2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題08 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含解析）

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1、專題08指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 最新考綱 1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景． 2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算． 3.理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為2,3,10，，的指數(shù)函數(shù)的圖象． 4.體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 基礎(chǔ)知識融會貫通 1．分數(shù)指數(shù)冪 (1)我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在條件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式．正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分數(shù)

2、指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【知識拓展】 1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫法 畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，. 2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)

3、的圖象越高，底數(shù)越大． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a＞1與0＜a＜1來研究． 重點難點突破 【題型一】指數(shù)冪的運算 【典型例題】 若0＜a＜1，b＞0，且，則ab﹣a﹣b等于（　?。? A． B．2或﹣2 C．﹣2 D．2 【解答】解：∵， ∴a2b+a﹣2b＝8﹣2＝6． ∴（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4． ∵0＜a＜1，b＞0， ∴ab＜a﹣b， 則ab﹣a﹣b＝﹣2． 故選：C． 【再練一題】 設(shè)a＞0，將表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：由題意

4、 故選：C． 思維升華 (1)指數(shù)冪的運算首先將根式，分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應(yīng)注意： ①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加； ②運算的先后順序． (2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)． (3)運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)． 【題型二】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 【典型例題】 函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點A，則下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點A的是（　?。? A．y B．y＝|x﹣2| C．y＝2x﹣1 D．y＝log2（2x） 【解答】解：函數(shù)f（x）＝y(tǒng)＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過點

5、A， 即x﹣1＝0，可得x＝1， 那么：y＝1． ∴恒過點A（1，1）． 把x＝1，y＝1帶入各選項， 經(jīng)考查各選項，只有A沒有經(jīng)過A點． 故選：A． 【再練一題】 函數(shù)的圖象的大致形狀是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：f（x）是分段函數(shù)，根據(jù)x的正負寫出分段函數(shù)的解析式，f（x）， ∴x＞0時，圖象與y＝ax在第一象限的圖象一樣，x＜0時，圖象與y＝ax的圖象關(guān)于x軸對稱， 故選：C． 思維升華 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除． (2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平

6、移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論． 【題型三】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 命題點1　指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 【典型例題】 已知函數(shù)f（x）＝（）x，若a＝f（20.3），b＝f（2），c＝f（log25），則a，b，c的大小關(guān)系為（　?。? A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝（）x，則f（x）在R上為減函數(shù)， 又由20.3＜21＜2＜log25， 則a＞b＞c； 故選：B． 【再練一題】 下列不等關(guān)系式正確的是（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：A冪函

7、數(shù)y在（0，+∞）上是增函數(shù)，則，故A錯誤， B．函數(shù)y在R上是增函數(shù)，則，故B錯誤， C．冪函數(shù)y在（0，+∞）上是減函數(shù)，則，故C正確， D．函數(shù)y＝0.7x在R上是減函數(shù)，則，故D錯誤， 故選：C． 命題點2　與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 【典型例題】 已知函數(shù)． （1）判斷f（x）的單調(diào)性； （2）求f（x）的值域； （3）解方程f（x）＝0； （4）求解不等式f（x）＞0． 【解答】解：（1）此函數(shù)由y＝t2+t﹣2與t兩個函數(shù)復(fù)合而成，由于t是一個減函數(shù)，且其值域為（0，+∞），函數(shù) y＝t2+t﹣2在（，+∞）是增函數(shù)，此復(fù)合函數(shù)外增內(nèi)減，故是單調(diào)

8、遞減函數(shù)； （2）由（1）內(nèi)層函數(shù)的值域是（0，+∞），外層函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故函數(shù)的值域為（﹣2，+∞）； （3）由f（x）＝0得t2+t﹣2＝0，解得t＝﹣2（舍）或t＝1，令解得x＝0； （4）由f（x）＞0得t2+t﹣2＞0解得t＞1或t＜﹣2（舍），令，解得x＜0，即不等式的解集是（﹣∞，0）． 【再練一題】 已知函數(shù)f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范圍． 【解答】解：（1）當(dāng)a＝﹣1時，f（x）， 令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（

9、x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞減， 而yt在R上單調(diào)遞減， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞減，在（﹣2，+∞）上 單調(diào)遞增， 即函數(shù)f（ x）的遞增區(qū)間是（﹣2，+∞），遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，yh（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）應(yīng)有最小值﹣1， 因此1， 解得a＝1． 即當(dāng)f（x）有最大值3時，a的值等于1． （3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知， 要使y＝h（x）的值域為（0，+∞）． 應(yīng)使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域為R， 因此只能有a＝0． 因為若a≠0，則h（x）為二次函數(shù)，其

10、值域不可能為R． 故 a的取值范圍是{0}． 命題點3　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 【典型例題】 對于函數(shù)f（x）＝4x﹣m?2x+1，若存在實數(shù)x0，使得f（﹣x0）＝﹣f（x0）成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．m B．m C．m≤1 D．m≥1 【解答】解：∵f（x）＝4x﹣m?2x+1，f（﹣x0）＝﹣f（x0）， ∴m?m?， ∴m（）， ∴2m， 令t，則t≥2， ∴2m＝t（t≥2）， ∵函數(shù)y＝t與函數(shù)y在[2，+∞）上均為單調(diào)遞增函數(shù)， ∴2m＝t（t≥2）在[2，+∞）上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)t＝2時，2m＝t（t≥2）取得最小值1，即2m≥1，

11、 解得：m． 故選：B． 【再練一題】 函數(shù)的值域為（　?。? A． B． C．（0，] D．（0，2] 【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1 ∵單調(diào)遞減 ∴即y 故選：A． 思維升華 (1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則． (2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域，單調(diào)區(qū)間，最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷． 基礎(chǔ)知識訓(xùn)練 1．下列說法正確的是（ ） A．對任意的，必有 B．若，對任意的，必有 C．若，對任意的，必有 D．若，總存在，當(dāng)時，總有

12、 【答案】D 【解析】 對于選項A，取，則，不滿足，故A錯誤； 對于選項B，取，則，，故選項B錯誤； 對于選項C，取，則，故選項C錯誤； 故選項D一定正確。（選項D中，，可知都是增函數(shù)，同時二者圖象關(guān)于直線對稱，而函數(shù)也是增函數(shù)，當(dāng)足夠大時，指數(shù)函數(shù)的增長速度最大，對數(shù)函數(shù)的增長速度最慢，故存在，當(dāng)時，總有.） 2．若tanα=1+lgt，tanβ=lg，且α+β=，則實數(shù)t的值為（　　） A． B．1 C．或1 D．1或10 【答案】C 【解析】 ∵tanα＝1+lgt，tanβ＝lg，且α+β， ∴tan（α+β）＝tan， ∴1＝1﹣（1+lgt）lg， ∴（1

13、+lgt）lg0， ∴10t＝1或1， ∴t或1． 故選：C． 3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，只需單調(diào)遞減即可 結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間為： 本題正確選項： 4．設(shè)正實數(shù)a，b滿足3a=7b，下面成立的是（　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵正實數(shù)a，b滿足3a=7b， ∴設(shè)3a=7b=t，（t＞0），則a=log3t，b=log7t， ∴=log7t×logt3==log73， ∴． 故選：B． 5．已知，b=l

14、og827，，則a，b，c的大小關(guān)系為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ，log25＞log23＞1，； ∴a＞b＞c． 故選：D． 6．下列四類函數(shù)中，具有性質(zhì)“對任意的，函數(shù)滿足“”的是（　?。? A．冪函數(shù) B．對數(shù)函數(shù) C．指數(shù)函數(shù) D．一次函數(shù) 【答案】C 【解析】 在A中，冪函數(shù)不滿足性質(zhì)“對任意的，函數(shù)滿足“”，故A錯誤； 在B中，對數(shù)函數(shù)不滿足性質(zhì)“對任意的，函數(shù)滿足“”，故B錯誤； 在C中，指數(shù)函數(shù)滿足性質(zhì)“對任意的，函數(shù)滿足“”，故C正確； 在D中，一次函數(shù)不滿足性質(zhì)“對任意的，函數(shù)滿足“”，故D錯誤．

15、 故選：C． 7．計算：　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 本題正確選項： 8．已知是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時，，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，， 則，故選A. 9．關(guān)于x的函數(shù)上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函數(shù)上為減函數(shù)， 則上為增函數(shù)，且在上大于0恒成立． 則，解得實數(shù)a的取值范圍是． 故選：C． 10．成立的（　　） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】

16、A 【解析】 解：lnx＞1?x＞e ∵x＞3?x＞e， x＞e推不出x＞3， ∴x＞3是lnx＞1成立的充分不必要條件 故選：A． 11．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ,故 故選：C 12．已知實數(shù)，則的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 本題正確選項： 13．已知，則______． 【答案】 【解析】 因為，所以，所以. 故答案為 14．若函數(shù)_____． 【答案】6 【解析】 由題 故答案為6 15．設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則實數(shù)____

17、_． 【答案】 【解析】 函數(shù)y＝f（x）的圖象與的圖象關(guān)于直線y＝﹣x對稱， 設(shè)f（x）上任意一點為（x，y），則（x，y）關(guān)于直線y＝﹣x對稱的點為（﹣y，﹣x）， 把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝， ∴f（x）＝log3（-x）+a， ∵f（﹣3）+f（﹣）＝4， ∴1+a﹣1+a＝4， 解得a＝2． 故答案為2． 16． __________． 【答案】2 【解析】 由題意． 17．計算下列各式的值： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）原式＝； （Ⅱ）原式＝． 18．已知函數(shù) ，求的單調(diào)區(qū)間； 是否存在實數(shù)a，使的

18、最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由． 【答案】（I）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（II）存在實數(shù)，使的最小值為0. 【解析】 ， 可得函數(shù) 真數(shù)為 函數(shù)定義域為 令 可得：當(dāng)時，t為關(guān)于x的增函數(shù)； 當(dāng)時，t為關(guān)于x的減函數(shù)． 底數(shù)為 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為 設(shè)存在實數(shù)a，使的最小值為0， 由于底數(shù)為，可得真數(shù)恒成立， 且真數(shù)t的最小值恰好是1， 即a為正數(shù)，且當(dāng)時，t值為1． 因此存在實數(shù)，使的最小值為0． 19．已知函數(shù)的圖象過點． 判斷函數(shù)的奇偶性并求其值域； 若關(guān)于x的方程上有解，求實數(shù)t的取值范圍． 【答案】（

19、Ⅰ）； （Ⅱ）. 【解析】 函數(shù)的圖象過點 即： （Ⅰ） 則的定義域為，關(guān)于原點對稱 且 故為偶函數(shù) 又由 故，即和值域為 （Ⅱ）若關(guān)于的方程上有解 即，即上有解 即上有解 由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得： 當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，取最大值 故實數(shù)的取值范圍是 20．已知函數(shù) （I）若函數(shù)，求函數(shù)的定義域； （II）求不等式的解集. 【答案】（I）（II）見解析 【解析】 （I）由得，由，取交集得到， 所以函數(shù)的定義域為 （II）由得， 當(dāng)時，有 得，得 由（I）知，所以， 當(dāng)時，有 得 由（I）知，所以， 綜上，解集為

20、（2，3）. 能力提升訓(xùn)練 1．若，則( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因為上遞增， 又， 所以. 故選：B 2．若，則下列不等式成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由可得，又，所以，綜上，可得．故選A． 3．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝（x≥0），g（x）＝的圖象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：∵實數(shù)a＞0且a≠1， ∴函數(shù)f（x）＝xa（x＞0）是上增函數(shù)，故排除A； ∴當(dāng)a＞1時， 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝x

21、a（x＞0）是下凹增函數(shù)，g（x）＝logax的是增函數(shù)， 觀察四個選項，沒有符合條件選項； 當(dāng)0＜a＜1時， ∴在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）＝xa（x＞0）是增函數(shù)，g（x）＝logax是減函數(shù)， 由此排除B和C，符合條件的選項只有D． 故選：D． 4．設(shè)則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 上單調(diào)遞增 ，即 又 又 本題正確選項： 5．已知實數(shù)滿足，且，則　　 A． B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】 實數(shù)滿足，故， 又由得：， 解得：，或舍去， 故， ，故選D．

22、 6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t＝x2﹣2x﹣8，則y＝lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）時，t＝x2﹣2x﹣8為減函數(shù)； x∈（4，+∞）時，t＝x2﹣2x﹣8為增函數(shù)； y＝lnt為增函數(shù)， 故函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞）， 故選：D． 7．記函數(shù)的定義域為M，的定義域為N. （1）求M； （2）若，求實數(shù)a的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）定義域要求： 即：

23、（2）定義域要求： 即： 若，則 即： 8．已知. （1）若，求t的值； （2）當(dāng)，且有最小值2時，求的值； （3）當(dāng)時，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1） 即 （2）， 又單調(diào)遞增， 當(dāng)，解得 當(dāng)， 解得（舍去） 所以 (3），即 ，，，， ，依題意有 而函數(shù) 因為，，所以. 9．設(shè)函數(shù) 值域為R

24、，求實數(shù)m的取值范圍 對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 函數(shù) 設(shè)函數(shù)， 值域為R， 是函數(shù)的值域的子集； 當(dāng)時，可得，其值域為R，滿足題意； 當(dāng)時，則，即， 解得：． 綜上可得實數(shù)m的取值范圍是； ，即． 當(dāng)時，可得恒成立， 即函數(shù)恒成立， 其對稱軸 即可 可得：． 解得：． 當(dāng)時，可得恒成立， 即恒成立， 可得：， 即， 令， ， 則， ， 當(dāng)時，， ． 得． 綜上可得：實數(shù)m的取值范圍是． 10．已知函數(shù)． 求函數(shù)的定義域； 求滿足的實數(shù)的取值范圍． 【答案】，或. 【解析】 對于函數(shù)，應(yīng)有，求得，或， 故該函數(shù)的定義域為，或． ，即， 即，求得， 即實數(shù)x的取值范圍為． 22