且使物塊沿斜面向上滑動，求物塊滑出頂端時的速度大小。解：圖2-40 習題2-22 圖2-22 如圖2-40所示，在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連著物體、，

23、它們質量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為。用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當與開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動多遠?解：（1）當A和B開始分離時，兩者具有相同的速度，根據(jù)能量守恒，可得到：，所以：; （2）分離之后，A的動能又將逐漸的轉化為彈性勢能，所以： ，則： 圖2-41 習題2-23 圖2-23 如圖2-41所示，光滑斜面與水平面的夾角為a=30，輕質彈簧上端固定。今在彈簧的另一端輕輕地掛上質量為M= 1.0kg的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動。當木塊向下滑x=30cm時，恰好有一質量m=0.01kg的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設彈簧

24、的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恒，（瞬間）可得： (碰撞前木快的速度) 習題221圖224 二質量相同的小球，一個靜止，另一個以速度0與靜止的小球作對心碰撞，求碰撞后兩球的速度。（1）假設碰撞是完全非彈性的；（2）假設碰撞是完全彈性的；（3）假設碰撞的恢復系數(shù)。解：由碰撞過程動量守恒以及附加條件，可得（1）假設碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行：所以：（2）假設碰撞是完全彈性的，兩球交換速度， （3）假設碰撞的恢復系數(shù)，也就是所以： ， 習題225圖225如本題圖所示，一質量為m的鋼球，系

25、在一長為l的繩一端，繩另一端固定，現(xiàn)將球由水平位置靜止下擺，當球到達最低點時與質量為M，靜止于水平面上的鋼塊發(fā)生彈性碰撞，求碰撞后m和M的速率。圖2-43 習題2-26 圖2-26 如圖2-43所示，兩個質量分別為m1和m2的木塊A、B，用一勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。A緊靠墻。今用力推B塊，使彈簧壓縮x0然后釋放。（已知）求：（1）釋放后兩滑塊速度相等時的速度大??；（2）彈簧的最大伸長量。解：分析題意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時，是彈簧的彈性勢能轉換為B木塊的動能，然后B帶動A一起運動，此時動量守恒，可得到兩者相同的速度v ，并且此時就是彈簧伸長最大的位置，由機械能守恒

26、可算出其量值。所以（2）那么計算可得：227如本題圖示，繩上掛有質量相等的兩個小球，兩球碰撞時的恢復系數(shù)e=0.5。球A由靜止狀態(tài)釋放，撞擊球B，剛好使球B到達繩成水平的位置，求證球A釋放前的張角q 應滿足cosq = 1/9。B q2L習題227圖ABCL證明：設球A到達最低點的速率為v，根據(jù)機械能守恒有圖2-45 習題2-28 圖2-28 如圖2-45所示，一質量為m，半徑為R的球殼，靜止在光滑水平面上，在球殼內(nèi)有另一質量也為m，半徑為r的小球，初始時小球靜止在圖示水平位置上。放手后小球沿大球殼內(nèi)往下滾，同時大球殼也會在水平面上運動。當它們再次靜止在水平面上時，問大球殼在水平面上相對初始時

27、刻的位移大小是多少？解：系統(tǒng)在水平方向上不受外力，因而系統(tǒng)質心的水平位置始終不變。如圖所示，初始時，系統(tǒng)的質心到球心O的距離為(從質心公式算)小球最終將靜止于大球殼的最下方，而系統(tǒng)質心的水平位置始終不變，因而大球殼在水平面上相對初始時刻的位移大小(另外從質心公式算)圖2-46 習題2-29 圖2-29 如圖2-46所示，從坐標原點以v0的初速度發(fā)射一發(fā)炮彈，發(fā)射傾角q = 45。當炮彈到達 處時，突然爆炸分成質量相同的兩塊，其中一塊豎直下落，求另一塊落地時的位置x2是多少？解：炮彈爆炸后其質心仍按原拋物線軌道運動，因而落地后的質心坐標為由式，且 ，有第三章 剛體力學31一通風機的轉動部分以初角

28、速度0繞其軸轉動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉動部分對其軸的轉動慣量為J，問：（1）經(jīng)過多少時間后其轉動角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時間內(nèi)共轉過多少轉？解：（1）由題可知：阻力矩，又因為轉動定理 當時，。圖3-28 習題3-3圖（2）角位移， 所以，此時間內(nèi)轉過的圈數(shù)為。32質量面密度為的均勻矩形板，試證其對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉動慣量為。其中a，b為矩形板的長，寬。 證明一：如圖，在板上取一質元，對與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉動慣量為 證明二：如圖，在板上取一細棒，對通過細棒中心與棒垂直的轉動軸的轉動慣量為，根據(jù)平行軸定理，對與板面垂直

29、的、通過幾何中心的軸線的轉動慣量為 T(這道題以右邊為坐標原點，左為正方向)3-3 如圖3-28所示，一輕繩跨過兩個質量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質量為和的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。（現(xiàn)在滑輪質量要計，所以繩子拉力會不等）解：受力分析如圖 （1）（2）（3）（4）（對于質量非常小的物體，轉動慣量為零，才有可能T=T1）， (5)聯(lián)立求出，圖3-29 習題3-4圖3-4 如圖3-29所示，一均勻細桿長為L，質量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設開始時桿以角速度繞過細桿中心的豎直軸轉動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多

30、長時間桿才會停止轉動。（1） 解：設桿的線，在桿上取一小質元考慮對稱（2） 根據(jù)轉動定律所以35質量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的轉動慣量分別為J1和J2，輪與軸承間的摩擦力略去不計，繩的質量也略去不計。試求兩物體的加速度和繩中的張力。解：分別對兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律有 又因為組合輪的轉動慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉動定理有（從積分定義式即可算出）而且，（列1.牛二2.轉動定律3.約束方程即可求解） 36如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉軸的轉動慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質量為m1和m2的物體A、B。A置于傾角為

31、的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為。若B向下作加速運動時，求：（1）其下落加速度的大??；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設繩的質量及伸長均不計，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有 對滑輪而言，根據(jù)轉動定律有 由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動，則 圖3-32 習題3-7圖3-7 如圖3-32所示，定滑輪轉動慣量為 J，半徑為 r；物體的質量為 m，用一細繩與勁度系數(shù)為 k 的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。當繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止開始下落。求：（1）物體下落的最大距離；(2) 物體的速度達最大值時的位置。解：（1）機械能守恒

32、。設下落最大距離為 （2）（物體的重力勢能轉化為這些能）若速度達最大值，圖3-36 習題3-11圖3-8 如圖3-33所示，一輕彈簧與一均勻細棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)，當時彈簧無形變，細棒的質量，求在的位置上細棒至少應具有多大的角速度，才能轉動到水平位置？解：機械能守恒圖3-33 習題3-8圖（一開始的機械能=后面的機械能，水平臨界狀態(tài)速度為零，沒有轉動能） 據(jù)幾何關系 圖3-34 習題3-9圖3-9 如圖3-34所示，一質量為、半徑為的圓盤，可繞過點的水平軸在豎直面內(nèi)轉動。若盤從圖中實線位置開始由靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤轉到圖中虛線所示的鉛直位置時，質心C和盤緣

33、A點的速率；（2）在虛線位置軸對圓盤的作用力。解：在虛線位置的C點設為重力勢能的零點，下降過程機械能守恒圖3-34 習題3-9圖 （平行軸定理：圓心到O） 方向向上圖3-35 習題3-10圖3-10 如圖3-35所示，一質量為的質點以v的速度作勻速直線運動。試證明：從直線外任意一點O到質點的矢量r在相同的時間內(nèi)掃過的面積相同。解：質點不受任何力作用才會作勻速直線運動，因而它對O點的力矩也為零，即對O點的角動量守恒 常量。另一方面，矢量r在單位時間內(nèi)掃過的面積：=常量。3-11 如圖3-36所示，質量的衛(wèi)星開始時繞地球作半徑為的圓周運動。由于某種原因衛(wèi)星的運動方向突然改變了q =30角，而速率不

34、變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運動。求（1）衛(wèi)星繞地球作圓周運動時的速率v；（2）衛(wèi)星繞地球橢圓運動時，距地心的最遠和最近距離和。解：（1）由 ，得 （2） 衛(wèi)星在運動過程中對地心的角動量守恒和機械能守恒： (rF=0，角動量守恒)（橢圓的三個點，突變前不守恒）（突變后橢圓的三個點）其中，、分別是衛(wèi)星在遠地點與近地點時的速率，可求出，LoMmv習題3-7圖312如本題圖所示，質量為M長為L的均勻直桿可繞過端點o的水平軸轉動，一質量為m的質點以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖示，若M=6m，求質點與桿分別作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。解：（1）質點與桿完全彈性碰撞，則能量守恒

35、又因為角動量守恒 （碰撞的瞬間角動量守恒） 且 ， (2) 完全非彈性碰撞，角動量守恒 又 習題313圖313如本題圖所示，A與B兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉動慣量J1=10.0kgm2，開始時B輪靜止，A輪以n1=600r/min的轉速轉動，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉速都等于n=200r/min為止。求：（1）B輪的轉動慣量；（2）在嚙合過程中損失的機械能。解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，嚙合過程中系統(tǒng)角動量守恒，即（沒有外力） 所以B輪的轉動慣量為 （2）嚙合過程中系統(tǒng)機械能變化圖3-39 習題3-14圖圖3-39 習題3-14圖3-14 如圖3-39所

36、示，長為的輕桿（質量不計），兩端各固定質量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉動，轉軸O距兩端分別為和。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質量為的小球，以水平速度v0與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動量守衡 有圖3-40 習題3-15圖3-15 如圖3-40所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO自由轉動，轉動慣量為J0 ，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為0 ，今有一質量為m 的小球靜止在環(huán)內(nèi)A 點，由于微小擾動使小球向下滑動。問小球到達B、C點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？ (假設環(huán)內(nèi)壁光滑。)圖3-40 習題3-15圖解: (1

37、)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至點時，有（球看成質心J=mR2） 該系統(tǒng)在轉動過程中，機械能守恒，設小球相對于圓環(huán)的速率為，以點為重力勢能零點，則有 聯(lián)立、兩式，得(2)當小球滑至點時， 故由機械能守恒，有(A、C兩點沒有轉動，所以轉動慣量回到初始狀態(tài)，) 316一長為2L的均勻細桿，一端靠墻上，另一端放在的水平地板上，如本題圖所示，所有的摩擦均可略去不計，開始時細桿靜止并與地板成0角，當松開細桿后，細桿開始滑下。問細桿脫離墻壁時，細桿與地面的夾角為多大？解：如圖，以初始細桿的質心為原點建立坐標系，則任意時刻質心坐標為 （1） （2） 取初始位置的勢能為零，則根據(jù)機械能守恒有

38、（3）（掉下了y，轉化為.）將式（1）代入（3）得 （4） （5） 當細桿與墻壁脫離接觸時， （6） 將式（4）、（5）、（6）代入（2）解得OCAB317如本題圖所示，A、B兩個輪子的質量分別為m1和m2，半徑分別為r1和r2。另有一細繩繞在兩輪上，并按圖所示連接。其中A輪繞固定軸O轉動。試求：（1）B輪下落時，其輪心的加速度；（2）細繩的拉力。解：如圖，取豎直向下為正方向。輪A作定軸轉動，設其角加速度為，根據(jù)轉動定理有 輪B作平面運動，設質心加速度為，角加速度為，根據(jù)牛頓定律有 根據(jù)轉動定理有 A輪邊緣一點加速度 B輪邊緣一點加速度 Clh習題3-18圖 而且 ，318如本題圖所示，一長為

39、l的均質桿自水平放置的初始位置平動自由下落，落下h距離時與一豎直固定板的頂部發(fā)生完全彈性碰撞，桿上碰撞點在距質心C為l/4處，求碰撞后瞬間的質心速率和桿的角速度。解：由機械能守恒 其中J為繞質心轉動慣量由動量定理 由角動量定理 聯(lián)立解得 ，q2q-4q2q習題41圖第4章真空中的靜電場41 在邊長為a的正方形的四角，依次放置點電荷q,2q,-4q和2q，它的幾何中心放置一個單位正電荷，求這個電荷受力的大小和方向。解：如圖可看出兩2q的電荷對單位正電荷的在作用力將相互抵消，單位正電荷所受的力為方向由q指向-4q。42 如圖，均勻帶電細棒，長為L，電荷線密度為。（1）求棒的延長線上任一點P的場強；

40、(2)求通過棒的端點與棒垂直上任一點Q的場強。0dqxdx,P習題42 圖ax解：（1）如圖72 圖a，在細棒上任取電荷元dq，建立如圖坐標，dqldx，設棒的延長線上任一點P與坐標原點0的距離為x，則整根細棒在P點產(chǎn)生的電場強度的大小為0dqxdx,P習題42 圖bydEqyQq00方向沿x軸正向。（2）如圖72 圖b，設通過棒的端點與棒垂直上任一點Q與坐標原點0的距離為y， 因，代入上式，則，方向沿x軸負向。43 一細棒彎成半徑為R的半圓形，均勻分布有電荷q，求半圓中心O處的場強。dqqqdExy習題43圖R解：如圖，在半環(huán)上任取dl=Rdq的線元，其上所帶的電荷為dq=lRdq。對稱分析

41、Ey=0。，如圖，方向沿x軸正向。a12習題44圖0 xdq44 如圖線電荷密度為1的無限長均勻帶電直線與另一長度為l、線電荷密度為2的均勻帶電直線在同一平面內(nèi)，二者互相垂直，求它們間的相互作用力。解：在2的帶電線上任取一dq，1的帶電線是無限長，它在dq處產(chǎn)生的電場強度由高斯定理容易得到為，兩線間的相互作用力為如圖，方向沿x軸正向。45 兩個點電荷所帶電荷之和為Q，問它們各帶電荷多少時，相互作用力最大？解：設其中一個電荷的帶電量是q，另一個即為Qq，若它們間的距離為r，它們間的相互作用力為相互作用力最大的條件為由上式可得：Q=2q，q=Q/2yqr習題46圖o46 一半徑為R的半球殼，均勻帶

42、有電荷，電荷面密度為，求球心處電場強度的大小。 解：將半球殼細割為諸多細環(huán)帶，其上帶電量為dq在o點產(chǎn)生的電場據(jù)（710）式為，。如圖，方向沿y軸負向。47 設勻強電場的電場強度E與半徑為R的半球面對稱軸平行，計算通過此半球面電場強度的通量。S1S2E習題47圖解：如圖，設作一圓平面S1蓋住半球面S2，成為閉合曲面高斯，對此高斯曲面電通量為0，即r0R習題48圖48 求半徑為R，帶電量為q的空心球面的電場強度分布。解： 由于電荷分布具有球對稱性，因而它所產(chǎn)生的電場分布也具有球對稱性，與帶電球面同心的球面上各點的場強E的大小相等，方向沿徑向。在帶電球內(nèi)部與外部區(qū)域分別作與帶電球面同心的高斯球面S

43、1與S2。對S1與S2，應用高斯定理，即先計算場強的通量，然后得出場強的分布，分別為得 （rR)d習題49圖0 xE49 如圖所示，厚度為d的“無限大”均勻帶電平板，體電荷密度為，求板內(nèi)外的電場分布。解:帶電平板均勻帶電，在厚度為d/2的平分街面上電場強度為零，取坐標原點在此街面上，建立如圖坐標。對底面積為A，高度分別為xd/2的高斯曲面應用高斯定理，有得 習題410圖ro 410 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其體電荷密度為，0為常數(shù)。求場強分布。解： 據(jù)高斯定理有時：時：411 帶電為q、半徑為R1的導體球，其外同心地放一金屬球殼，球殼內(nèi)、外半徑為R2、R3。oR1R2R3q-qq習題411

44、圖（1）球殼的電荷及電勢分布；（2）把外球接地后再絕緣，求外球殼的電荷及球殼內(nèi)外電勢分布；（3）再把內(nèi)球接地，求內(nèi)球的電荷及外球殼的電勢。解：（1）靜電平衡，球殼內(nèi)表面帶q，外表面帶q電荷。據(jù)（723）式的結論得： （2） （3）再把內(nèi)球接地，內(nèi)球的電荷及外球殼的電荷重新分布設靜電平衡，內(nèi)球帶q/，球殼內(nèi)表面帶q/，外表面帶q/q。得：oo/pr2r1習題412圖412 一均勻、半徑為R的帶電球體中，存在一個球形空腔，空腔的半徑r(2rR），細線近端離球心的距離為L。設球和細線上的電荷分布固定，試求細線在電場中的電勢能。解：在帶電細線中任取一長度為dr的線元，其上所帶的電荷元為dq=ldr，據(jù)

45、（723）式帶電球面在電荷元處產(chǎn)生的電勢為電荷元的電勢能為: 細線在帶電球面的電場中的電勢能為： p習題415圖xo*415 半徑為R的均勻帶電圓盤，帶電量為Q。過盤心垂直于盤面的軸線上一點P到盤心的距離為L。試求P點的電勢并利用電場強度與電勢的梯度關系求電場強度。解：P到盤心的距離為L，p點的電勢為圓盤軸線上任意點的電勢為利用電場強度與電勢的梯度關系得：P到盤心的距離為L，p點的電場強度為：416 兩個同心球面的半徑分別為R1和R2,各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)城電勢分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢差為多少？解：（1）據(jù)（723）式的結論得各區(qū)城電勢分布為oQ1Q2R1R

46、2習題416圖 （2）兩球面間的電勢差為417 一半徑為R的無限長帶電圓柱，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷體密度為，若取棒表面為零電勢，求空間電勢分布并畫出電勢分布曲線。解： 據(jù)高斯定理有時：時，V=0，則時：時：RroV空間電勢分布并畫出電勢分布曲線大致如圖。418 兩根很長的同軸圓柱面半徑分別為R1、R2，帶有等量異號的電荷，兩者的電勢差為U，求：（1）圓柱面單位長度帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場強度。習題418圖ro解：設圓柱面單位長度帶電量為l，則兩圓柱面之間的電場強度大小為兩圓柱面之間的電勢差為由上式可得：所以419 在一次典型的閃電中，兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的

47、電荷約為30庫侖，如果釋放出來的能量都用來使00C的冰熔化成00C的水，則可融化多少冰?（冰的熔解熱為3.34105Jkg-1)解：兩個放電點間的電勢差約為109V，被遷移的電荷約為30庫侖，其電勢能為上式釋放出來的能量可融化冰的質量為：8.98104kg420 在玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運動。（1）若把電子從原子中拉出來需要克服電場力作多少功?（2）電子在玻爾軌道上運動的總能量為多少？解：電子沿半徑為a的玻爾軌道上繞原子核作圓周運動，其電勢能為（1）把電子從原子中拉出來需要克服電場力作功為：（2）電子在玻爾軌道上運動的總能量為：電子的總能量為：第五章 靜電

48、場中的導體與電介質R2R1習題 51圖q-qq51 點電荷+q處在導體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為Rl和R2，試求，電場強度和電勢的分布。解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q電荷在rR1的區(qū)域內(nèi)，在R1rR2的區(qū)域內(nèi):52 把一厚度為d的無限大金屬板置于電場強度為E0的勻強電場中，E0與板面垂直，試求金屬板兩表面的電荷面密度。E0E0習題 52圖s1s2解：靜電平衡時，金屬板內(nèi)的電場為0，金屬板表面上電荷面密度與緊鄰處的電場成正比所以有53 一無限長圓柱形導體，半徑為a，單位長度帶有電荷量l1，其外有一共軸的無限長導體圓簡，內(nèi)外半徑分別為b和c，單位長度帶有電荷量l2，求（1）圓筒內(nèi)

49、外表面上每單位長度的電荷量；（2）求電場強度的分布。解：（1）由靜電平衡條件，圓筒內(nèi)外表面上每單位長度的電荷量為習題 53圖（2）在ra的區(qū)域內(nèi):E=0在ab的區(qū)域內(nèi):Een54 三個平行金屬板A、B和C，面積都是200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C兩板都接地，如圖所示。如果A板帶正電3.0107C，略去邊緣效應（1）求B板和C板上感應電荷各為多少?（2）以地為電勢零點，求A板的電勢。解：（1）設A板兩側的電荷為q1、q2，由電荷守恒原理和靜電平衡條件，有ABC習題 54圖d1d2（1），（2）依題意VAB=VAC,即代入（1）（2）式得q11.010-7C，q22

50、.010-7C，qB1.010-7C，qC=-q22.010-7C，（2）=2.3103V習題 55圖q-qq+Q55 半徑為R1=l.0cm的導體球帶電量為q=1.01010 C，球外有一個內(nèi)外半徑分別為R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心導體球殼，殼帶有電量Q=111010 C，如圖所示，求（1）兩球的電勢；（2）用導線將兩球連接起來時兩球的電勢；（3）外球接地時，兩球電勢各為多少？（以地為電勢零點）解：靜電平衡時，球殼的內(nèi)球面帶q、外球殼帶q+Q電荷（1）代入數(shù)據(jù)3.3102V=2.7102V（2）用導線將兩球連接起來時兩球的電勢為=2.7102V（3）外球接地時，兩球電勢各為60V

51、56 證明:兩平行放置的無限大帶電的平行平面金屬板A和B相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6108 C和QB=4108C，略去邊緣效應，求兩個板的四個表面上的電面密度。證：設A板帶電量為QA、兩側的電荷為q1、q2，B板板帶電量為QB、兩側的電荷為q3、q4。由電荷守恒有q2AB習題 56圖q1q3q4（1）（2）在A板與B板內(nèi)部取兩場點，金屬板內(nèi)部的電場為零有，得（3），得（4）聯(lián)立上面4個方程得：,即相向的兩面上電荷面密度大小相等，符號相反，相背的兩面上電荷面密度大小等，符號相同，本題得證

52、。如果兩金屬板的面積同為100cm2，帶電量分別為QA=6108 C和QB=4108C，則5.0106C/m2,1.010-6C/m257 半徑為R的金屬球離地面很遠，并用細導線與地相聯(lián)，在與球心相距離為D=3R處有一點電荷+q，試求金屬球上的感應電荷。qQD=3RR習題 57圖解：設金屬球上的感應電荷為Q，金屬球接地電勢為零，即tdbx習題 58圖58 一平行板電容器，兩極板為相同的矩形，寬為a，長為b，間距為d，今將一厚度為t、寬度為a的金屬板平行地向電容器內(nèi)插入，略去邊緣效應，求插入金屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關系。解：設如圖左邊電容為C1，右邊電容為C2左右電容并聯(lián)，總電容即金

53、屬板后的電容量與金屬板插入深度x的關系，為=(a)(b)習題 59圖59 收音機里的可變電容器如圖（a）所示，其中共有n塊金屬片，相鄰兩片的距離均為d，奇數(shù)片聯(lián)在一起固定不動（叫定片）偶數(shù)片聯(lián)在起而可一同轉動（叫動片）每片的形狀如圖（b）所示。求當動片轉到使兩組片重疊部分的角度為q時，電容器的電容。解：當動片轉到使兩組片重疊部分的角度為q時，電容器的電容的有效面積為此結構相當有n-1的電容并聯(lián)，總電容為510 半徑都為a的兩根平行長直導線相距為d（da），（1）設兩直導線每單位長度上分別帶電十l和一l求兩直導線的電勢差；（2）求此導線組每單位長度的電容。解：（1）兩直導線的電電場強度大小為or

54、習題 510圖兩直導線之間的電勢差為（2）求此導線組每單位長度的電容為=ABC1C3C2習題 511圖511 如圖，C1=10mF，C2=5mF，C3=5mF，求（1）AB間的電容；（2）在AB間加上100V電壓時，求每個電容器上的電荷量和電壓；（3）如果C1被擊穿，問C3上的電荷量和電壓各是多少？解：（1）AB間的電容為=3.75mF；（2）在AB間加上100V電壓時，電路中的總電量就是C3電容器上的電荷量，為（3）如果C1被擊穿，C2短路，AB間的100V電壓全加在C3上，即V3=100V，C3上的電荷量為V習題 512圖512 平行板電容器，兩極間距離為l.5cm，外加電壓39kV，若空氣的擊穿場強為30kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？現(xiàn)將一厚度為0.3cm的玻璃插入電容器中與兩板平行，若玻璃的相對介電常數(shù)為7，擊穿場強為100kV/cm，問此時電容器是否會被擊穿？結果與玻璃片的位置有無關系?解：（1）未加玻璃前，兩極間的電場為不會擊穿（2）加玻璃后，兩極間的電壓為空氣部分會擊穿，此后，玻璃中的電場為，玻璃部分也被擊穿。結果與玻璃片的位置無關。513 一平行板電容器極板面積為S，兩板間距離為d,其間充以相對介電常數(shù)分別為er1、er2，的兩種均勻電