《2022年完整word版,概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年完整word版,概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、概率論知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章隨機(jī)事件及其概率第一節(jié)基本概念隨機(jī)實(shí)驗(yàn):將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn):(1)可重復(fù)性(2)多結(jié)果性(3)不確定性的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),常用E 表示。隨機(jī)事件:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情(結(jié)果)稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱為事件。不可能事件:在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情,記為。必然事件:在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情,記為。樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),記作.樣本空間:所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為樣本空間.樣本空間用表示.一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集?;臼录吸c(diǎn)集,復(fù)合事件多點(diǎn)集一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。事件的關(guān)系與運(yùn)算(就是
2、集合的關(guān)系和運(yùn)算)包含關(guān)系:若事件A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件B 發(fā)生,則稱B 包含 A,記為AB或BA。相等關(guān)系:若AB且BA,則稱事件A 與事件 B 相等,記為AB。事件的和:“事件 A 與事件 B 至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件,稱此事件為事件A 與事件 B 的和事件。記為AB。事件的積:稱事件“事件 A 與事件 B 都發(fā)生”為 A 與 B 的積事件,記為A B 或 AB。事件的差:稱事件“事件 A 發(fā)生而事件B 不發(fā)生”為事件 A 與事件 B 的差事件,記為AB。用交并補(bǔ)可以表示為BABA?;コ馐录喝绻?A,B 兩事件不能同時(shí)發(fā)生,即AB,則稱事件A 與事件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥時(shí)B
3、A可記為 AB。對(duì)立事件:稱事件“A 不發(fā)生”為事件 A 的對(duì)立事件(逆事件),記為A。對(duì)立事件的性質(zhì):BABA,。事件運(yùn)算律:設(shè)A,B,C 為事件,則有(1)交換律:AB=B A,AB=BA(2)結(jié)合律:A(BC)=(A B)C=A BC A(BC)=(AB)C=ABC(3)分配律:A(BC)(AB)(AC)A(B C)(AB)(AC)=ABAC(4)對(duì)偶律(摩根律):BABABABA第二節(jié)事件的概率概率的公理化體系:(1)非負(fù)性:P(A)0;(2)規(guī)范性:P()1(3)可數(shù)可加性:nAAA21兩兩不相容時(shí)精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁(yè),共 6 頁(yè))()()()(2121nnAPA
4、PAPAAAP概率的性質(zhì):(1)P()0(2)有限可加性:nAAA21兩兩不相容時(shí))()()()(2121nnAPAPAPAAAP當(dāng) AB=時(shí) P(AB)P(A)P(B)(3))(1)(APAP(4)P(AB)P(A)P(AB)(5)P(AB)P(A)P(B)P(AB)第三節(jié)古典概率模型1、設(shè)試驗(yàn)E 是古典概型,其樣本空間 由 n 個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件 A 由 k 個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件 A 的概率為nkAP)(2、幾何概率:設(shè)事件A 是 的某個(gè)區(qū)域,它的面積為(A),則向區(qū)域 上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域A 的概率為)()()(AAP假如樣本空間 可用一線段,或空間中某個(gè)區(qū)域表示,則事件A
5、的概率仍可用上式確定,只不過(guò)把 理解為長(zhǎng)度或體積即可.第四節(jié)條件概率條件概率:在事件B 發(fā)生的條件下,事件A 發(fā)生的概率稱為條件概率,記作P(A|B).)()()|(BPABPBAP乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)全概率公式:設(shè)nAAA,21是一個(gè)完備事件組,則P(B)=P(iA)P(B|iA)貝葉斯公式:設(shè)nAAA,21是一個(gè)完備事件組,則)|()()|()()()()|(jjiiiiABPAPABPAPBPBAPBAP第五節(jié)事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的相互獨(dú)立:若兩事件A、B 滿足 P(AB)=P(A)P(B),則稱 A、B 獨(dú)立,或稱A、B 相互獨(dú)立.三個(gè)事件的相
6、互獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,若 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱 A、B、C 相互獨(dú)立精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁(yè),共 6 頁(yè)三個(gè)事件的兩兩獨(dú)立:對(duì)于三個(gè)事件A、B、C,若 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),則稱 A、B、C 兩兩獨(dú)立獨(dú)立的性質(zhì):若A 與 B 相互獨(dú)立,則A與 B,A 與B,A與B均相互獨(dú)立總結(jié):1.條件概率是概率論中的重要概念,其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系,在不具有獨(dú)立性的場(chǎng)合,它將扮演主要的角色。2.乘法公式
7、、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用,應(yīng)牢固掌握。3.獨(dú)立性是概率論中的最重要概念之一,應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算。第二章一維隨機(jī)變量及其分布第二節(jié)分布函數(shù)分布函數(shù):設(shè)X 是一個(gè)隨機(jī)變量,x 為一個(gè)任意實(shí)數(shù),稱函數(shù))(xXPxF為 X 的分布函數(shù)。如果將X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X 落在區(qū)間,(x內(nèi)的概率分布函數(shù)的性質(zhì):(1)單調(diào)不減;(2)右連續(xù);(3)1)(,0)(FF第三節(jié)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律:設(shè)kx(k=1,2,)是離散型隨機(jī)變量X 所取的一切可能值,稱kkpxXP為離散型隨機(jī)變量X 的分布律,也稱概率分布.當(dāng)離散性隨機(jī)變量取
8、值有限且概率的規(guī)律不明顯時(shí),常用表格形式表示分布律。分布律的性質(zhì):(1)10kp;(2)1kp離散型隨機(jī)變量的概率計(jì)算:(1)已知隨機(jī)變量X 的分布律,求X 的分布函數(shù);xxkkxPxXPxF)()((2)已知隨機(jī)變量X 的分布律,求任意隨機(jī)事件的概率;(3)已知隨機(jī)變量X 的分布函數(shù),求X 的分布律)0()(kkkxFxFxXP三種常用離散型隨機(jī)變量的分布:1.(01)分布:參數(shù)為p 的分布律為pXPpXP10,12.二項(xiàng)分布:參數(shù)為n,p 的分布律為knkknppCkXP)1(,nk,2,1,0。例如n 重獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中,事件A 發(fā)生的概率為p,記 X 為這 n 次實(shí)驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次數(shù)
9、,則 XB(n,p)3.泊松分布:參數(shù)為 的分布率為ekkXPk!,,2,1,0k。例如記 X 為某段事精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁(yè),共 6 頁(yè)件內(nèi)電話交換機(jī)接到的呼叫次數(shù),則XP()第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)(1)f(x)0(2)1)(dxxf,0)(aadxxfaXP(3)badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)((4)xdxxfxFxFxf)()(),()(連續(xù)型隨機(jī)變量的概率計(jì)算:(1)已知隨機(jī)變量X 的密度函數(shù),求X 的分布函數(shù);xdxxfxF)()((2)已知隨機(jī)變量X 的分布函數(shù),求X 的密度函數(shù);)()(xFxf(3)已知隨機(jī)變量
10、X 的密度函數(shù),求隨機(jī)事件的概率;badxxfbXaP)((4)已知隨機(jī)變量X 的分布函數(shù),求隨機(jī)事件的概率;)()(aFbFbXaP三種重要的連續(xù)型分布:1均勻分布:密度函數(shù)elsebxaabxf01)(,記為XUa,b.2.指數(shù)分布:密度函數(shù)000)(xxexfx,記為 XE()3.正態(tài)分布:密度函數(shù)222)(21)(xexf,記為),(2NXN(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,然后再計(jì)算概率.)()()()(abaFbFbXaP第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型:在分布律的表格中直接求出;連續(xù)型:尋找分布函數(shù)間的
11、關(guān)系,再求導(dǎo)得到密度函數(shù)間的關(guān)系;注意分段函數(shù)情況可能需要討論,得到的結(jié)果也可能是分段函數(shù)。)()()()(yGFyGXPyXgPyYPyFY精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁(yè),共 6 頁(yè)第三章多維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù),),(yYxXPyxF,表示隨機(jī)點(diǎn)落在以(x,y)為頂點(diǎn)的左下無(wú)窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):(1)分別關(guān)于x 和 y 單調(diào)不減;(2)分別關(guān)于x 和 y 右連續(xù);(3)F(-,y)=0,F(x,-)=0,F(-,-)=0 F(+,+)=1第二節(jié)二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律:ijjipyYxXP,聯(lián)合分布律的性質(zhì):0ijp
12、;1ijijp第三節(jié)二維連續(xù)性隨機(jī)變量聯(lián)合密度:yxduvufdvyxF),(),(聯(lián)合密度的性質(zhì):0),(yxf;1),(2Rdxdyyxf;DdxdyyxfDyxP),(),(第四節(jié)邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律:在表格邊緣,對(duì)應(yīng)概率相加求出;二維連續(xù)性隨機(jī)變量的邊緣密度:先求出邊緣分布函數(shù),在求導(dǎo)求出邊緣密度第六節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性獨(dú)立性判斷:(1)若YX,取值互不影響,可認(rèn)為相互獨(dú)立;(2)根據(jù)獨(dú)立性定義判斷)()(),(yFxFyxFYX離散型可用jiijppp?連續(xù)型可用)()(),(yfxfyxfYX獨(dú)立性的應(yīng)用:(1)判斷獨(dú)立性;(2)已知獨(dú)立性,由邊緣分布確定聯(lián)合分布第
13、四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算kkkpxEX,kkkpxgXgE)()(連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算dxxxfEX)(,dxxfxgXgE)()()(精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁(yè),共 6 頁(yè)方差的計(jì)算:2)(EXXEDX,)()(22XEXEDX數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)(4)當(dāng)X,Y 獨(dú)立時(shí),E(X Y)=E(X)E(Y)方差的性質(zhì)(1)D(C)=0(2)D(CX)=2CD(X)(3)若X,Y 相互獨(dú)立,則D(X Y)=D(X)+D(Y)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差兩點(diǎn)分布,二項(xiàng)分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數(shù)分布精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁(yè),共 6 頁(yè)