2019高考數(shù)學二輪復習 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習 理

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1、第2講 圓錐曲線的綜合問題 A組　小題提速練 一、選擇題 1．已知雙曲線－＝1(b>0)的離心率等于b，則該雙曲線的焦距為(　　) A．2　　　　　　　　 B．2 C．6 D．8 解析：設雙曲線的焦距為2c.由已知得＝b， 又c2＝4＋b2，解得c＝4，則該雙曲線的焦距為8. 答案：D 2．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，則雙曲線C的離心率是(　　) A. B. C．2 D. 解析：由雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，可得＝2，∴e＝＝＝.故選A. 答案：A 3．(2018·合肥質檢)若雙曲線C1：－

2、＝1與C2：－＝1(a>0，b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4，則b＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：C1的漸近線為y＝±2x， 即＝2. 又∵2c＝4，c＝2. 由c2＝a2＋b2得， ∴20＝b2＋b2，b＝4. 答案：B 4．已知拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，點P為拋物線上一點，且在第一象限，PA⊥l，垂足為A，|PA|＝2，則直線AF的傾斜角為(　　) A. B. C. D. 解析：由拋物線方程得F. ∵|PF|＝|PA|＝2， ∴P點的橫坐標為2－＝. ∵P在拋物線上，且在第一象限， ∴點P的縱坐標為，

3、∴點A的坐標為， ∴AF的斜率為＝－， ∴AF的傾斜角為，故選D. 答案：D 5．已知拋物線y2＝8x的焦點為F，直線y＝k(x－2)與此拋物線相交于P，Q兩點，則＋＝(　　) A. B．1 C．2 D．4 解析：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由題意可知，|FP|＝x1＋2，|FQ|＝x2＋2，則＋＝＋＝，聯(lián)立直線與拋物線方程消去y，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝. 答案：A 6．若對任意k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓＋＝1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．[1,2) C．[1,2)∪(

4、2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，因為直線與橢圓恒有公共點，所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因為k∈R，所以k2≥0，則m－1≥0，所以m≥1，又m≠2，所以實數(shù)m的取值范圍是[1,2)∪(2，＋∞)． 答案：C 7．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，A，B是拋物線上橫坐標不相等的兩點．若AB的垂直平分線與x軸的交點是(4,0)，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．10 解析：因為F(1,0)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(

5、4,0)，由|MA|2＝|MB|2得(4－x1)2＋y＝(4－x2)2＋y　①，又y＝4x1，y＝4x2，代入①中并展開得16－8x1＋x＋y＝16－8x2＋x＋y，即x－x＝4x1－4x2，得x1＋x2＝4，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝＋＝6，當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時等號成立，所以|AB|max＝6，故選C. 答案：C 8．(2018·長沙模擬)P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|＋|PQ|的最小值為(　　) A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1 解析：設F2是雙曲線C的右焦點，因

6、為|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，顯然當F2，P，Q三點共線且P在F2，Q之間時，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離．易知l的方程為y＝或y＝－，F(xiàn)2(，0)，求得F2到l的距離為1，故|PF1|＋|PQ|的最小值為2＋1.選D. 答案：D 9．過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左頂點A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F.若＜k＜，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A．(，) B．(，1) C．(，) D．(0，) 解析：由題圖可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又

7、＜k＜，所以＜＜，化簡可得＜＜，從而可得＜e＜，選C. 答案：C 10．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點．若·<0，則y0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：由題意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨設F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，所以＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，所以·＝x－3＋y＝3y－1<0，所以－

8、．3 B．4 C．5 D.＋1 解析：由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，∴N與F重合．過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.故選A. 答案：A 12．(2018·南昌調研)已知圓O1：(x－2)2＋y2＝16與圓O2：x2＋y2＝r2(0e2)，則e1＋2e2的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：①當動圓M

9、與圓O1、O2都相內切時，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，∴e1＝. ②當動圓M與圓O1相內切，與圓O2相外切時， |MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′， ∴e2＝， ∴e1＋2e2＝＋＝， 令12－r＝t(10

10、范圍是e≥2. 答案：[2，＋∞) 14．(2018·懷化模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若橢圓上存在點P，使得∠F1PF2＝120°，則橢圓的離心率的取值范圍是________． 解析：由題意可得，橢圓的上頂點和兩個焦點構成的等腰三角形中，頂角大于等于120°，所以底角小于等于30°，則≥， 即e≥，又e＜1，所以橢圓的離心率的取值范圍是[，1)． 答案：[，1) 15．(2018·合肥質檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________． 解析：設P點坐標為(x0，

11、y0)．由題意知a＝2， ∵e＝＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. 故所求橢圓方程為＋＝1. ∴－2≤x0≤2，－≤y0≤. ∵F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)， ＝(2－x0，－y0)， ∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1 ＝(x0－2)2. 即當x0＝－2時，·取得最大值4. 答案：4 B組　大題規(guī)范練 1．已知P是拋物線E：y2＝2px(p>0)上一點，P到直線x－y＋4＝0的距離為d1，P到E的準線的距離為d2，且d1＋d2的最小值為3. (1)求拋物線E的方程； (2)直線l1：y＝k1(x－1)交E于點A，B，直線l2：y＝k2(

12、x－1)交E于點C，D，線段AB，CD的中點分別為M，N，若k1k2＝－2，直線MN的斜率為k，求證：直線l：kx－y－kk1－kk2＝0恒過定點． 解析：(1)拋物線E的焦點為F，由拋物線的定義可得d2＝|PF|， 則d1＋d2＝d1＋|PF|， 其最小值為點F到直線x－y＋4＝0的距離， ∴＝3，解得p＝4或p＝－20(舍去)， ∴拋物線E的方程為y2＝8x. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得kx2－(2k＋8)x＋k＝0， 則x1＋x2＝，所以y1＋y2＝k1(x1－1)＋k1(x2－1)＝k1(x1＋x2)－2k1＝－2k1＝＝， ∴線段AB的中點M的

13、坐標為， 同理可得點N的坐標為， ∴直線MN的斜率k＝＝－，則k(k1＋k2)＝－2， ∴直線l的方程kx－y－kk1－kk2＝0可化為y＝kx－k(k1＋k2)，即y＝kx＋2. 令x＝0，可得y＝2， ∴直線l恒過定點(0,2)． 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左焦點為F(－1,0)，過點D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點． (1)求橢圓C的標準方程； (2)在y軸上，是否存在定點E，使·恒為定值？若存在，求出E點的坐標和這個定值；若不存在，說明理由． 解析：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1， 所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1.

14、(2)設過點D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為y＝kx＋2， 由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－. y1＋y2＝(kx1＋2)＋(kx2＋2)＝k(x1＋x2)＋4＝. 設存在點E(0，m)，則＝(－x1，m－y1)， ＝(－x2，m－y2)， 所以·＝x1x2＋m2－m(y1＋y2)＋y1y2＝＋m2－m·－＝. 要使得·＝t(t為常數(shù))， 只需＝t，從而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝

15、0， 即解得m＝，從而t＝， 故存在定點E，使·恒為定值. 3．已知M為橢圓C：＋＝1上的動點，過點M作x軸的垂線，垂足為D，點P滿足＝. (1)求動點P的軌跡E的方程； (2)若A，B兩點分別為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為橢圓C的左焦點，直線PB與橢圓C交于點Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍． 解析：(1)設P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y≠0. 由＝，得(m－x，－y)＝(0，－n)， 則有? 又M(m，n)為橢圓C：＋＝1上的點， ∴＋＝1，即x2＋y2＝25， 故動點P的軌跡E的方程為x2＋y2＝25(y≠0)． (2

16、)依題意知A(－5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(－4,0)，設Q(x0，y0)， ∵線段AB為圓E的直徑， ∴AP⊥BP，設直線PB的斜率為kPB， 則kPA＝－， ＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·＝－＝－＝＝＝， ∵點P不同于A，B兩點且直線QF的斜率存在， ∴－5b>0)的離心率e＝，頂點為A1，A2，B1，B2，且·＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線B2P交x

17、軸于點Q，直線A1B2交直線A2P于點E.設直線A2P的斜率為k，直線EQ的斜率為m，試問2m－k是否為定值？并說明理由． 解析：(1)因為e＝，所以＝， 由題意得A1(－a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)， 所以＝(a，－b)，＝(a，b)． 又·＝3，所以a2－b2＝3，所以c＝， 所以a＝2，b＝＝1， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)2m－k是定值．理由如下： 由(1)可知A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－1)，B2(0,1)． 因為直線A2P的斜率為k，所以直線A2P的方程為y＝k(x－2)，其中k≠±，且k≠0， 聯(lián)立，得消去y，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0. 因為xA2＝2，所以xP＝，所以P， 則直線B2P的方程為y＝x＋1 ＝－x＋1， 令y＝0，得x＝，所以Q. 易得直線A1B2的方程為x－2y＋2＝0， 聯(lián)立，得解得所以E， 所以EQ的斜率m＝＝. 所以2m－k＝2·－k＝，是定值． 11