（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第65講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 理（含解析）新人教A版

《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第65講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第65講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系練習(xí) 理（含解析）新人教A版（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第65講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系夯實(shí)基礎(chǔ)【p148】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能利用直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的幾何特征判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，能熟練解決與圓的切線和弦長等有關(guān)的綜合問題；體會(huì)用代數(shù)法處理幾何問題的思想【基礎(chǔ)檢測】1兩圓C1：x2y21和C2：x2y24x50的位置關(guān)系是()A相交B內(nèi)切C外切D外離【解析】由圓C1：x2y21的圓心為(0，0)，半徑為1，圓C2：x2y24x50圓心為(2，0)，半徑為3，所以圓心距為2，此時(shí)231，即圓心距等于半徑的差，所以兩個(gè)圓相內(nèi)切【答案】B2過點(diǎn)P(，1)的直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.【解析

2、】由題意得直線l斜率存在，設(shè)為k，則直線l：y1k(x)，kxyk10，由直線l與圓x2y21有公共點(diǎn)得1，2k22k0，0k，從而傾斜角取值范圍是.【答案】D3已知直線l1：yx1與l2：yxm之間的距離為2，則直線l2被圓C：(x1)2y28截得的弦長為()A4B3C2D1【解析】由條件可知，直線l1過圓心C：(1，0)，則圓心C到直線l2的距離等于直線l1與l2之間的距離2，故直線l2被圓C截得的弦長為24.【答案】A4點(diǎn)P是直線xy30上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O：x2y24作切線，則切線長的最小值為()A2B.C.D.【解析】圓O：x2y24，圓心O(0，0)，半徑r2.由題意可知，點(diǎn)P到

3、圓O：x2y24的切線長最小時(shí)，OP垂直直線xy30.圓心到直線的距離d，切線長的最小值為.【答案】C5圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_【解析】由得xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長的一半為，所以所求弦長為2.【答案】2【知識(shí)要點(diǎn)】1直線和圓的位置關(guān)系有三種：_相交、相切、相離_2直線l：AxByC0與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線AxByC0的距離d_和圓的半徑r的大小關(guān)系：d_r直線與圓相離(2)代數(shù)方法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為，則_0直線與圓相交；_0直

4、線與圓相切；_0)與(xa2)2(yb2)2r(r20)的圓心距為d，則dr1r2兩圓_相離_；dr1r2兩圓_外切_；|r1r2|dr1r2兩圓_相交_；d|r1r2|(r1r2)兩圓_內(nèi)切_；0d|r1r2|(r1r2)兩圓_內(nèi)含_(d0時(shí)為同心圓)(2)代數(shù)方法：方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解兩圓_相交_；有兩組相同的實(shí)數(shù)解兩圓_相切_；無實(shí)數(shù)解兩圓_相離_或_內(nèi)含_5直線被圓截得的弦長(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程是_x0xy0yr2_(2)幾何方法：運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算(3)代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式|AB

5、|xAxB|.典例剖析【p149】考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系(1)若直線l：ykx1(k0)與圓C：(x2)2(y1)22相切，則直線l與圓D：(x2)2y23的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定【解析】因?yàn)橹本€l：ykx1(k0)與圓C：(x2)2(y1)22相切，所以，解得k1，因?yàn)閗0)，根據(jù)題意可知圓的半徑是a，根據(jù)題意有圓心到直線的距離等于半徑，得到a，解得a6，所以圓C的方程是(x6)2y236，即x2y212x0，與直線xym0聯(lián)立，化簡得2x2(122m)xm20，(122m)28m24m248m1440，解得66m66，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以x1x2m

6、6，x1x2，因?yàn)镻MPN，所以0，即(x1，y11)(x2，y21)0，從而有m25m50，解得m，經(jīng)檢驗(yàn)，兩個(gè)值都可以【答案】【點(diǎn)評(píng)】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題考點(diǎn)2弦長問題已知直線l：ykx1，圓C：(x1)2(y1)212.(1)試證明：不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)求直線l被圓C截得的最短弦長【解析】法一：(1)由消去y得(k21)x2(24k)x70，因?yàn)?4k2

7、)228(k21)0，所以不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)(2)設(shè)直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則直線l被圓C截得的弦長|AB|222，令t，則tk24k(t3)0，當(dāng)t0時(shí)，k，當(dāng)t0時(shí)，因?yàn)閗R，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值為4，此時(shí)|AB|最小為2.法二：(1)直線l過定點(diǎn)E(0，1)，且點(diǎn)E在圓C內(nèi)，故不論k為何實(shí)數(shù)，直線l和圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)(2)易知當(dāng)l垂直于CE時(shí)，弦長最短，kCE2，k，l：yx1，圓心到直線距離d.|AB|222.【點(diǎn)評(píng)】處理直線與圓的弦長問題時(shí)多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形考點(diǎn)3圓

8、的切線問題(1)過點(diǎn)P(2，4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy420，即4x3y40.綜上，切線方程為x2或4x3y40.【答案】x2或4x3y40(2)已知圓C：(x1)2(y2)210，求滿足下列條件的圓的切線方程與直線l1：xy40平行；與直線l2：x2y40垂直；過切點(diǎn)A(4，1)【解析】設(shè)切線方程為xyb0，則，b12，切線方程

9、為xy120；設(shè)切線方程為2xym0，則，m5，切線方程為2xy50；kAC，過切點(diǎn)A(4，1)的切線斜率為3，過切點(diǎn)A(4，1)的切線方程為y13(x4)，即3xy110.【點(diǎn)評(píng)】圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題考點(diǎn)4圓與圓的位置關(guān)系(1)若圓C1：x2y22axa290(aR)與圓C2：x2y22byb210(bR)內(nèi)切，則ab的最大值為()A.B2C4D2【解析】圓C1：x2y22axa290(aR)，化為(xa)2y29，圓心坐標(biāo)為(a，0)，半徑為3.圓C2：x2y22byb210(bR)，化為x2(yb)21，圓心坐標(biāo)為(0，b)，半徑為1，圓

10、C1：x2y22axa290(aR)與圓C2：x2y22byb210(bR)內(nèi)切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值為2.【答案】B(2)求過兩圓x2y24xy1，x2y22x2y10的交點(diǎn)的圓中面積最小的圓的方程【解析】由得2xy0，代入得x1，x21，兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，(1，2)過兩交點(diǎn)的圓中，以，(1，2)為端點(diǎn)的線段為直徑的圓，面積最小該圓圓心為，半徑為，圓方程為.【點(diǎn)評(píng)】圓的公共弦方程是兩個(gè)圓的方程化為二次系數(shù)一致時(shí)相減而得到的，以公共弦為直徑的圓的方程利用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的圓心坐標(biāo)適合公共弦方程而確定待定系數(shù)方法總結(jié)【p150】1處理直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

11、常用幾何法，即利用圓心到直線的距離，兩圓心連線的長與半徑和、差的關(guān)系判斷求解2求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：(1)幾何方法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，即kxykx0y00.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出(2)代數(shù)方法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓方程，得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出(以上兩種方法只能求斜率存在的切線，斜率不存在的切線，可結(jié)合圖形求得)3求直線被圓截得的弦長(1)幾何方法：運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長|AB|2.(2)代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理弦長|AB|.4注

12、意利用圓的幾何性質(zhì)解題如：圓心在弦的垂直平分線上，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，切割線定理等，在考查圓的相關(guān)問題時(shí)，常結(jié)合這些性質(zhì)一同考查，因此要注意靈活運(yùn)用圓的性質(zhì)解題走進(jìn)高考【p150】1(2018天津)已知圓x2y22x0的圓心為C，直線(t為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則ABC的面積為_【解析】直線的普通方程為xy20，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y21，圓心為C(1，0)，半徑為1，點(diǎn)C到直線xy20的距離d，所以|AB|2，所以SABC.【答案】2(2016全國卷)已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|2，則|CD|_【

13、解析】法一：直接法圓x2y212的圓心為O，半徑為2.由點(diǎn)到直線的距離公式得3，解得m，從而直線l的斜率km，因此直線l的傾斜角為30，據(jù)題意畫出右圖，可知|CD|4.法二：幾何法由題意解得m(同法一)，從而直線l的方程為xy20，聯(lián)立方程解得xA3，xB0.從而B(0，2)，又直線l的斜率km，直線km與BD與l垂直，所以直線的方程為yx2，令y0，解得xD2，由下圖易知點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以xC2，因此|CD|xDxC|4.法三：解析法如下圖，直線l與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2，d3，3，解得m.直線l即：xy60.聯(lián)立解得或即A(3，)，B(0，2)，直線AC的方程

14、為：xy20，令y0得C(2，0)，同理得D(2，0)，|CD|4.考點(diǎn)集訓(xùn)【p261】A組題1圓x2y240與圓x2y22x0的位置關(guān)系是()A相離B相交C內(nèi)切D內(nèi)含【解析】將圓x2y240和圓x2y22x0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y24和(x1)2y21，兩圓心的距離為1，兩半徑分別為1和2，圓心距等于半徑之差，故內(nèi)切，選C.【答案】C2直線yx1與圓x2y22y30交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|()A.B2C2D4【解析】化圓x2y22y30為x2(y1)24，可得圓心坐標(biāo)為(0，1)，半徑為2，圓心到直線yx1的距離d，|AB|22.【答案】B3圓x2y22x50和圓x2y22x4y40的交點(diǎn)

15、為A、B，則線段AB的垂直平分線方程為()Axy10B2xy10Cx2y10Dxy10【解析】圓x2y22x50的圓心為M(1，0)，圓x2y22x4y40的圓心為N(1，2)，兩圓的相交弦AB的垂直平分線即為直線MN，其方程為，即xy10.【答案】A4設(shè)圓心在x軸上的圓C與直線l1：xy10相切，且與直線l2：xy0相交于兩點(diǎn)M，N，若|MN|，則圓C的半徑為()A.B.C1D.【解析】圓心在x軸上的圓C與直線l1：xy10相切，且與直線l2：xy0相交于兩點(diǎn)M，N，兩條直線平行，平行線之間的距離d，設(shè)圓C的半徑為r，由|MN|，可得r2，解得r1，故圓C的半徑為1.【答案】C5已知點(diǎn)A，B

16、，若圓C：r2(r0)與以線段AB為直徑的圓相外切，則實(shí)數(shù)r的值是_【解析】A，B，則2，AB中點(diǎn)為：.以線段AB為直徑的圓的圓心為，半徑為.圓C與以線段AB為直徑的圓相外切，所以圓心距5r.所以r5.【答案】56過點(diǎn)P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則_【解析】由題意，圓心為O(0，0)，半徑為1.如圖所示P(1，)，PAx軸，PAPB.POA為直角三角形，其中OA1，AP，則OP2，OPA30，APB60.|cosAPBcos60.【答案】7已知曲線C：x，直線l：x6，若對(duì)于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，則m的取值范圍為_【解析】曲線C：x，是以原

17、點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，并且xP2，0，對(duì)于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，說明A是PQ的中點(diǎn)，Q的橫坐標(biāo)x6，m2，3【答案】2，38已知圓C：(x1)2(y2)225，直線l：(2m1)x(m1)y7m40(mR)(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓截得的弦長最小時(shí)l的方程，并求此時(shí)的弦長【解析】(1)將l的方程整理為(xy4)m(2xy7)0.由得直線l過定點(diǎn)A(3，1)(31)2(12)2525，點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，故直線l與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)(2)圓心為O(1，2)，當(dāng)截得的弦長最小時(shí)，lAO.由kAO，得l的方程為y12(x3)，即2x

18、y50.此時(shí)的弦長為24.B組題1圓：x2y22axa290和圓：x2y24by14b20有三條公切線，若aR，bR，且ab0，則的最小值為()A1B3C4D5【解析】由題意得，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓相外切，又圓x2y22axa290的圓心坐標(biāo)C1(a，0)，半徑為R3，圓x2y24by14b20的圓心坐標(biāo)C2(0，2b)，半徑為r1，所以圓心距為|C1C2|31a24b216，所以(a24b2)1，當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1.【答案】A2已知直線l：xy1與圓M：x2y22x2y10相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的

19、最大值為_【解析】把圓M：x2y22x2y10化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x1)2(y1)23，圓心(1，1)，半徑r.直線與圓相交，由點(diǎn)到直線的距離公式得弦心距d，由勾股定理得半弦長，所以弦長|AC|2.又B，D兩點(diǎn)在圓上，并且位于直線l的兩側(cè)，四邊形ABCD的面積可以看成是兩個(gè)三角形ABC和ACD的面積之和，如圖所示，當(dāng)B，D為如圖所示位置，即BD為弦AC的垂直平分線時(shí)(即為直徑時(shí))，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，最大面積為：S|AC|BE|AC|DE|AC|BD|2.【答案】3已知圓C：x2y22x4y30.(1)若直線l過點(diǎn)(2，0)且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；(

20、2)從圓C外一點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|PO|，求|PM|的最小值【解析】(1)x2y22x4y30可化為(x1)2(y2)22，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x2，易求直線l與圓C的交點(diǎn)為A(2，1)，B(2，3)，|AB|2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x2)，即kxy2k0，則圓心C到直線l的距離d1，解得k，所以直線l的方程為3x4y60.綜上，直線l的方程為x2或3x4y60.(2)如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CMPM，所以PMC為直角三角形，所以|PM|2|PC|2|MC|2.設(shè)P(x，y)，由(1)知C(1，2)，

21、|MC|，因?yàn)閨PM|PO|，所以(x1)2(y2)22x2y2，化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為2x4y30.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點(diǎn)O到直線2x4y30的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.4已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.【解析】(1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r1，由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以1.解得k.所以k的取值范圍是.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.備課札記17