2021-2021學年七年級數(shù)學下冊 第一章 第2節(jié) 冪的乘方與積的乘方參考教案 （新版）北師大版

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1、 1.2 冪的乘方與積的乘方(一) ●教學目標 (一)教學知識點 1.經(jīng)歷探索冪的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義. 2.了解冪的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題. (二)能力訓練要求 1.在探索冪的乘方的運算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力. 2.學習冪的乘方的運算性質(zhì)，提高解決問題的能力. (三)情感與價值觀要求 在發(fā)展推理能力和有條理的表達能力的同時，進一步體會學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學習數(shù)學的信心，感受數(shù)學的內(nèi)在美. ●教學重點 冪的乘方的運算性質(zhì)及其應用. ●教學難點 冪的運算性質(zhì)的靈活運用. ●教學方法 引導——探究相結(jié)合

2、教師由實際情景引導學生探究冪的乘方的運算性質(zhì)，并能靈活運用. ●教具準備 投影片三張 第一張：做一做，記作(§1.2.1 A) 第二張：例題，記作(§1.2.1 B) 第三張：練習，記作(§1.2.1 C) ●教學過程 Ⅰ.提出問題，引入新課 ［師］我們先來看一個問題： 一個正方體的邊長是102毫米，你能計算出它的體積嗎？如果將這個正方體的邊長擴大為原來的10倍，則這個正方體的體積是原來的多少倍？ ［生］正方體的體積等于邊長的立方.所以邊長為102毫米的正方體的體積V=(102)3立方毫米；如果邊長擴大為原來的10倍，即邊長變?yōu)?02×10毫米即103毫米，此時正方體的體積

3、變?yōu)閂1=(103)3立方毫米. ［師］(102)3，(103)3很顯然不是最簡，你能利用冪的意義，得出最后的結(jié)果嗎？大家可以獨立思考. ［生］可以.根據(jù)冪的意義可知(102)3表示三個102相乘，于是就有(102)3=102×102×102=102+2+2=106；同樣根據(jù)冪的意義可知(103)3=103×103×103=103+3+3=109.于是我們就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米. 我們還可以計算出當這個正方形邊長擴大為原來的10倍時，體積就變?yōu)樵瓉淼?000倍即103倍. ［生］也就是說體積擴大的倍數(shù)，遠大于邊長擴大的倍數(shù). ［師］是的！我們再來看(102)

4、3，(103)3這樣的運算.102，103是冪的形式，因此我們把這樣的運算叫做冪的乘方.這節(jié)課我們就來研究冪的第二個運算性質(zhì)——冪的乘方. Ⅱ.探索冪的乘方的運算性質(zhì) 出示投影片(§1.2.1 A) 做一做：計算下列各式并說明理由. (1)(62)4；(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n. ［師］我們觀察不難發(fā)現(xiàn)，上面的4個小題都是冪的乘方的運算，下面就請同學們利用冪的意義和我們學習過的內(nèi)容解答它們. ［生］(1)(62)462·62·62·6262+2+2+2=68. ［師］第①步和第②步推出的理由是什么呢？ ［生］第①步的理由是利用了冪的意義.(62)4表示

5、4個62相乘；第②步的理由是利用了我們剛學過的同底數(shù)冪的乘法：底數(shù)不變，指數(shù)相加. ［師］觀察上面的運算過程，底數(shù)和指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？ ［生］結(jié)果的指數(shù)8=2×4，剛好是原式子中兩個指數(shù)的積，而運算前后的底數(shù)沒變，還是6. ［師］接下來的(2)、(3)、(4)小題是不是可以同樣地利用冪的意義和同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)來推出結(jié)果呢？ ［生］可以！ ［師］下面我們就請三位同學到黑板上推出，其余的同學觀察他們做的有無錯誤. ［生］(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3; (3)(am)2=am·am=am+m=a2m; (4)(am)n= ==amn.

6、［師生共析］由上面的“做一做”我們就推出了冪的乘方的運算性質(zhì)，即 (am)n=amn(m,n都是正整數(shù)) 用語言表述即為：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 在冪的乘方的運算中，指數(shù)的運算也降了一級. Ⅲ.例題 出示投影片(§1.2.1 B) ［例1］計算： (1)(102)3；(2)(b5)5;(3)(an)3; (4)－(x2)m;(5)(y2)3·y;(6)2(a2)6－(a3)4. ［例2］如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球的體積是乙球的n3倍. 地球、木星、太陽可以近似地看做是球體.木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？

7、 ［師］我們首先看例1的(1)、(2)、(3)題，可以發(fā)現(xiàn)它們都是冪的乘方的運算.我們開始練習冪的乘方的運算性質(zhì)，不要著急直接套入公式(am)n=amn中，而應進一步體會乘方的意義和冪的意義.我們只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就請幾個同學回答. ［生］(1)(102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106； (2)(b5)5=b5·b5·b5·b5·b5=b5+5+5+5+5=b5×5=b25; (3)(an)3=an·an·an=an+n+n=a3n. ［師］很好！下面我們再來試做例1中(4)、(5)、(6)題. ［生］(4)－(x2)m表示(x

8、2)m的相反數(shù)，所以－(x2)m=－=－=－x2m; (5)(y2)3·y中既含有乘方運算，也含有乘法運算，按運算順序，應先乘方，再做乘法，所以，(y2)3·y=(y2·y2·y2)·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7; (6)2(a2)6－(a3)4按運算順序應先算乘方，最后再化簡.所以 2(a2)6－(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12. ［師］接下來，我們再來看冪的乘方在實際中的應用——例2. ［生］根據(jù)例2中的前提條件，可得 木星的體積是地球體積的103倍；太陽的體積是地球體積的(102)3倍即106倍. ［師］很好！我們觀察例2圖中的木星、

9、太陽、地球的體積不難發(fā)現(xiàn)這個圖直觀地表現(xiàn)了體積擴大的倍數(shù)與半徑擴大的倍數(shù)之間的關(guān)系.比較木星、太陽、地球三個球體的大小，可知體積擴大的倍數(shù)比半徑擴大的倍數(shù)大得多. Ⅳ.練一練 出示投影片(§1.2.1 C) 1.計算： (1)(103)3；(2)－(a2)5;(3)(x3)4·x2; (4)［(－x)2］3;(5)(－a)2(a2)2; (6)x·x4－x2·x3. 2.判斷下面計算是否正確？如有錯誤請改正： (1)(x3)3=x6;(2)a6·a4=a24. ［師］我們首先來回顧一下(am)n=amn(m、n都是正整數(shù))是怎樣推出來的. ［生］(am)n表示n個am相乘，

10、根據(jù)乘方的意義(am)n=，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)，可由==amn. ［師］我們能夠很好地體會和理解了冪的意義和同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)，接下來我們就來完成“練一練”. ［生］1.解：(1)(103)3=103×3=109； (2)－(a2)5=－a2×5=－a10; (3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=x12+2=x14; (4)［(－x)2］3=(－x)2×3=(－x)6=x6; (5)(－a)2·(a2)2=a2·a2×2=a2·a4=a2+4=a6; (6)x·x4－x2·x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0. ［師］2.(1)(x3)3=x

11、6不正確，因為(x3)3表示三個x3相乘即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9.或直接根據(jù)冪的乘方的運算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，得(x3)3=x3×3=x9. (2)a6·a4=a24不正確.因為a6·a4=(a·a·a·a·a·a)(a·a·a·a)==a10或根據(jù)同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)：底數(shù)不變，指數(shù)相加，得a6·a4=a6+4=a10. ［師］我們學習了冪的乘方的運算性質(zhì)很容易與同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)混淆.通過練習的第2題，同學們可反思一下做題的過程，注意冪的意義和乘方的意義，真正地去理解這兩個冪的運算性質(zhì)，而不是去單純的記憶. Ⅴ.課時小結(jié) 我們這節(jié)課通過乘方的意

12、義和冪的意義推出了冪的乘方的運算性質(zhì)，并通過實際問題體會到了學習這個性質(zhì)的必要性，從而提高了我們的推理能力，有條理的語言表達能力和解決實際問題的能力. Ⅵ.課后作業(yè) 1.課本P6，習題1.2的第1、2、3題. 2.反思做題過程，自己對出現(xiàn)的錯誤加以改正，并寫入成長記錄中. Ⅶ.活動與探究 觀察下列等式： 1×2=×1×2×3， 1×2+2×3=×2×3×4， 1×2+2×3+3×4=×3×4×5， 1×2+2×3+3×4+4×5=×4×5×6， …… 根據(jù)以上規(guī)律，請你猜測： 1×2+2×3+3×4+4×5+…+n(n+1)= (n為自然數(shù)). ［過程］解

13、這一類題目，要用到歸納推理，它是一種很重要的數(shù)學思想方法.數(shù)學史上許多重要的發(fā)現(xiàn)，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由數(shù)學家的探索、總結(jié)、猜想而得.猜想的結(jié)論是否正確，必須經(jīng)過嚴格的證明，才能辨明是非，通過觀察比較，本題的規(guī)律較為明顯. 結(jié)論：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2) 關(guān)于它的證明在以后學習了數(shù)學歸納法后一目了然. ●板書設(shè)計 §1.2.1 冪的乘方與積的乘方(一) 一、提出問題： (102)3，(103)3如何計算？ 二、根據(jù)乘方的意義和冪的意義，推出冪的乘方的運算性質(zhì) (102)3=102·102·102=102+2+2=102×3=106； (103)3=103·103·103=103+3+3=103×3=109； (62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=62×4=68； …… (am)n===amn 得出：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 三、例題 四、練習 6