2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題07 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(含解析)

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1、專題07冪函數(shù)與二次函數(shù)最新考綱1.了解冪函數(shù)的概念2.結(jié)合函數(shù)yx,yx2,yx3,y,的圖象,了解它們的變化情況3.理解并掌握二次函數(shù)的定義,圖象及性質(zhì)4.能用二次函數(shù),方程,不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.基礎(chǔ)知識融會貫通1冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,是常數(shù)(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 特征性質(zhì)yxyx2yx3yyx1定義域RRR0,)x|xR,且x0值域R0,)R0,)y|yR,且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式:一般式:f(x)ax2bxc(a0)頂點式:f(x)a(xm

2、)2n(a0),頂點坐標(biāo)為(m,n)零點式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0),x1,x2為f(x)的零點(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【知識拓展】1冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限,至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性(2)冪函數(shù)的圖象過定點(1,1),如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點(3)當(dāng)0時,yx在0,)上為增函數(shù);當(dāng)0時,yx在(0,)上為減函數(shù)2若f(x)ax2bxc(a0),則當(dāng)時恒有f(x)0,當(dāng)時,恒有f(x)0.重點難點突破【題型一】冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【典型例題】下圖給出4個冪函數(shù)的圖象,則圖象與函數(shù)

3、的大致對應(yīng)是()A,yx2,yx1Byx3,yx2,yx1Cyx2,yx3,yx1D,yx2,yx1【解答】解:的圖象關(guān)于y軸對稱,應(yīng)為偶函數(shù),故排除選項C,D由圖象知,在第一象限內(nèi),圖象下凸,遞增的較快,所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1,故排除A故選:B【再練一題】已知點(2,8)在冪函數(shù)f(x)xn圖象上,設(shè),則a,b,c的大小關(guān)系是()AbacBabcCcbaDbca【解答】解:點(2,8)在冪函數(shù)f(x)xn圖象上,f(2)2n8,解得n3,f(x)x3,設(shè),a()0.33()0.9()01,b()0.23()0.6()01,c()3(log1)30,a,b,c的大小關(guān)系是bac故選:A思維升華

4、 (1)冪函數(shù)的形式是yx(R),其中只有一個參數(shù),因此只需一個條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在區(qū)間(1,)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(3)在比較冪值的大小時,必須結(jié)合冪值的特點,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助其單調(diào)性進(jìn)行比較,準(zhǔn)確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵【題型二】求二次函數(shù)的解析式【典型例題】已知二次函數(shù)f(x)ax2+(b2)x+3,且1.3是函數(shù)f(x)的零點(1)求f(x)解析式,并解不等式f(x)3;(2)若g(x)f(sinx),求函數(shù)g(x)的值域【解答】解:(1)由題意得,f(x)x2

5、+2x+3,x2+2x+33,即x22x0,x|x0或x2,(2)令tsinx1,1,g(t)t2+2t+3(t1)2+40,4,g(x)0,4【再練一題】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(0)f(2)3(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在區(qū)間2a,a+1上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍【解答】解:(1)由已知,設(shè)f(x)a(x1)2+1,由f(0)3,得a2,故f(x)2x24x+3;(2)二次函數(shù)的對稱軸為x1,2aa+1,即a1,當(dāng)對稱軸在區(qū)間的左側(cè)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間2a,a+1上單調(diào)遞增,即2a1解得a;當(dāng)對稱軸在區(qū)間的右側(cè)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間2a,a+1上單調(diào)遞減

6、,即a+11解得a0,綜上,實數(shù)a的取值范圍為(,0,1)思維升華 求二次函數(shù)解析式的方法【題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題點1二次函數(shù)的圖象【典型例題】已知A,B分別為函數(shù)f(x)x2+2x+1和函數(shù)g(x)1圖象上的兩點,則|AB|的最小值為()ABCD【解答】解:由于函數(shù)g(x)1與函數(shù)yx2+2x+1(x1)關(guān)于yx對稱,又由函數(shù)f(x)與g(x)的圖象可知,當(dāng)A,B最近時,點A應(yīng)在函數(shù)yx2+2x+1(x1)上,則|AB|的最小值為函數(shù)f(x)或g(x)圖象上的點到直線yx距離最小值的2倍,由g(x)l,得x,y1,g(x)圖象上的點到直線yx距離最小值即為點(,)到直線yx的距離,

7、其值為,則|AB|的最小值為,故選:B【再練一題】設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x,時,恒有f(x+a)f(x),則實數(shù)a的取值范圍是()A(,)B(1,)C(,0)D(,【解答】解:a0時,顯然不符題意;當(dāng)x,時,恒有f(x+a)f(x),即為f(x)的圖象恒在f(x+a)的圖象之上,則a0,即f(x)的圖象右移故A,B錯;畫出函數(shù)f(x)(a0)的圖象,當(dāng)x時,f()a;而f(x+a),則x時,由a(a)2+aa,解得a(舍去),隨著f(x+a)的圖象左移至f(x)的過程中,均有f(x)的圖象恒在f(x+a)的圖象上,則a的范圍是(,0),故選:C命題點2二次函數(shù)的單調(diào)性【典型例題】已知函數(shù)f(x)x2

8、+|x+1a|,其中a為實常數(shù)()判斷f(x)在,上的單調(diào)性()若存在xR,使不等式f(x)2|xa|成立,求a的取值范圍【解答】解:()函數(shù)f(x)x2+|x+1a|,其中a為實常數(shù);當(dāng)xa1時,f(x)x2+x+1a,它的圖象是拋物線的一部分,對稱軸是x,若a,則a1,在x時,f(x)是增函數(shù),f(x)在,上單調(diào)遞增;若a,則a,f(x)在a1,上是增函數(shù);當(dāng)xa1時,f(x)x2x1+a,它的圖象是拋物線的一部分,對稱軸是x,若a,則a1,在x時,f(x)是減函數(shù),f(x)在,上單調(diào)遞減;若a,則a1,f(x)在,a1上是減函數(shù);綜上,a時,f(x)在,上是增函數(shù);a時,f(x)在a1,

9、上是增函數(shù),在,a1上是減函數(shù);a時,f(x)在,上是減函數(shù);()先求使不等式f(x)2|xa|對xR恒成立時a的取值范圍;當(dāng)xa1時,不等式化為x2x1+a2(ax),即x2+x1a,a;若a1,即a,則a相矛盾;若a1,即a,則a(a1)2+(a1)1,即a22a10,解得a1或a1,a1;當(dāng)a1xa時,不等式化為x2+x+1a2(ax),即x2+3x+13a,3a;若a1a,即a;若a1,即a,3a(a1)2+3(a1)+1,即a22a10,解得a1或a1;結(jié)合條件及得,a1;若a,3aa2+3a+1恒成立;綜上,a1;當(dāng)xa時,不等式化為x2+x+1a2(xa),即a2x+1a;a,得

10、a,即a,結(jié)合得a1;使不等式f(x)2|xa|對任意xR恒成立的a的取值范圍是a1,本題所求的a的取值范圍是a1或a【再練一題】已知函數(shù)f(x)ax2|x|+2a1(a為實常數(shù))(1)若a1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a0,設(shè)f(x)在區(qū)間1,2的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;(3)設(shè),若函數(shù)h(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍【解答】解:(1)a1,f(x)x2|x|+1f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(),(,0); f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(),()(2)由于a0,當(dāng)x1,2時,若,即,則f(x)在1,2為增函數(shù)g(a)f(1)3a2若,即,若,即時,f(x)在1,2上是

11、減函數(shù):g(a)f(2)6a3綜上可得(3)在區(qū)間1,2上任取x1、x2,則(*)h(x)在1,2上是增函數(shù)h(x2)h(x1)0(*)可轉(zhuǎn)化為ax1x2(2a1)0對任意x1、x21,2且x1x2都成立,即ax1x22a1當(dāng)a0時,上式顯然成立a0,由1x1x24得,解得0a1a0,由1x1x24得,得所以實數(shù)a的取值范圍是命題點3二次函數(shù)的最值【典型例題】【解答】解:(1)當(dāng)1時,函數(shù)y2x22ax+3在區(qū)間1,1上是增函數(shù),故當(dāng)x1時,函數(shù)取得最小值是 f(1)2a+5當(dāng)11時,由于函數(shù)y2x22ax+3對稱軸是x,故當(dāng)x時,函數(shù)在區(qū)間1,1上取得最小值是 f()3當(dāng) 1時,函數(shù)y2x2

12、2ax+3在區(qū)間1,1上是減函數(shù),故當(dāng)x1時,函數(shù)取得最小值是 f(1)52a綜上可得 f(a)(2)當(dāng)2a0時,f(a)3在2,0上是增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)(a)log0.5f(a)在2,0上是減函數(shù)同理可得,數(shù)(a)log0.5f(a)在0,2上是增函數(shù)【再練一題】已知函數(shù)f(x)log2x的定義域是2,16設(shè)g(x)f(2x)f(x)2(1)求函數(shù)g(x)的解析式及定義域;(2)求函數(shù)g(x)的最值【解答】解:(1)由題意可得g(x),且,進(jìn)一步得:,且定義域為【2,8】,(2)令tlog2x,則t1,3,h(t)t2+t+1,h(t)在【1,3】遞減h(t)的值域為【h(3

13、),h(1)】,即【5,1】,當(dāng)x8時,g(x)有最小值5,當(dāng)x2時,g(x)有最大值1命題點4二次函數(shù)中的恒成立問題【典型例題】不等式x2+a|x|+40對一切實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A0,+)B4,+)C4,4D(,4【解答】解:f(x)x2+a|x|+4為偶函數(shù);當(dāng)a0,x0時,函數(shù)化為f(x)x2+ax+4,對稱軸x0,f(0)40,不等式恒成立;當(dāng)a0時,x0時,函數(shù)化為f(x)x2+ax+4,可得a2160顯然成立解得4a0,綜上a4,+)故選:B【再練一題】已知對a(,0),x(0,+),不等式x2+(3a)x+32a2kex成立,則實數(shù)k的取值范圍為()A(3,+

14、)B3,+)C(4,+)D4,+)【解答】解:由不等式x2+(3a)x+32a2kex成立,即成立,令f(x),則f(x)令f(x)0,可得:x12a1,x2a,a(,0),x12a10,x2a0x(0,+),當(dāng)x(0,a),f(x)0,則f(x)在x(0,a)單調(diào)遞增當(dāng)x(a,+),f(x)0,則f(x)在x(a,+)單調(diào)遞減當(dāng)xa時,f(x)取得最大值為f(a)k,即f(a)k,a(,0),f(a)f(0)k即k3故選:B思維升華 解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時要注意:(1)拋物線的開口,對稱軸位置,定義區(qū)間三者相互制約,要注意分類討論;(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,尤其是給定區(qū)間上的二次

15、函數(shù)最值問題,先“定性”(作草圖),再“定量”(看圖求解)(3)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域基礎(chǔ)知識訓(xùn)練1若,則ABCD【答案】B【解析】由得:則指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知:由冪函數(shù)單調(diào)性可知:綜上所述:本題正確選項:2用b,表示a,b,c三個數(shù)中的最小值設(shè)函數(shù),則函數(shù)的最大值為A4B5C6D7【答案】B【解析】如圖所示:則的最大值為交點的縱坐標(biāo),由,得即當(dāng)時,故選:B3已知,則x等于ABCD【答案】A【解析】由題意,可知,可得,即,所以,解得故選:A4三個數(shù)acos,blg,c之間的大小關(guān)系是()ABCD【答

16、案】D【解析】acos(0,1),blg0,c1,bac故選:D5在同一直角坐標(biāo)系中,的圖像可能是()ABCD【答案】B【解析】因為的圖象為過點的遞增的指數(shù)函數(shù)圖象,故排除選項;的圖象為過點的遞減的函數(shù)圖象,故排除選項,故選B6函數(shù)的圖像必經(jīng)過點( )A(0,2)B(4,3)C(4,2)D(2,3)【答案】B【解析】令,所以,因此函數(shù)過點(4,3).故選B7函數(shù)在區(qū)間上的最小值是A B C D4【答案】B【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在該區(qū)間單調(diào)遞減,故當(dāng)取到最小值,為,故選B.8函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A B C D【答案】D【解析】設(shè)tx22x3,則函數(shù)在(,1上單調(diào)遞減,在1,+)上單

17、調(diào)遞增因為函數(shù)在定義域上為減函數(shù),所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可知,此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+)故選:D9不等式的解集是( )A B C D【答案】D【解析】因為y2x在R上是增函數(shù),所以2x73所以不等式的解集是x|x3,故選D.10如圖,在四個圖形中,二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像只可能是( )A BC D【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y()x可知a,b同號且不相等,則二次函數(shù)yax2+bx的對稱軸0可排除B與D,又二次函數(shù),當(dāng)x=0時,y=0,而A中,x=0時,y0,故A不正確故選C11若函數(shù)的最大值為2,則實數(shù)的值為( )A-1 B-2 C-3 D-4【答案】A【解析】解:函數(shù)f(x)3|

18、x|m是偶函數(shù),x0時,函數(shù)是減函數(shù),函數(shù)的最大值為:1m2,解得m1故選:A12已知,若對任意,則的取值范圍是( )A B C D【答案】C【解析】g(x)2,當(dāng)x時,恒成立,當(dāng)x時,g(x)0,又xR,f(x)0或g(x)0,f(x)m(x2m)(x+m+3)0在x時恒成立,即m(x2m)(x+m+3)0在x時恒成立,則二次函數(shù)ym(x2m)(x+m+3)圖象開口只能向下,且與x軸交點都在(,0)的左側(cè),即,解得m0,實數(shù)m的取值范圍是:(,0)故選C13計算_【答案】8【解析】故答案為:814函數(shù)的值域是_【答案】【解析】因為單調(diào)遞增,所以的值域為,的值域為(1,+)故答案為:(1,+)

19、15某品牌筆記本電腦的成本不斷降低,若每隔4年價格就降低,則現(xiàn)在價格為8100元的筆記本電腦,12年后的價格將降為_元【答案】2400【解析】12年后的價格可降為81002400元故答案為240016函數(shù)的圖象恒過定點, 點在冪函數(shù)的圖象上,則=_.【答案】27【解析】當(dāng)時,函數(shù),故,設(shè)冪函數(shù),則,解得,故.17已知定義在R上的函數(shù)f(x)=3x(1)若f(x)=8,求x的值;(2)對于任意的x0,2,f(x)-33x+13-m0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍【答案】(1)x=2(2)m【解析】(1)f(x)=3x=8,即(3x)2-83x-9=0,解得:x=2;(2)原式轉(zhuǎn)化為f(x)-33x+

20、13m,令g(x)=f(x)-33x+13=(3x)2-33x+4,令t=3x,由x0,2,則t1,9,故y=t2-3t+4,當(dāng)t=時,y取最小值,故m18已知奇函數(shù)的定義域為-1,1,當(dāng)時,。(1)求函數(shù)上的值域;(2)若時,函數(shù)的最小值為-2,求實數(shù)的值?!敬鸢浮浚?);(2)【解析】(1)設(shè)x(0,1,則x1,0)時,所以f(x)2x又因為f(x)為奇函數(shù),所以有f(x)f(x),所以當(dāng)x(0,1時,f(x)f(x)2x,所以上的值域為(1,2,(2)由(1)知當(dāng)x(0,1時,f(x)(1,2,所以f(x)(,1令tf(x),則 t1,g(t)f2(x)f(x)+1t2t+1,當(dāng),即1時

21、,g(t)g(),無最小值,當(dāng)1,即12時,g(t)ming()12,解得2 (舍去)當(dāng)1,即2時,g(t)ming(1)2,解得4,綜上所述,419設(shè)函數(shù) 且 .(1)若,求不等式的解集;(其中單調(diào)性只需判斷)(2)若,且上恒成立,求的最大值.【答案】(1);(2)-2【解析】(1),又,所以所以單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,故在R上單調(diào)遞增,又 是R上的奇函數(shù),由 . (2),解得(舍)或,則令, ,恒成立,即上恒成立,即上恒成立,而 m的最大值為.20已知函數(shù)的定義域為,且對任意的. 當(dāng)時,.(1)求并證明的奇偶性;(2)判斷的單調(diào)性并證明;(3)求;若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1

22、)0,證明見解析,為奇函數(shù);(2)單調(diào)遞增,證明見解析;(3).【解析】(1),又因為的定義域為R關(guān)于原點對稱,所以為奇函數(shù).(2),因為,所以單調(diào)遞增.(3),若,f(,由(2)知單調(diào)遞增,所以,.能力提升訓(xùn)練1下列各式正確的是( )A BC D【答案】D【解析】對于A,a,當(dāng)a為負(fù)數(shù)時等式不成立,故A不正確;對于B,a01,當(dāng)a0時無意義,故B不正確;對于C,左邊為正,右邊為負(fù),故C不正確;對于D,故D正確故選:D2函數(shù)圖象恒過的定點是A B C D【答案】B【解析】由題意,函數(shù),令,解得,的圖象過定點故選:B3若=8,y=log217,z=()-1,則()A B C D【答案】D【解析】

23、由,則,而,故,答案為D.4設(shè)函數(shù)f(x)=,則函數(shù)f()的定義域為()A B C D【答案】A【解析】因為,所以,因為,所以的定義域為,故選A5下列函數(shù)中,滿足“”的函數(shù)是ABCD【答案】C【解析】不恒成立,選項A不滿足;選項B不滿足;選項C滿足;選項D不滿足;故選:C6函數(shù),若不等式恒成立,則t的取值范圍是A B C D【答案】A【解析】解:由,可得,遞增,且,不等式,即為恒成立由上遞增,可得時,取得最大值,即有,的取值范圍是故選:A7已知實數(shù),則以下不等式中恒成立的是A B C D【答案】A【解析】因為是增函數(shù),所以由可得,選項正確;當(dāng)時,不成立,選項錯誤;因為是減函數(shù),由可得,選項錯誤

24、,時,不成立,選項錯誤,故選A8已知函數(shù),記解不等式:;設(shè)k為實數(shù),若存在實數(shù),使得成立,求k的取值范圍;記 (其中a,b均為實數(shù)),若對于任意的,均有,求a,b的值【答案】(1) (2) (3)【解析】函數(shù),即為,即為,即有,解得,即解集為;存在實數(shù),使得成立,即為,設(shè),在遞增,可得,即有,則,設(shè),即有,在遞增,可得,即有.,令,若對于任意的,均有,即對任意,解得:9已知關(guān)于的函數(shù),其中.()當(dāng)時,求滿足的實數(shù)的取值范圍;()若當(dāng)時,函數(shù)的圖象總在直線的上方,求的整數(shù)值.【答案】();().【解析】()當(dāng)時,, 即故實數(shù)的取值范圍是 ()上恒成立, 即上恒成立. 因為函數(shù)上均為單減函數(shù),所以上為單增函數(shù),最大值為. 因此解得.故實數(shù)的整數(shù)值是.10已知是偶函數(shù).(1)求的值;(2)解關(guān)于不等式;(3)求函數(shù)的值域.【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)因為是偶函數(shù),所以;又對任意實數(shù)恒成立,因此(2)因為的導(dǎo)數(shù)且當(dāng)時,恒成立所以上是增函數(shù);又因為是偶函數(shù)又兩邊平方可得,即不等式的解集為 (3)函數(shù)令,由可知,.所以由可得所以函數(shù)的值域是.28

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