2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第十一單元 選考內(nèi)容 第82講 曲線的參數(shù)方程練習 理（含解析）新人教A版

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1、第82講　曲線的參數(shù)方程 1．(經(jīng)典真題)已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0<α<2π)，M為PQ的中點． (1)求M的軌跡的參數(shù)方程； (2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點． (1)依題意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 所以M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)， M的軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)，0<α<2π)． (2)M點到坐標原點的距離 d＝＝(0<α<2π)． 當α＝π時，d＝0，故M的軌跡過坐標原點． 2．(2017

2、·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當s＝時，dmin＝. 因此當點P的坐標為(4,4)時，曲線C上的點P到直線l的距離取到最小值. 3．(2018·長沙模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C1： (t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)． (1)若曲線C1與曲線C2有一個公共點在x軸上，求a的值； (2)當a＝3時，曲線C1與曲線

3、C2交于A，B兩點，求A，B兩點的距離． (1)曲線C1： 的直角坐標方程為y＝3－2x. 曲線C1與x軸的交點為(，0). 曲線C2： 的直角坐標方程為＋＝1. 曲線C2與x軸的交點為(－a,0)，(a,0). 由a>0，曲線C1與曲線C2有一個公共點在x軸上，知a＝. (2)當a＝3時，曲線C2： 為圓x2＋y2＝9. 圓心到直線y＝3－2x的距離d＝＝. 所以A，B兩點的距離 |AB|＝2＝2＝. 4．(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為

4、ρsin(θ＋)＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． (1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos α，sin α)． 因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值， d(α)＝＝|sin(α＋)－2|， 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為(，)． 5．(2018·武漢二月調(diào)研)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直

5、線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點． (1)求|AB|的值； (2)若F為曲線C的左焦點，求·的值． (1)由消去參數(shù)θ得：＋＝1. 由消去參數(shù)t得：y＝2x－4. 將y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得 17x2－64x＋16×11＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 |AB|＝|x1－x2| ＝·＝. 所以|AB|的值為. (2)由(1)知F(－2，0)，所以 ·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2(x1＋

6、x2)＋12] ＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60 ＝5×－6×＋60＝44.6． 6. (2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (2)求AB的中點P的軌跡的參數(shù)方程． (1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當||＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈(，)或α∈(，)． 綜上，α的取值范圍是(，)． (2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，＜α＜)． 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 (α為參數(shù)，＜α＜)． 4