控制理論作業(yè)二答案【高教成教】

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1、 第三章 3-1 已知二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 。 試求單位階躍響應的tr , tm ,δ% , ts的數(shù)值？ 解：[題意分析]這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標的例題。解法是把給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標準形式進行對比，求出參數(shù)，而后把代入性能指標公式中求出，，，和的數(shù)值。 上升時間 tr 峰值時間tm 過度過程時間ts 超調(diào)量δ％ 3-2 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

2、 試求系統(tǒng)的性能指標，峰值時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 解：[題意分析]這是一道給定了開環(huán)傳遞函數(shù),求二階系統(tǒng)性能指標的練習題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式與參數(shù)(,)的對應關(guān)系，然后確定用哪一組公式去求性能指標。 根據(jù)題目給出條件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式相比較可得，即=1,=0.5。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。 故，單位階躍響應的性能指標為 3-3 如圖1所示系統(tǒng)，假設該系統(tǒng)在單位階躍響應中的超調(diào)量=25%，峰值時間=0.5秒，試確定K和τ的值。 X(

3、s) Y(s) 圖1 解：[題意分析]這是一道由性能指標反求參數(shù)的題目，關(guān)鍵是找出：K,τ與,的關(guān)系；,與,的關(guān)系；通過,把,與K,τ聯(lián)系起來。 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標準形式相比較，可得 由題目給定： 即 兩邊取自然對數(shù)可得 依據(jù)給定的峰值時間： （秒） 所以 （弧度/秒） 故可得

4、 τ≈0.1 3-4 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2所示，若 時，試求： (1) 當τ=0時，系統(tǒng)的tr , tm , ts的值。 (2) 當τ≠0時，若使δ％=20%，τ應為多大。 100 X(s) Y(s) 圖2 解：[題意分析]這是一

5、道二階系統(tǒng)綜合練習題。(1)練習輸入信號不是單位階躍信號時，求性能指標。關(guān)鍵是求出 ,,。(2)的求法與例4－3－3相似。 (1) 由結(jié)構(gòu)圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 可得 由于 輸出的拉氏變換為 則拉氏反變換為 (2) 當τ≠0時，閉環(huán)傳遞函數(shù) 由 兩邊取自然對數(shù) ， 可得 故 3-5 (1) 什么叫時間響應 答：系統(tǒng)在外加作用的激勵下，其輸出隨時間變化的函數(shù)關(guān)系叫時間響應。 (

6、2) 時間響應由哪幾部份組成？各部份的定義是什么？ 答：時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成。瞬態(tài)響應是系統(tǒng)受到外加作用后，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程稱瞬態(tài)響應或者動態(tài)響應或稱過渡過程。穩(wěn)態(tài)響應是系統(tǒng)受到外加作用后，時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。 (3) 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線各部分反映系統(tǒng)哪些方面的性能？ 答：時間響應由瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應兩部分組成。瞬態(tài)響應反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相對穩(wěn)定性及響應的快速性；穩(wěn)態(tài)響應反映系統(tǒng)的準確性或穩(wěn)態(tài)誤差。 (4) 時域瞬態(tài)響應性能指標有哪些？它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能？ 答：延遲時間；上升時間；峰值時間；調(diào)節(jié)

7、時間；最大超調(diào)量.,,,反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度，反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 3-6設系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：特征方程符號相同，又不缺項，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。 由于第一列各數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可將特征方程式因式分解為 根均有負實部，系統(tǒng)穩(wěn)定。 3-7設系統(tǒng)的特征方程式為 解：列勞斯表 將特征方程式因式分解為 根為 系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 3-8 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

8、 試求k的穩(wěn)定范圍。 解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 列勞斯表 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 K>0 0.35-0.025K>0 得 K<14 所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0

9、S]平面的左半部。 (3) 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么？ 答：輸出端定義誤差e(t)：希望輸出與實際輸出之差。輸入端定義誤差e(t)；輸入與主反饋信號之差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t)，當t→∞時的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差,即 3-10已知單位反饋隨動系統(tǒng)如圖3所示。若，。試求： （1）典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和； （2）暫態(tài)特性指標和； （3）欲使，當不變時，應取何值。 圖3隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解： 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

10、與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)比較 得 已知、值，由上式可得 于是，可 為使，由公式可求得，即應使由0.25增大到0.5，此時 即值應減小4倍。 3-11控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應的超調(diào)量，且峰值時間。試確定與的值，并計算在此情況下系統(tǒng)上升時間和調(diào)整時間。 圖4 控制系統(tǒng)框圖 解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的特征方程為。所以 由題設條件： ， 可解得，

11、進而求得 在此情況下系統(tǒng)上升時間 調(diào)整時間 3-12設系統(tǒng)的特征方程式分別為 1． 2． 3． 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：解題的關(guān)鍵是如何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。 1．列勞斯表如下 s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5 s1 -6 s0 5 勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號改變兩次，1→-6→5，所以系統(tǒng)有兩個根在s平面的右半平面

12、。 2．列勞斯表如下 s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0(ε) 1 s1 2-2/ε s0 1 由于ε是很小的正數(shù)，ε行第一列元素就是一個絕對值很大的負數(shù)。整個勞斯表中第一列元素符號共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個位于右半s平面的根。 3．列勞斯表如下 s5 1 3 2 s4 1 3 2 s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各項全部為零。為了求出s3各行的

13、元素，將s4行的各行組成輔助方程式為 A(s)= s4+3s2+2s0 將輔助方程式A(s)對s求導數(shù)得 用上式中的各項系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為 s5 1 3 2 s4 1 3 2 s3 4 6 s2 3/2 2 s1 2/3 s0 2 從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號沒有改變，說明系統(tǒng)沒有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2

14、+1）（s2+2）=0可解得系統(tǒng)有兩對共軛虛根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 3-13已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。 解： 解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。 圖5控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程式為 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列勞斯表為： s3 1 2 s2

15、 3 s1 (6-)/3 s0 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即和，因此，的取值范圍為，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為=6。 3-14 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下。 （1） （2） 試求：1．靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)； 2．求當輸入信號為時的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：（1）首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為Ⅰ型，可以求得靜態(tài)誤差為： 所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下： (2) 判斷系統(tǒng)穩(wěn)

16、定性。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為Ⅱ型，可以求得靜態(tài)誤差為： 所以給定輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差計算如下： 注意：該例中若取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。 第四章 4-1．單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 解：按下述步驟繪制概略根軌跡 （1） 系統(tǒng)開環(huán)有限零點為，開環(huán)有限極點為。 （2） 實軸上的根軌跡區(qū)間為。 （3） 根軌

17、跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實軸的交點為 （4） 確定分離點。分離點方程為，用試探法求得。 閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如下圖1 圖1 4-2．設某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 解：漸近線與實軸的交點 漸近線與實軸正方向的夾角為。 分離點與匯合點：由 得 所以，。根軌跡如下圖2 圖2 4-3．以知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。 解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為0，-4， （2）實軸上的根軌跡區(qū)間為。 （3）漸近線有四條。 （4）根軌跡的起始角。復數(shù)開環(huán)極點 （5）確定根軌跡的分離點。由分離點方程

18、 解得，皆為根軌跡的分離點。 （6） 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 列寫勞斯表，可以求出當K=260時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得根軌跡與虛軸的交點。如下圖3 圖3 4-4．單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，k的變換范圍為，試繪制系統(tǒng)根軌跡。 解：分析知道，應繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則確定根軌跡的參數(shù)：（1）系統(tǒng)開環(huán)有限零點為1，開環(huán)有限極點為0，-2。 （2）實軸上的根軌跡區(qū)間為。 （3）漸近線有一條 （4）確定根軌跡的分離點，由分離點的方程 ，解得 （5） 確定根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為。當k=-2時，閉環(huán)特征方程的根為。如下圖4： 圖

19、4 4-5．以知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，a的變化范圍為，試繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。 解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 即有。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為，，變化范圍為。 （1） 等效系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點為 （2） 實軸上的根軌跡區(qū)間為 （3） 根軌跡有三條漸近線 （4） 根軌跡的分離點方程，解得。 （5） 確定根軌跡與虛軸的交點。由勞斯表，可以求出當a=1時，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得。如下圖5 圖5 4-6. 設單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖（要求確定分離點坐標）。 解 系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：,, ① 實軸上的根軌跡： , ② 漸近線： ③ 分離點： 解之得：，(舍去)。 ④ 與虛軸的交點：特征方程為 令 解得 與虛軸的交點（0，）。 根軌跡如圖6所示。 圖6 4-7．設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試作出從變化時的根軌跡。 圖7 根軌跡圖 解：做等效開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) ①　實軸上的根軌跡： ②　分離點： 解得：(舍去)， 如圖解4－14所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。 18 試題和教育