2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)35 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（含解析）理

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1、課后限時集訓(xùn)(三十五) (建議用時：60分鐘) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1．下列命題中，真命題的個數(shù)為( ) ①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合； ②兩條直線可以確定一個平面； ③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1 B．2 C．3 D．4 B　[根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.]

2、 2．α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是( ) A．垂直 B．相交 C．異面 D．平行 D　[∵m?α，n?α，且A∈m，A∈α， ∴n在平面α內(nèi)，m與平面α相交于點A， ∴m和n異面或相交，一定不平行．] 3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是( ) A．相交 B．異面 C．平行 D．垂直 A　[由BCAD，ADA1D1知，BCA1D1，從而四邊形A1BCD1是平行四邊

3、形，所以A1B∥CD1，又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，則A1B與EF相交．] 4．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是( ) A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c C　[對于A，B，D，a與c可能相交、平行或異面，因此A，B，D不正確，根據(jù)異面直線所成角的定義知C正確．] 5．如圖所示，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

4、( ) A. B. C. D. D　[連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角． 連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 則A1C1＝，A1B＝BC1＝， 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝.] 二、填空題 6．(2019·長春模擬)下列命題中不正確的是________．(填序號) ①沒有公共點的兩條直線是異面直線； ②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面； ③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行； ④—條直線和兩條異面直線都

5、相交，則它們可以確定兩個平面． ①②　[命題①錯，沒有公共點的兩條直線平行或異面；命題②錯，此時兩直線有可能相交；命題③正確，因為若直線a和b異面，c∥a，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若c∥b，又c∥a，則a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不平行；命題④正確，若c與兩異面直線a，b都相交，可知a，c可確定一個平面，b，c也可確定一個平面，這樣，a，b，c共確定兩個平面．] 7．(2019·荊門模擬)已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成角的度數(shù)為________． 30°　[如圖，設(shè)G為AD的中點，連接GF

6、，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線． 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1， GE∥CD，且GE＝CD＝2， ∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角． 又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF. 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2， sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°， ∴EF與CD所成角的度數(shù)為30°.] 8．如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中， ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是

7、________． ②③④　[如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE與MN垂直，故②③④正確．] 三、解答題 9．已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG＝BC，CH＝DC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)三直線FH，EG，AC共點． [證明]　(1)連接EF，GH， 因為E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，所以EF∥BD. 又因為CG＝BC，CH＝DC， 所以GH∥BD， 所以EF∥GH， 所以E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2

8、)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH∩AC＝M， 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又因為平面EFHG∩平面ABC＝EG， 所以M∈EG，所以FH，EG，AC共點． 10．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． [解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2， 三棱錐P-ABC的體積為 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所

9、成的角(或其補(bǔ)角)． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. B組　能力提升 1．已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. B　[畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示． 設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連接EF， 設(shè)EF的中點為O， 連接CO，則EF∥BD， 則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角． △ABC為等邊三角形，則CE⊥AB， 易得CE＝，同理可得CF＝，故CE＝CF. 因為O

10、E＝OF，所以CO⊥EF. 又EO＝EF＝BD＝， 所以cos∠FEC＝＝＝.] 2.如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下命題： ①直線MN?平面PQR； ②點K在直線MN上； ③M，N，K，A四點共面． 其中正確結(jié)論的序號為________． ①②③　[由題意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP， 從而點M，N，K∈平面PQR. 所以直線MN?平面PQR，故①正確． 同理可得點M，N，K∈平面BCD. 從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線M

11、N上，故②正確． 因為A?直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故③正確．] 3．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________． 　[如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD， 所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角， 在△AGP中，AG＝GP＝AP， 所以∠APG＝.] 4．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點． (1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？ [解]　(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD， 所以GHAD. 又BCAD， 故GHBC.所以四邊形BCHG是平行四邊形． (2)C，D，F(xiàn)，E四點共面．理由如下： 由BEFA，G是FA的中點知，BEGF， 所以EFBG. 由(1)知BG∥CH， 所以EF∥CH，故EC，F(xiàn)H共面． 又點D在直線FH上， 所以C，D，F(xiàn)，E四點共面． - 8 -