4、是奇函數，且在(0，＋∞)上是增函數，故選C.
(2)因為y＝x在第一象限內是增函數，所以a＝>b＝，因為y＝是減函數，
所以a＝1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.
2.在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較.
考點二 二次函數的解析式
【例2】已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數的解析式
5、.
【解析】 法一 (利用“一般式”解題)
設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由題意得解得
∴所求二次函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“頂點式”解題)
設f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因為f(2)＝f(－1)，
所以拋物線的對稱軸為x＝＝，所以m＝.
又根據題意，函數有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因為f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零點式”解題)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設f(x)＋1
6、＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解法小結】 求二次函數的解析式，一般用待定系數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式，一般選擇規(guī)律如下：
考點三 二次函數的圖象及應用
【例3】 (1)對數函數y＝logax(a>0且a≠1)與二次函數y＝(a－1)x2－x在同一坐標系內的圖象可能是( )
(2) (2017·浙江卷)若函數f(x)＝x2＋ax＋b在區(qū)間[0，1]上的最大值是M，最小值是m，則M－m(
7、 )
A.與a有關，且與b有關
B.與a有關，但與b無關
C.與a無關，且與b無關
D.與a無關，但與b有關
【答案】(1)A (2)B
【解析】(1)若01，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數，
y＝(a－1)x2－x圖象開口向上，且對稱軸在y軸右側，
因此B項不正確，只有選項A滿足.
(2) 設x1，x2分別是函數f(x)在[0，1]上的最小值點與最大值點，則m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)
8、，顯然此值與a有關，與b無關.
【解法小結】 1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是拋物線上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.
2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.
考點四 二次函數的性質
角度1 二次函數的單調性與最值
【例4－1】 (1)已知函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時，有最大值2，則a的值為________．
(2)設二次函數f(x)＝ax2－2ax＋c在區(qū)間[0,1]上單調遞減，且f
9、(m)≤f(0)，則實數m的取值范圍是________．
【答案】(1)－1或2 (2)[0,2]
【解析】 (1)函數f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對稱軸方程為x＝a.
當a<0時，f(x)max＝f(0)＝1－a，
所以1－a＝2，所以a＝－1.
當0≤a≤1時，f(x)max＝a2－a＋1，
所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去)．
當a>1時，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.
綜上可知，a＝－1或a＝2.
(2)依題意a≠0，二次函數f(x)＝ax2－2ax＋c圖象的對稱軸是直線x＝1，因為函數f(
10、x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減，所以a>0，即函數圖象的開口向上，所以f(0)＝f(2)，則當f(m)≤f(0)時，有0≤m≤2.
角度2 二次函數的恒成立問題
【例4－2】 (1)已知函數f(x)＝x2＋mx－1，若對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，則實數m的取值范圍是________；
(2)已知函數f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立，則k的取值范圍為________．
【答案】(1) (2)(－∞，1)
【解析】 (1)作出二次函數f(x)的草圖如圖所示，對于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
則有fm<0,fm+1
11、<0,
即m2+m2-1<0m+12+mm+1-1<0,
解得－k在區(qū)間[－3，－1]上恒成立．
設g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
則g(x)在[－3，－1]上遞減．
∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1.故k的取值范圍為(－∞，1)．
【解法小結】 1.二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.
2.由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵
(1)一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數.
(2)兩
12、種思路都是將問題歸結為求函數的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數是否已分離.這兩個思路的依據是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
【思維升華】
1.冪函數y＝xα的性質和圖象，由于α的取值不同而比較復雜，一般可從三方面考查：
(1)α的正負：α>0時圖象經過(0，0)點和(1，1)點，在第一象限的部分“上升”；α<0時圖象不過(0，0)點，經過(1，1)點，在第一象限的部分“下降”；
(2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時曲線下凹，0<α<1時曲線上凸，α<0時曲線下凹；
(3)函數的奇偶性：一般先將函數式化為正指數冪或根式形式，再根據
13、函數定義域和奇偶性定義判斷其奇偶性.
2.求二次函數的解析式就是確定函數式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.應根據題設條件選用適當的表達形式，用待定系數法確定相應字母的值.
3.二次函數與一元二次不等式密切相關，借助二次函數的圖象和性質，可直觀地解決與不等式有關的問題.
4.二次函數的單調性與對稱軸緊密相連，二次函數的最值問題要根據其圖象以及所給區(qū)間與對稱軸的關系確定.
【易錯注意點】
1.冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交
14、，則交點一定是原點.
2.對于函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況.
三、【名校新題】
1.(2019·濟寧聯考)下列命題正確的是( )
A.y＝x0的圖象是一條直線
B.冪函數的圖象都經過點(0，0)，(1，1)
C.若冪函數y＝xα是奇函數，則y＝xα是增函數
D.冪函數的圖象不可能出現在第四象限
【答案】D
【解析】 A中，點(0，1)不在直線上，A錯；B中，y＝xα，當α<0時，圖象不過原點，B錯；C中，當α<0時，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上為減函數，C錯.冪函數圖象一
15、定過第一象限，一定不過第四象限，D正確.
2.(2019·衡水中學月考)若存在非零的實數a，使得f(x)＝f(a－x)對定義域上任意的x恒成立，則函數f(x)可能是( )
A.f(x)＝x2－2x＋1 B.f(x)＝x2－1
C.f(x)＝2x D.f(x)＝2x＋1
【答案】A
【解析】 由存在非零的實數a，使得f(x)＝f(a－x)對定義域上任意的x恒成立，可得函數圖象的對稱軸為x＝≠0.只有選項A中，f(x)＝x2－2x＋1關于x＝1對稱.
3.(2019·杭州模擬)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]內的最大值為－5，則a的值為( )
A.
16、 B．1或
C．－1或 D．－5或
【答案】D
【解析】f(x)＝－42－4a，對稱軸為直線x＝.
①當≥1，即a≥2時，f(x)在[0,1]上單調遞增，
∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.
令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．
②當0<<1，即0
17、2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
【答案】A
【解析】f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函數f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上單調遞增，
∴當x＝0時，f(x)取得最小值，當x＝1時，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
5．(2019·安徽名校聯考)冪函數y＝x|m－1|與y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函數，則滿足條件的整數m的值為( )
A．0 B．1和2
C．2 D．0和3
【答案】C
18、【解析】由題意可得解得m＝2.
6.(2019·巢湖月考)已知p：|m＋1|<1，q：冪函數y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上單調遞減，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】 p：由|m＋1|<1得－2
19、(0，1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xa，y＝xb的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A.0 B.1 C. D.2
【答案】
【解析】 BM＝MN＝NA，點A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
將兩點坐標分別代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.
8.（2019濟南統(tǒng)考）若函數y=x2-3x-4的定義域為0.m，值域為-254,-4，則m的取值范圍是（ ）
A.0.4 B.32,4
C.32,+∞
20、 D.32,3
【答案】D
【解析】y=x2-3x-4=x-322-254,函數在0，32內單調減，在32,+∞單調增，且x=32時，ymin=-254,x=0時，y=-4,由二次函數的對稱性知：x=3時，y=-4.故根據已知函數值域，所求m∈32,3
9. (2019·銀川模擬)已知冪函數f(x)＝x，若f(a＋1)
21、<5.
10.(2019·泉州質檢)若二次函數f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值為0，則a＋4b的取值范圍是________.
【答案】[2，＋∞)
【解析】 依題意，知a>0，且Δ＝1－4ab＝0，∴4ab＝1，且b>0.
故a＋4b≥2＝2，
當且僅當a＝4b，即a＝1，b＝時等號成立.
所以a＋4b的取值范圍是[2，＋∞).
11. (2018·浙江名校協(xié)作體考試)y＝的值域為[0，＋∞)，則a的取值范圍是________．
【答案】[0,2]
【解析】當a＝0時，y＝，值域為[0，＋∞)，滿足條件；當a≠0時，要使y＝的值域為[0，＋∞)，只需解得0
22、綜上，0≤a≤2.
12.已知奇函數y＝f(x)定義域是R，當x≥0時，f(x)＝x(1－x).
(1)求出函數y＝f(x)的解析式；
(2)寫出函數y＝f(x)的單調遞增區(qū)間.(不用證明，只需直接寫出遞增區(qū)間即可)
【解析】 (1)當x<0時，－x>0，
所以f(－x)＝－x(1＋x).
又因為y＝f(x)是奇函數，
所以f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x).
綜上f(x)＝
(2)函數y＝f(x)的單調遞增區(qū)間是.
13.已知冪函數f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上單調遞增，函數g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)當x∈[1，2)時，記
23、f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，設p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要條件，求實數k的取值范圍.
【解析】 (1)依題意得：(m－1)2＝1?m＝0或m＝2，
當m＝2時，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調遞減，與題設矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
當x∈[1，2)時，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
當x∈[1，2)時，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要條件，則B?A，
則即得0≤k≤1.
故實數k的取值范圍是[0，1].
14.已知二次函數f(x)滿足f(x＋1)－f(x)
24、＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)當x∈[－1，1]時，函數y＝f(x)的圖象恒在函數y＝2x＋m的圖象的上方，求實數m的取值范圍.
【解析】 (1)設f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，
則f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1.
(2)因為當x∈[－1，1]時，y＝f(x)的圖象恒在y＝2x＋m的圖象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在區(qū)間[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因為g(x)在[－1，1]上的最小值為g(1)＝－1，
所以m<－1.故實數m的取值范圍為(－∞，－1).
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（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題07 二次函數與冪函數（含解析）
