（課標(biāo)專用）天津市2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線

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1、專題能力訓(xùn)練16橢圓、雙曲線、拋物線專題能力訓(xùn)練第38頁(yè)一、能力突破訓(xùn)練1.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=52x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn),則C的方程為()A.x28-y210=1B.x24-y25=1C.x25-y24=1D.x24-y23=1答案:B解析:由題意得ba=52,c=3.因?yàn)閍2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程為x24-y25=1.2.已知以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).若|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:不

2、妨設(shè)拋物線C的方程為y2=2px(p0),圓的方程為x2+y2=R2.因?yàn)閨AB|=42,所以可設(shè)A(m,22).又因?yàn)閨DE|=25,所以R2=5+p24,m2+8=R2,8=2pm,解得p2=16.故p=4,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.3.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為3,則其漸近線方程為()A.y=2xB.y=3xC.y=22xD.y=32x答案:A解析:e=ca=3,c2a2=b2+a2a2=ba2+1=3.ba=2.雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=bax,漸近線方程為y=2x.4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于

3、x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y29=1D.x29-y23=1答案:C解析:由雙曲線的對(duì)稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過(guò)點(diǎn)F作EFCD于點(diǎn)E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因?yàn)辄c(diǎn)F(c,0)到y(tǒng)=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因?yàn)閑=ca=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為x23-y29=1.故選C.

4、5.設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點(diǎn),與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OP=mOA+nOB(m,nR),且mn=29,則該雙曲線的離心率為()A.322B.355C.324D.98答案:C解析:在y=bax中,令x=c,得Ac,bca,Bc,-bca.在雙曲線x2a2-y2b2=1中,令x=c,得Pc,b2a.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為c,b2a時(shí),由OP=mOA+nOB,得c=(m+n)c,b2a=mbca-nbca,則m+n=1,m-n=bc.由m+n=1,mn=29,得m=23,n=13或m=13,n=23(舍去),

5、bc=13,c2-a2c2=19,e=324.同理,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為c,-b2a時(shí),e=324.故該雙曲線的離心率為324.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.答案:2解析:四邊形OABC是正方形,AOB=45,不妨設(shè)直線OA的方程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x.ba=1,即a=b.|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=2.7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C

6、的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若MAN=60,則C的離心率為.答案:233解析:如圖所示,由題意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b.MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=bax的傾斜角為,則tan=|AP|OP|=32ba2-34b2.tan=ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=233.8.如圖,已知拋物線C1:y=14x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(

7、2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).解:(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t).由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0.由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0).由題意知,點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,所以y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP

8、|=t1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線PA的距離是d=t21+t2.設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.9.如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線y=x+m(m0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|0,而當(dāng)1或-1為方程的根時(shí),m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)(m0)可知,m0,且m1.設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因?yàn)閨PQ|PR|,所以|xQ|1,且1+3m22,所以11+2

9、21+3m2-13,且1+221+3m2-153,所以1|PR|PQ|=xRxQ3,且|PR|PQ|=xRxQ53.綜上所述,|PR|PQ|的取值范圍是1,5353,3.10.已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲線C的方程;(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2x00,b0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=6|OP|,則C的離心率為()A.5B.2C.3D.2答案:C解析:如圖所示,由題意可知,|PF2|=b,|OP|=a.由題意,得|PF1|=6a.設(shè)

10、雙曲線漸近線的傾斜角為.在OPF1中,由余弦定理知cos(180-)=a2+c2-(6a)22ac=c2-5a22ac=-cos.cos=ac,c2-5a22ac=-ac,解得c2=3a2.e=3.13.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為線段FN的中點(diǎn),則|FN|=.答案:6解析:設(shè)N(0,a),由題意可知F(2,0).又M為線段FN的中點(diǎn),則M1,a2.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a

11、0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.答案:y=22x解析:拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4p2=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以該雙曲線的漸近線方程為y=22x.15.已知圓C:(x+1)2+y2=20,

12、點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程;(2)設(shè)M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點(diǎn),求MPQ面積的最大值.解:(1)由已知可得,點(diǎn)P滿足|PB|+|PC|=|AC|=252=|BC|,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=25,2c=2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-2

13、0=0,則有=80(4+20t2-t4)0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2|x1-x2|=1+4t280(4+20t2-t4)4+20t2,點(diǎn)M到PQ的距離為h=15+t21+4t2.由SMPQ=12|PQ|h代入化簡(jiǎn),得SMPQ=510-(t2-10)2+104510104=1305,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),SMPQ取最大值1305.16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓:x2a+y2=1(a1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=94的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),CACB的最大值是314.(1)求橢圓的方程.(2)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為

14、點(diǎn)F1,F2,過(guò)點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).在線段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則x2a+y2=1.連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA.因?yàn)镚(0,2),CG=(-x,2-y),所以CACB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因?yàn)閍1,所以當(dāng)y=42(1-a)-1,即1-1,即a3時(shí),CACB的最大值是4(1-a)a+74-164

15、(1-a).由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是x25+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0),將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0).因?yàn)橹本€l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y020,從而0x02.假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)(0m2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過(guò)點(diǎn)M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=5y0x0(x-x0),將點(diǎn)M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,從而m0,85.12