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1、課后限時集訓34
等差數(shù)列及其前n項和
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一、選擇題
1．若{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于( )
A．－2 B．－
C． D．2
B [由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，則a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故選B.]
2．(2019·峨眉山模擬)在等差數(shù)列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，則數(shù)列{an}的前11項和等于( )
A．66 B．132
C．－66 D．－132
D [因為a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的兩根，所以a3＋
2、a9＝－24，
又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，
S11＝＝＝－132，故選D.]
3．數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，則a3＋a4＋a5＝( )
A．9 B．10
C．11 D．12
D [由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故選D.]
4．公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，則λ的值為( )
A．15 B．21
C．23 D．25
D [由題意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2
3、d.
∴λ＝＝＝＝25，故選D.]
5．等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時的n的值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
C [∵|a6|＝|a11|且公差d>0，
∴a6＝－a11.
∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，
且a8<0，a9>0
∴a1
4、d＝3a1，得2a1＝d，所以＝＝＝4.]
7．(2019·江蘇高考)已知數(shù)列{an}(n∈N＋)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．
16 [由題意可得：
解得
則S8＝8a1＋d＝－40＋28×2＝16.]
8．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，給出下列結(jié)論：
①a10＝0；②S10最??；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正確的結(jié)論是________．(填序號)
①③ [a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，故①正確；
由于
5、d的符號未知，所以S10不一定最大，故②錯誤；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，故③正確；
S20＝20a1＋190d＝10d，不一定為0，故④錯誤．
所以正確的是①③.]
三、解答題
9．已知數(shù)列{an}滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差數(shù)列．
(2)由(1)及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
1
6、0．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通項公式；
(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．
[解] (1)設(shè){an}的公差為d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通項公式為an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，
Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等價于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范圍是{n|1≤n≤10，n∈N＋}．
1．(2019·開福區(qū)校級模擬
7、)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則芒種日影長為( )
A．1.5尺 B．2.5尺
C．3.5尺 D．4.5尺
B [設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋d＝85.5，
解得d＝－1，a1＝13.5.則a12＝13.5－11＝2.5.故選B.]
2．(2019·深圳模擬)若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 0
8、18·a2 019＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是( )
A．2 018 B．2 019
C．4 036 D．4 037
C [{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0.a2 018＋a2 019＞0，a2 018·a2 019＜0，所以{an}是遞減的等差數(shù)列，且a2 018＞0，a2 019＜0，因為a2 018＋a2 019＝a1＋a4 036＞0，
2a2 019＝a1＋a4 037＞0，
∴S4 036＝×4 036＞0，S4 037＝×4 037＜0，
所以使前n項和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 036.故選C.]
3．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1
9、＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
－ [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，
∴－＝1，
∴是等差數(shù)列，且公差為－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，
∴Sn＝－.]
4．已知一次函數(shù)f(x)＝x＋8－2n.
(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸交點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y軸的交點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
[解] (1)證明：由題意得an＝8－2n，
因為an＋1－a
10、n＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，且a1＝8－2＝6，
所以數(shù)列{an}是首項為6，公差為－2的等差數(shù)列．
(2)由題意得bn＝|8－2n|.
由b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，
可知此數(shù)列前4項是首項為6，公差為－2的等差數(shù)列，從第5項起，是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．
所以當n≤4時，Sn＝6n＋×(－2)＝－n2＋7n，
當n≥5時，Sn＝S4＋(n－4)×2＋×2＝n2－7n＋24.
故Sn＝
1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，其前n項和為Sn.若點在直線y＝2x－1上，則a9等于( )
A．1 290 B．1 280
C．1 281 D
11、．1 821
C [由已知可得－1＝2，
又－1＝a1－1＝1，
所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以－1＝2n－1，得Sn＝n(1＋2n－1)，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2n－2＋1，
故 a9＝10×128＋1＝1 281.]
2．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
[解] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有
2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
當n＝1,2,3時，1≤＜2，bn＝1；
當n＝4,5時，2≤＜3，bn＝2；
當n＝6,7,8時，3≤＜4，bn＝3；
當n＝9,10時，4≤＜5，bn＝4.
所以數(shù)列{bn}的前10項和為1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
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2021高考數(shù)學一輪復(fù)習 課后限時集訓34 等差數(shù)列及其前n項和 理 北師大版
