《小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題行程問題.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題行程問題.doc（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、行程問題經(jīng)典題型（一）1、甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行70米。問他走后一半路程用了多少分鐘？分析：解法、全程的平均速度是每分鐘（80+70）/2=75米，走完全程的時間是6000/75=80分鐘，走前一半路程速度一定是80米，時間是3000/80=37.5分鐘，后一半路程時間是80-37.5=42.5分鐘解法2：設(shè)走一半路程時間是x分鐘，則80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分鐘因為80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，時間是3000/80=37.5分鐘，后一半路程時間
2、是40+（40-37.5）=42.5分鐘答：他走后一半路程用了42.5分鐘。2、小明從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路、一半下坡路。小明上學(xué)走兩條路所用的時間一樣多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法1：設(shè)路程為180，則上坡和下坡均是90。設(shè)走平路的速度是2，則下坡速度是3。走下坡用時間90/3=30，走平路一共用時間180/2=90，所以走上坡時間是90-30=60走與上坡同樣距離的平路時用時間90/2=45因為速度與時間成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。解法2：因為距離和時間都相同，所以平均速度也相同，又
3、因為上坡和下坡路各一半也相同，設(shè)距離是1份，時間是1份，則下坡時間=0.5/1.5=1/3，上坡時間=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75解法3：因為距離和時間都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75答：上坡的速度是平路的0.75倍。3、一只小船從甲地到乙地往返一次共用2小時，回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米。那么甲、乙兩地之間的距離是多少千米？分析：解法，第二小時比第一小時多走6千米，說明逆水走1小時還差6/2=3千米沒到乙地。順水走1小時比逆水多走8千米，說明
4、逆水走3千米與順水走8-3=5千米時間相同，這段時間里的路程差是5-3=2千米，等于1小時路程差的1/4，所以順水速度是每小時5*4=20千米（或者說逆水速度是3*4=12千米）。甲、乙兩地距離是12*1+3=15千米解法，順水每小時比逆水多行駛8千米，實際第二小時比第一小時多行駛6千米，順水行駛時間=6/8=3/4小時，逆水行駛時間=2-3/4=5/4，順水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，順水速度=8*5/（5-3）=20千米/小時，兩地距離=20*3/4=15千米。答：甲、乙兩地距離之間的距離是15千米。4、一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)
5、出開往乙站，全程要走15分鐘。有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站。他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車。到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘？分析：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出。騎車中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是5*8=40（分鐘）。答：他從乙站到甲站用了40分鐘。5、甲、乙兩人在河中游泳，先后從某處出發(fā)，以同一速度向同一方向游進。現(xiàn)在甲位于乙的前方，乙距起點20米，當乙游到甲現(xiàn)在的位置時，甲將游離起點98米。問：甲現(xiàn)在離起點多少米？
6、分析：甲、乙速度相同，當乙游到甲現(xiàn)在的位置時，甲也又游過相同距離，兩人各游了（98-20）/2=39（米），甲現(xiàn)在位置：39+20=59（米）答：甲現(xiàn)在離起點59米。6、甲、乙兩輛汽車同時從東西兩地相向開出，甲每小時行56千米，乙每小時行48千米，兩車在離兩地中點32千米處相遇。問：東西兩地的距離是多少千米？分析：解法1：甲比乙1小時多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了64/8=8小時，所以距離是8*（56+48）=832（千米）解法2：設(shè)東西兩地距離的一半是X千米，則有：48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距離是2*416=832（千米）解法3：甲乙速度比=56：
7、48=7：6，相遇時，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，兩地距離=2*32/（1/13）=832千米。答：東西兩地間的距離是832千米。7、李華步行以每小時4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營報到。0.5小時后，營地老師聞訊前往迎接，每小時比李華多走1.2千米。又過了1.5小時，張明從學(xué)校騎車去營地報到。結(jié)果3人同時在途中某地相遇。問：騎車人每小時行駛多少千米？分析：老師速度=4+1.2=5.2（千米），與李相遇時間是老師出發(fā)后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小時），相遇地點距離學(xué)校4*（0.5+2）=10（千米），所以騎車人速度=10/（2+0.5-2）=
8、20（千米）答：騎車人每小時行駛20千米。8、快車和慢車分別從甲、乙兩地同時開出，相向而行，經(jīng)過5小時相遇。已知慢車從乙地到甲地用12.5小時，慢車到甲地停留0.5小時后返回，快車到乙地停留1小時后返回，那么兩車從第一次相遇到第二次相遇需要多少時間？分析：解法，快車5小時行過的距離是慢車12.5-5=7.5小時行的距離，慢車速度/快車速度=5/7.5=2/3。兩車行1個單程用5小時，如果不停，再次相遇需要5*2=10小時，如果兩車都停0.5小時，則需要10.5小時再次相遇?？燔嚩嗤?0分鐘，這段路程快車與慢車一起走，需要30/（1+2/3）=18（分鐘）所以10.5小時+18分鐘=10小時48
9、分鐘解法2：回程慢車比快車多開半小時，這半小時慢車走了0.5/12.5=1/25全程，兩車合起來少開1/25，節(jié)省時間=5*1/25=0.2小時，所以，從第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小時。答：兩車從第一次相遇到第二次相遇需要10小時48分鐘。9、某校和某工廠之間有一條公路，該校下午2時派車去該廠接某勞模來校作報告，往返需用1小時。這位勞模在下午1時便離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的汽車，便立刻上車駛向?qū)W校，在下午2時40分到達。問：汽車速度是勞模步行速度的幾倍？解：汽車走單程需要60/2=30分鐘，實際走了40/2=20分鐘的路程，說明相遇時間是2：20，2點20
10、分相遇時，勞模走了60+20=80分鐘，這段距離汽車要走30-20=10分鐘，所以車速/勞模速度=80/10=8答：汽車速度是勞模步行速度的8倍。10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙兩人分別由A，B兩地同時出發(fā)。如果相向而行，0.5小時后相遇；如果他們同向而行，那么甲追上乙需要多少小時？分析：兩人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差*追及時間。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以：追及時間=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小時）答：甲追上乙需要3小時。11、獵狗發(fā)現(xiàn)在離它10米的前方有一只奔
11、跑著的兔子，馬上緊追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的時間，兔卻跑3步。問狗追上兔時，共跑了多少米路程？分析：狗跑2步時間里兔跑3步，則狗跑6步時間里兔跑9步，兔走了狗5步的距離，距離縮小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）答：狗追上兔時，共跑了60米。12、張、李兩人騎車同進從甲地出發(fā)，向同一方向行進。張的速度比李的速度每小時快4千米，張比李早到20分鐘通過途中乙地。當李到達乙地時，張又前進了8千米。那么甲、乙兩地之間的距離是多少千米？分析：解法1，張速度每小時8/（20/60）=24（千米），李速度每小時24-4=20（千米），張到乙時超過李距離是20*（20/6
12、0）=20/3（千米）所以甲乙距離=24*（20/3/4）=40（千米）解法2：張比李每小時快4千米，現(xiàn)共多前進了8千米，即共騎了8/4=2小時，張從甲到乙用了2*60-20=100分鐘，所以甲乙兩地距離=（100/20）*8=40千米。答：甲、乙兩地之間的距離是40千米。13、上午8時8分，小明騎自行車從家里出發(fā)；8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上他的時候，離家恰好是8千米。問這時是幾時幾分？分析：爸爸第一次追上小明離家4千米，如果等8分鐘，再追上時應(yīng)該離家8千米，說明爸爸8分鐘行8千米，爸爸一共行了8+8=16分鐘，
13、時間是8點8分+8分+16分=8點32分。答：這時8點32分。14、龜兔進行10000米賽跑，兔子的速度是烏龜?shù)乃俣鹊?倍。當它們從起點一起出發(fā)后，烏龜不停地跑，兔子跑到某一地點開始睡覺，兔子醒來時烏龜已經(jīng)領(lǐng)先它5000米；兔子奮起直追，但烏龜?shù)竭_終點時，兔子仍落后100米。那么兔子睡覺期間，烏龜跑了多少米？分析：兔子跑了10000-100=9900米，這段時間里烏龜跑了9900*1/5=1980米，兔子睡覺時烏龜跑了10000-1980=8020米答：兔子睡覺期間烏龜跑了8020米。15、一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地。大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍。已知大轎車比小轎車早出發(fā)17
14、分鐘，但在兩地中點停了5分鐘后，才繼續(xù)駛往乙地；在小轎車出發(fā)后中途沒有停，直接駛往乙地，最后小轎車卻比大轎車早4分鐘到達乙地。又知大轎車是上午10時從甲地出發(fā)的，求小轎車追上大轎車的時間。分析：解法1，大車如果中間不停車，要比小車多費17-5+4=16分鐘，大車用的時間與小車用的時間之比是速度比的倒數(shù)，即1/0.8=5/4，所以大車行駛時間是16/（5-4）*5=80分鐘，小車行駛時間是80-16=64分鐘，走到中間分別用了40和32分鐘。大車10點出發(fā)，到中間點是10點40分，離開中點是10點45分，到達終點是11點25分。小車10點17分出發(fā)，到中間點是10點49分，比大車晚4分；到終點是
15、11點21分，比大車早4分。所以小車追上大車的時間是在從中間點到終點之間的正中間，11點5分。解法2：大轎車的速度是小轎車速度的0.8倍，大轎車的用時是小轎車用時的1/0.8=1.25倍，大轎車比小轎車多用時17-5+4=16分鐘，大轎車行駛時間=16*（1.25/0.25）=80分鐘，小轎車行駛時間=16/（0.25）=64分鐘，小轎車比大轎車實際晚開17-5=12分鐘，追上需要=12*0.8/（1-0.8）=48分鐘，48+17=65分=1小時5分，所以，小轎車追上大轎車的時間是11時5分答：小轎車追上大轎車的時間是11點5分。行程問題（二）走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量
16、：距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內(nèi)（例如1小時內(nèi)）行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度時間很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個人的數(shù)量人數(shù).工作量=工作效率時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它獨自的特點，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習中，也是一個
17、重點內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離= 甲的速度時間-乙的速度時間=（甲的速度-乙的速度）時間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同
18、時從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學(xué)校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=961.5（小時）.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是 54-648（千米/小時）.城門離學(xué)校的距離是481.572（千米）.答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家
19、到公園多遠？解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 10（75- 50） 20（分鐘）?因此，小張走的距離是75 20 1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.解二：小張加快速度后，每走1米，可節(jié)約時間（1/75-1/50）分鐘，因此家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比較，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小
20、時才能追上；如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了301-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是 答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離速度差1小時與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15 20（千米/小時）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即
21、回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 1243（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8324（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是
22、小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度時間+乙的速度時間=（甲的速度+乙的速度）時間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36（31）9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張
23、從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2（5-4）2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）218（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點嗎？對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考
24、慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加
25、5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12 16 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點（或E點）相遇所用時間是285 5.6（小時）.比C點相遇少用 6-5.60.4（小時）.甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是120.430（千米/小時）.同樣道理，乙的速度是160.440（千米/小時）.A到 B距離是（30 40）6 420（千米）.答： A，B兩地距離是 420千米.很
26、明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：（1）小張和小王分別從A， D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米？解：（1）小張從 A到 B需要 1660 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5660 25（分鐘）；當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘），走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1
27、 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2 （4 4）60 15（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時間是25 15 40 （分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1260=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小張離終點還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時從同一地
28、點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是5001.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點
29、第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是803240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬
30、上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是403602（小時）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了62-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張 1025（千米/小時），小王 82=4（千米/小時）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們
31、在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問
32、題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-（811）=5（千米）.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5（46）0.5（小時）.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時4
33、0分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30（5-3）15（秒）.因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90（5-3）45（秒）.B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，150，195，再看看A與B什么時候到達同一位
34、置.第一次是出發(fā)后30（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上B一圈.需要90（10-5）18（秒），A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考， 3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向
35、各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出分數(shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點相遇.PDA與 PCB所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=18-12=6.而（PC上所需時間+PD上所需時間）是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計算得PC
36、上所需時間是（24+6）215，PD上所需時間是24-159.現(xiàn)在兩輛汽車從M點同時出發(fā)反向而行，MPDAN與MCBN所用時間相等.M是PC中點.PDAN與CBN時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=PDA所需時間-CB所需時間=（918）-12= 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復(fù)雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：（1）在行程中能設(shè)置一個解題需要的點；（2）靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小
37、時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一張示意圖：圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設(shè)置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是1.3（5.4-4.8）60=130（分鐘）.這也是從出發(fā)到張
38、、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要1302=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時間是13065=195（分鐘）3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比
39、是41，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫一張示意圖設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成：騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：不妨設(shè)B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是11.52.5（單位）.每個單位是 20002.5800（米）.因此，從公園到家的距離是8001.
40、51200（米）.答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖：設(shè)C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5（小時）.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準備后，下面很易計算了.慢車
41、從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛37=21（單位）.從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-114（單位）.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14（23）2.8（小時）.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.50.52.810.8（小時）.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因為去時逆水，小船到達不了B地.我們在
42、B之前設(shè)置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達處.如下圖第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點，D至C是8千米.也就是D至A順水行駛時間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順水行駛，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此順水速度逆水速度=53.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是 123=15（千米）.答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽
43、車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行.1小時20分后，在第二段的1/3處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？解一：畫出如下示意圖：當從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達D處，這樣，D把第一段分成兩部分兩車在第二段的1/3處相遇，水明甲城汽車從D到E走完第一段，與乙城汽車走完第二段的1/3從C到F，所用時間相同，設(shè)這一時間為一份，一小時20分相當于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要 30390（分鐘）；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到
44、相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.解二：走第一段的2/5,與走第三段時間一樣就得出第一段所用時間第三段所用時間=52.D至E與C至F所用時間一樣，就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時間一樣。第一段所用時間第二段所用時間=59.因此，三段路程所用時間的比是：592.汽車走完全程所用時間是 802160（分種）.例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，
45、再將速度提高25，則可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米？解：設(shè)原速度是1.就得出，加速20后，所用時間縮短到原時間的這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理，車速提高25，所用時間縮短到原來的換一句話說，縮短了1/5，現(xiàn)在要充分利用這個1/5如果一開始就加速25，可少時間現(xiàn)在只少了40分鐘， 72-4032（分鐘）.說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時間的1/5，因此這段路所用時間是：真巧，320-160160（分鐘），原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這
46、一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關(guān)系，當然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有x1207232.行程問題（一）（基礎(chǔ)篇）行程問題的基礎(chǔ)知識以及重要知識點提到行程問題就不得不說3個行程問題中一定會用到的數(shù)s,t,v s 路程 t 時間 v 速度這3個數(shù)之間的關(guān)系就是：路程=速度X時間 s= vt同時可以得出另外兩個關(guān)系：速度=路程時間 v= s/t時間=路程速度 t= s/v我們來看幾個例子：例1，一個人以5米/秒的速度跑了20秒，那么他跑了多遠？5米/秒是這個人的速度 v， 20秒是他一共跑的時間 t，
47、求他跑的距離也就是路程 s， 我們就可以直接利用這3個數(shù)量的關(guān)系 s=vt來計算出路程：s=vt=5x20=100(米）。例2 ，從A地到B地的直線距離是100米，有一個人從A地到B地去，每秒走2米，那么他需要多久可以到達B地？首先100米是路程 s， 每秒走2米就是速度 v （2米/秒） ， 要求的就是需要用的時間 t所以我們就可以利用 t=s/v來計算出時間：t=s/v=1002=50（秒）例3，小明從家上學(xué)的路程是500米，他只用了10分鐘就走到了學(xué)校，那么他走路的速度是多少？這道題目里給出的500米是上學(xué)的路程 s ，10分鐘是上學(xué)去需要的時間 t， 求的是走這段路的速度 v，我們就可
48、以利用這3個數(shù)量的關(guān)系v=s/t得出：v=s/t=50010=50（米/分） 以上是學(xué)習行程問題必須要懂的基本知識。在上面的內(nèi)容中所提到的行程問題都是速度不變的情況，那么如果在走的過程中速度發(fā)生了改變，那么我們就不能再用 s=vt來解決了。變速的過程中一個重要的知識點就是 平均速度 平均速度=總路程總時間平均速度的計算方法和平均數(shù)不同，我們不可以將各個不同的速度加在一起取平均值。 例4，某貨車往返于相距60千米的AB兩地之間，從A地到B地時速度是6千米/小時，從B地返回時，速度是12千米/小時，那么貨車往返的平均速度是多少？首先我們先算出往返的總路程就是60X2=120（千米）然后算出往返的總
49、時間，去時的是是606=10（小時），回來的時間是6012=5（小時），那么總共用時是10+5=15（小時）這時再計算平均速度=總路程總時間=12015=8（千米/小時） 【將兩個速度加起來求平均（6+12）2=9（千米/小時）是錯誤的?！吭谏弦坏李}目中，如果將AB兩地之間的距離改成120千米，那么平均速度變成了多少呢？我們來實際操作一下：總路程=120X2=240（千米）總時間=1206+12012=20+10=30（小時）所以平均速度=總路程總時間=24030=8（千米/小時）我們發(fā)現(xiàn)，在這個過程中路程變成了2倍，但是平均速度沒有變化，同學(xué)們試下將總路程改成其他數(shù)字，再計算一次平均速度。結(jié)
50、論：往返運動中，平均速度不受總路程影響，之跟往返的速度有關(guān)。于是這道題目可以改成： 例5，某貨車往返于AB兩地之間，從A地到B地時速度是6千米/小時，從B地返回時，速度是12千米/小時，那么貨車往返的平均速度是多少？ 題目中并沒有給我們AB之間的路程，并且我們又知道AB之間的距離不影響往返的平均速度的計算，所以我們可以選擇自己設(shè)一個距離。比如我們設(shè)AB之間的距離是60千米，那么計算的時候就跟例4一樣，得到平均速度是8千米/小時。我們還可以不設(shè)一個具體的數(shù)，設(shè)AB之間的路程是“1”。 解：設(shè)AB之間的路程是“1”。 則貨車往返的總路程就是1X2=2 往返的總時間是16+112=1/4 于是往返的
51、平均速度就是21/4=8（千米/小時） 答：火車往返于AB之間的平均速度是8千米/小時。 小結(jié)：行程問題的基礎(chǔ)，重點是懂得行程問題中三個量的關(guān)系、以及理解平均速度的概念。行程問題（二）（知識篇）本貼主要針對行程問題中最常用的相遇與追及問題進行講解相遇問題 學(xué)了一個人的行程問題之后我們就可以開始說一下兩個人的相遇問題.(當然也包括兩輛車,飛機之類),第一種形式就是相遇問題,相遇問題的主要公式就是: 路程=時間X速度和 - s= t (v1+v2)例1,甲乙二人分別從AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,經(jīng)過20秒后兩人相遇,那么AB兩地的距離是多少? 解:這是相遇問題中最簡單
52、的例子,首先我們先分別考慮甲乙二人,甲的速度是5米/秒,他走了20秒,所以他走的距離是5X20=100米.乙的速度是4米/秒,他走了20秒所以一共走了4X20=80米. 兩人從AB兩地相遇,所以他們一共走的路程就是AB,所以AB之間的路程就是100+80=180米. 我們還可以使用相遇問題的公式直接來解決這個問題： s=t (v1+v2)=20X(5+4)=180 (米) 這個公式的意義就是,將相遇過程中的兩人速度看做一個整體,因為他們所走的時間是相同的,所以總的相遇過程里可以把兩個人的速度和當成一個速度來利用s=vt計算. 這個公式還有幾個變形: t=s/(v1+v2) v1+v2=s/t
53、(在這個公式中,當我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度)例2,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,甲的速度是5米/秒,乙的速度是4米/秒,過了多久兩人相遇? 這道題目中給了兩人的速度,還有路程,要求時間,我們可以利用第2條公式計算出時間: t=s/(v1+v2)=180(4+5)=20(秒)例3,甲乙二人分別從相距180米的AB兩地相向而行,經(jīng)過20秒后兩人相遇,甲的速度是5米/秒,那么乙的速度是多少? 題目中給了路程和時間,因此我們可以計算出速度和: v1+v2=s/t=18020=9米/秒 然后利用速度和減去其中一個人的速度求出另一人的速度: 9-5=4米/秒注意:相遇問
54、題不單是兩個人相向行走最后相遇的問題,只要兩人的前進方向是相反的,都叫做相遇問題.例4,甲乙兩人同時從某地出發(fā),甲以每秒5米的速度向東走,乙用每秒4米的速度向西走,那么20秒之后兩人相距多遠?這道題目中兩人并沒有相遇的過程,但是他們的行進方向是相反的,因此這個問題也屬于相遇問題,依然適用公式: s=t (v1+v2)=20X(5+4)=180 (米)例5，甲乙二人在距離200米的AB兩地，向?qū)Ψ剿诘牡胤阶呷ィ椎乃俣仁?米/秒，乙的速度是4米/秒，那么10秒后兩人的距離是多遠？ 下載 (5.62 KB)2009-10-20 11:57題目中給了我們時間和兩個人的速度，因此我們可以求出兩人在1
55、0秒內(nèi)一共走了多遠： s=t (v1+v2)=10X(5+4)=90 (米) 兩人原本距離是200米，經(jīng)過10秒后縮短了90米，所以這時兩人的距離是200-90=110（米）-追及問題 追及問題就是兩人同向而行，一個人從后面追上另一人的過程，它的公式是： 路程=時間X速度差-s=t(v1-v2) 變形公式： t=s/(v1-v2)； v1-v2=s/t (在這個公式中,當我們知道其中一人的速度就可以算出另一人的速度) 實際上在相遇問題與追及問題中，唯一的區(qū)別就是兩人的速度不再是求和而是求差，兩人的行進方向不再是相向，而是同向。例6，甲乙二人沿著一條公路跑步，甲以5米/秒的速度追趕前方30米處以
56、2米/秒的速度跑步的乙，他需要多少時間可以追上乙？ 解：這道題給了我們兩人的距離，和速度，這樣我們可以求出總路程和速度差，所以時間就是 t=s/(v1-v2)= 30（5-2）=10（秒）注意:只要兩個人的行進方向是相同的，都是追及問題。例7，甲乙兩人同時同向從同地出發(fā)，甲的速度是5米/秒，乙的速度是2米/秒，那么過了10秒后，兩人的距離是多少？這道題中并沒有一個人追上另一個人的過程，但是兩人的前進方向相同，因此也屬于追及問題，依然可以使用公式： s=t(v1-v2)=10X（5-2）=30（米） 小結(jié)：行程問題中的相遇與追及，重點是理解“反向=相遇”“同向=追及”這2個概念，以及相遇、追及問
57、題的公式。更多的拓展知識將在下一講里繼續(xù)討論。行程問題（三）（提高篇1）本貼主要針對行程問題中錯車問題（火車過橋）問題進行講解錯車問題例1，兩列火車在兩條平行的鐵軌上相向行駛，它們的長度分別是40米和50米，速度分別是3米/秒和6米/秒，那么兩車從車頭相遇到車尾離開一共用了多久？看這道例題之前我們先要弄明白一件事，兩車從車頭相遇到車尾離（錯車）到底是一個什么樣的過程。下載 (8.68 KB)2009-10-28 13:44如圖我們看到兩車長度分別是l1 和 l2 他們車頭相遇的時候車頭之間的距離是0，當他們車尾離開的瞬間，他們的車頭之間的距離剛好是兩車的總長度，因此在錯車的過程中，兩車的車頭一
58、共拉開了l1+l2的距離，根據(jù)上一講的知識，這是一個相遇問題，所以兩車走的路程和是l1 +l2。我們知道兩車一共走的路程，又知道分別的速度，那么時間就是（40+50）（3+6）=10（秒）從這里我們可以得出一個結(jié)論，兩車相向行駛時的錯車問題公式：兩車長度和兩車速度和=錯車時間- （l1+l2）（v1+v2）=t我們來解讀一下這個公式，它跟我們上一講的相遇問題公式：路程速度和=時間（s(v1+vsub2/sub)=t)，是完全一樣的，只不過這里的路程就是兩車的長度和，因此求其他的量的過程也跟上一講一樣，這里不再重復(fù)，只給出相應(yīng)公式：兩車長度和=兩車速度和錯車時間- （l1+l2）=（v1+v2）t兩車速度和=兩車長度和錯車時間- （v1+v2）=（l1+l2）t 例2、甲乙兩車在兩條平行鐵軌上相向行駛，他們的長度分別是40米和50米，甲車的速度是3米/秒，兩車從車頭相遇到車尾離開一共用了10秒，那么乙車的速度是多少？解：我們知道了兩車的長度和是90米，時間是10秒，那么速度和就可以用公式：（v1+v2）=（l1+l2）t =（40+50）10=9（米/秒） 有了速度和，我們要求其中一個速度： 9-3=6（米/秒）
小學(xué)數(shù)學(xué)典型應(yīng)用題行程問題.doc
