(新課標 全國I卷)2010-2019學年高考數(shù)學 真題分類匯編 專題05 三角函數(shù) 文(含解析)

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1、專題5 三角函數(shù) 三角函數(shù):10年26考,每年至少1題,有時2題或3題,當考2題或3題時,就不再考三角大題了.題目難度較小,主要考查公式熟練運用,平移、圖象與性質、化簡求值、解三角形等問題(含應用題),基本屬于“送分題”.小心平移(重點+難點+幾乎年年考).2013年16題對化簡要求較高,難度較大.考三角函數(shù)小題時,一般是一個考查三角恒等變換或三角函數(shù)的圖象與性質,另一個考查解三角形. 1.(2019年)tan255°=( ?。? A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2﹣ D.2+ 【答案】D 【解析】tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=====

2、=.故選D. 2.(2019年)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=,則=( ?。? A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】∵asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=﹣,∴,解得3c2=,∴=6.故選A. 3.(2019年)函數(shù)f(x)=sin(2x+)﹣3cosx的最小值為   . 【答案】﹣4 【解析】f(x)=sin(2x+)﹣3cosx=﹣cos2x﹣3cosx=﹣2cos2x﹣3cosx+1,令t=cosx,則﹣1≤t≤1,∵y=﹣2t2﹣3t+1的開口向下,對稱軸t=,在[﹣

3、1,1]上先增后減,∴當t=1,即cosx=1時,函數(shù)f(x)有最小值﹣4. 4.(2018年)已知函數(shù)f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,則( ?。? A.f(x)的最小正周期為π,最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π,最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π,最大值為3 D.f(x)的最小正周期為2π,最大值為4 【答案】B 【解析】f(x)=2cos2x﹣sin2x+2=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x=4cos2x+sin2x=3cos2x+1==,∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π,最大值為,故選B. 5.(2018年)已知角α的

4、頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2α=,則|a﹣b|=( ?。? A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2α=,∴cos2α=2cos2α﹣1=,解得:cos2α=,∴|cosα|=,∴|sinα|==,∴|tanα|==|a﹣b|===.故選B. 6.(2018年)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2﹣a2=8,則△ABC的面積為  ?。?

5、 【答案】 【解析】利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,由于0<B<π,0<C<π,所以sinBsinC≠0,所以sinA=,則A=或,由于b2+c2﹣a2=8,則,①當A=時,,解得bc=,所以.②當A=時,,解得bc=﹣(不合題意),舍去.故. 7.(2017年)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c=,則C=( ?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)

6、=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA=﹣sinA,∴tanA=﹣1,∵<A<π,∴A=,由正弦定理可得=,∴sinC=,∵a=2,c=,∴sinC===,∵a>c,∴C=,故選B. 8.(2017年)已知α∈(0,),tanα=2,則cos(α﹣)=  ?。? 【答案】 【解析】∵α∈(0,),tanα=2,∴sinα=2cosα,∵sin2α+cos2α=1,解得sinα=,cosα=,∴cos(α﹣)=cosαcos+sinαsin=×+×=. 9.(2016年

7、)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a=,c=2,cosA=,則b=( ?。? A. B. C.2 D.3 【答案】D 【解析】∵a=,c=2,cosA=,∴由余弦定理可得:cosA===,整理可得:3b2﹣8b﹣3=0,∴解得:b=3或(舍去).故選D. 10.(2016年)將函數(shù)y=2sin(2x+)的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應的函數(shù)為( ?。? A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+) C.y=2sin(2x﹣) D.y=2sin(2x﹣) 【答案】D 【解析】函數(shù)y=2sin(2x+)的周期為T==π,由題意即為函數(shù)y=2sin(2x

8、+)的圖象向右平移個單位,可得圖象對應的函數(shù)為y=2sin[2(x﹣)+],即有y=2sin(2x﹣).故選D. 11.(2016年)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,則tan(θ﹣)=  ?。? 【答案】 【解析】∵θ是第四象限角,∴,,則,,又sin(θ+)=,∴cos(θ+)=.∴cos()=sin(θ+)=,sin()=cos(θ+)=.則tan(θ﹣)=﹣tan()=﹣=. 12.(2015年)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調遞減區(qū)間為( ?。? A.(kπ﹣,kπ+),k∈Z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈Z C.(k﹣,

9、k+),k∈Z D.(2k﹣,2k+),k∈Z 【答案】D 【解析】由函數(shù)f(x)=cos(ωx+)的部分圖象,可得函數(shù)的周期為=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+).再根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點法作圖,可得+=,即=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,求得 2k﹣≤x≤2k+,k∈Z,故f(x)的單調遞減區(qū)間為(2k﹣,2k+),k∈Z,故選D. 13.(2015年)已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)設B=90°,且a=,求△ABC的面積. 【解析】(1

10、)∵sin2B=2sinAsinC, 由正弦定理可得:>0, 代入可得(bk)2=2ak?ck, ∴b2=2ac, ∵a=b,∴a=2c, 由余弦定理可得:cosB===. (2)由(1)可得:b2=2ac, ∵B=90°,且a=, ∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=. ∴S△ABC==1. 14.(2014年)若tanα>0,則( ?。? A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 【答案】C 【解析】∵tanα>0,∴,則sin2α=2sinαcosα>0.故選C. 15.(2014年)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|co

11、sx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期為π的所有函數(shù)為( ?。? A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 【答案】A 【解析】①y=cos|2x|=cos2x,它的最小正周期為=π,②y=|cosx|的最小正周期為=π,③y=cos(2x+)的最小正周期為=π,④y=tan(2x﹣)的最小正周期為,故選A. 16.(2014年)如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點,從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,則山高MN=   m.

12、 【答案】150 【解析】△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,∴AC==.△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,由正弦定理可得,解得AM=.Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=×sin60°=150(m). 17.(2013年)函數(shù)f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的圖象大致為( ?。? A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意可知:f(﹣x)=(1﹣cosx)sin(﹣x)=﹣f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故可排除B,又因為當x∈(0,π)時,1﹣cosx>0,sinx>0,故f(x

13、)>0,可排除A,又f′(x)=(1﹣cosx)′sinx+(1﹣cosx)(sinx)′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x,故可得f′(0)=0,可排除D,故選C. 18.(2013年)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=( ?。? A.10 B.9 C.8 D.5 【答案】D 【解析】∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即cos2A=,A為銳角,∴cosA=,又a=7,c=6,根據(jù)余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即49=b2+36﹣b,解得:

14、b=5或b=(舍去),故選D. 19.(2013年)設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,則cosθ=   . 【答案】 【解析】f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ時,函數(shù)f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,聯(lián)立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=. 20.(2012年)已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸,則φ=(  ) A. B. C. D

15、. 【答案】A 【解析】因為直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸,所以T==2π.所以ω=1,并且sin(+φ)與sin(+φ)分別是最大值與最小值,0<φ<π,所以φ=.故選A. 21.(2012年)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,c=asinC﹣ccosA. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面積為,求b,c. 【解析】(1)c=asinC﹣ccosA,由正弦定理有: sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,即sinC(sinA﹣cosA﹣1)=0, 又sinC≠0, 所以sinA﹣cosA﹣1=0,

16、即2sin(A﹣)=1, 所以A=; (2)S△ABC=bcsinA=,所以bc=4, a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即4=b2+c2﹣bc, 即有, 解得b=c=2. 22.(2011年)已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos2θ=( ?。? A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根據(jù)題意可知:tanθ=2,所以cos2θ==,則cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=.故選B. 23.(2011年)設函數(shù),則f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),則(  ) A.y=f(x)在(0,)單調遞

17、增,其圖象關于直線x=對稱 B.y=f(x)在(0,)單調遞增,其圖象關于直線x=對稱 C.y=f(x)在(0,)單調遞減,其圖象關于直線x=對稱 D.y=f(x)在(0,)單調遞減,其圖象關于直線x=對稱 【答案】D 【解析】因為f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x.由于y=cos2x的對稱軸為x=kπ(k∈Z),所以y=cos2x的對稱軸方程是:x=(k∈Z),所以A,C錯誤;y=cos2x的單調遞減區(qū)間為2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),即(k∈Z),函數(shù)y=f(x)在(0,)單調遞減,所以B錯誤,D正確.故選D. 24.(201

18、1年)△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB=5,則△ABC的面積為   . 【答案】 【解析】由余弦定理可知cosB==,解得BC=﹣8(舍去)或3,∴△ABC的面積為×AB×B×sinB=×5×3×=. 25.(2010年)若cos α=,α是第三象限的角,則sin(α+)=( ?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵α是第三象限的角,∴sinα==,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin==.故選A. 26.(2010年)在△ABC中,D為BC邊上一點,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,則BD=   . 【答案】 【解析】用余弦定理得AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135°,AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45°,即 AB2=BD2+2+2BD①,AC2=CD2+2﹣2CD②,又BC=3BD,所以 CD=2BD,所以由②得AC2=4BD2+2﹣4BD③,因為AC=AB,所以由③得 2AB2=4BD2+2﹣4BD④,④﹣2×①,得BD2﹣4BD﹣1=0,解得 BD=. 10

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