《2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課 第4課時(shí) 利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題練習(xí)（含解析）新人教A版選修2-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課 第4課時(shí) 利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題練習(xí)（含解析）新人教A版選修2-1（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4課時(shí) 利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題
課后篇鞏固提升
基礎(chǔ)鞏固
1.已知向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),如果a∥b,那么x等于( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
解析∵向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),a∥b,
∴x2=24=-1-2,解得x=1.故選B.
答案B
2.(2019全國(guó)Ⅱ高考)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則AB·BC=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
解析由BC=AC-AB=(1,t-3),|BC|=12+(t-3)2=1,得t=3,則BC=(1,0).所以AB·BC=(2,3
2、)·(1,0)=2×1+3×0=2.故選C.
答案C
3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),若DA=a,DC=b,DD1=c,則MN=( )
A.12(c+b-a) B.12(a+b-c)
C.12(a-c) D.12(c-a)
解析在正方體ABCD-A1B1C1D1中,∵點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),DA=a,DC=b,DD1=c,
∴MN=MB+BB1+B1N=12A1B+BB1+12B1D1
=12(A1A+AB)+BB1+12(BC+CD)
=12(-c+b)+c+12(-a-b)
=-12
3、a+12c=12(c-a),故選D.
答案D
4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中點(diǎn),M是棱CC1上的點(diǎn),且CC1=3CM,則直線BM與B1N所成的角的余弦值是( )
A.105 B.2515 C.1020 D.1030
解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)N32,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),BM=(-3,0,1),B1N=-32,-3,-3.
cos=B1N·BM|B1N||BM|=1030,故選D.
答案D
5.已知點(diǎn)A(m,-2,n)
4、,點(diǎn)B(-5,6,24)和向量a=(-3,4,12),且AB∥a,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .?
解析∵A(m,-2,n),B(-5,6,24),
∴AB=(-5-m,8,24-n).
又向量a=(-3,4,12),且AB∥a,
∴AB=λa,即-5-m=-3λ,8=4λ,24-n=12λ,
解得λ=2,m=1,n=0,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2,0).
答案(1,-2,0)
6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=2a3,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是 .?
解析∵正方體棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=2a3,
∴
5、MB=23A1B,CN=23CA.
∴MN=MB+BC+CN=23A1B+BC+23CA
=23(A1B1+B1B)+BC+23(CD+DA)
=23B1B+13B1C1.
又CD是平面B1BCC1的法向量,
∴MN·CD=23B1B+13B1C1·CD=0.
∴MN⊥CD.
又MN?平面B1BCC1,∴MN∥平面B1BCC1.
答案平行
7.(2019天津高考)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上,且AE=BE,則BD·AE= .?
解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,
∴∠ABE=30°.
∵EA=
6、EB,
∴∠EAB=30°.
∠AEB=120°.
在△AEB中,EA=EB=2,
BD·AE=(BA+AD)·(AB·BE)
=-BA2+BA·BE+AD·AB+AD·BE
=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.
答案-1
8.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BAA1=45°,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.
(1)求證:AA1⊥BC;
(2)若BB1=2AB=2,直線BC與平面ABB1A1所成角為45°,D為CC1的中點(diǎn),求二面角B1-A1D-C1的余弦值.
(1)證明過(guò)點(diǎn)C
7、作CO⊥AA1,垂足為O,因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面AA1B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OB.
又因?yàn)镃A=CB,CO=CO,∠COA=∠COB=90°,
所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB.
因?yàn)椤螦1AB=45°,所以AA1⊥OB.
又因?yàn)锳A1⊥CO,所以AA1⊥平面BOC,故AA1⊥BC.
(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OC所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
因?yàn)镃O⊥平面AA1B1B,
所以∠CBO是直線BC與平面AA1B1B所成角,
故∠CBO=45°,所以AB=2,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B
8、(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),
設(shè)平面A1B1D的法向量為n=(x1,y1,z1),則
n·A1D=0,n·B1D=0,所以z1=0,x1-y1+z1=0,
令x1=1,得n=(1,1,0),因?yàn)镺B⊥平面AA1C1C,
所以O(shè)B為平面A1C1D的一條法向量,
OB=(0,1,0),cos=n·OB|n|·|OB|=22,
所以二面角B1-A1D-C1的余弦值為22.
9.(2019天津高考)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求
9、證:BF∥平面ADE;
(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長(zhǎng).
(1)證明依題意,可以建立以A為原點(diǎn),分別以AB,AD,AE的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h>0),則F(1,2,h).
依題意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF?平面ADE,所以BF∥平面ADE.
(2)解依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0
10、,2),CE=(-1,-2,2).
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則n·BD=0,n·BE=0,即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos=CE·n|CE||n|=-49.
所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49.
(3)解設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則m·BD=0,m·BF=0,即-x+y=0,2y+hz=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2h.
由題意,有|cos|=|m·n||m||n|=4-2h32+4h2=13,解得h=87,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.
所以,線段CF的長(zhǎng)為87.
能
11、力提升
1.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,N為B1B的中點(diǎn),則|MN|為( )
A.216a B.66a
C.156a D.153a
解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,a2.
設(shè)M(x,y,z),
∵點(diǎn)M在AC1上且AM=12MC1,
∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z).
∴x=23a,y=a3,z=a3.∴M2a3,a3,a3,
∴|MN|=a-23a2+a-a32+a2-a32
=216a.
答案A
2.已知ABCD-A1B1C1
12、D1為正方體,則二面角B-A1C1-A的余弦值為( )
A.23 B.22 C.63 D.32
解析以D為原點(diǎn),直線DA為x軸,直線DC為y軸,直線DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1C1=(-1,1,0),A1A=(0,0,-1),A1B=(0,1,-1).
設(shè)平面A1C1A的法向量n=(x,y,z),
則n·A1C1=-x+y=0,n·A1A=-z=0,取x=1,得n=(1,1,0).
設(shè)平面A1C1B的法向量m=(a,b,c),
則m·A1C
13、1=-a+b=0,m·A1B=b-c=0,取a=1,得m=(1,1,1).
設(shè)二面角B-A1C1-A的平面角為θ,
則cosθ=|m·n||m||n|=22×3=63.
∴二面角B-A1C1-A的余弦值為63.
故選C.
答案C
3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),則B1C與A1P所成角的大小為 ,B1C·A1P= .?
解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間坐標(biāo)系,如圖所示.
∵AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點(diǎn),
∴B1(1,2,1),C(0,2,
14、0),A1(1,0,1),P(0,1,1).
∴B1C=(-1,0,-1),A1P=(-1,1,0).
∴B1C·A1P=1+0+0=1,|B1C|=2,|A1P|=2.
設(shè)B1C與A1P所成角為θ,
∴cosθ=12×2=12,∴θ=60°.
答案60° 1
4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,M為A1C1的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn),則直線CM與AN所成的角的余弦值為 .?
解析以A為原點(diǎn),在平面ABC內(nèi)過(guò)A作AC的垂線為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,則C(0,2,0),M(0
15、,1,2),A(0,0,0),N(3,1,1),CM=(0,-1,2),AN=(3,1,1),設(shè)直線CM與AN所成的角為θ,則cosθ=|CM·AN||CM||AN|=15×5=15.∴直線CM與AN所成的角的余弦值為15.故答案為15.
答案15
5.在四面體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為 .?
解析根據(jù)題意,可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz,則P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于點(diǎn)H,則PH的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面ABC的距離.
∵
16、PA=PB=PC,∴H為△ABC的外心.
又∵△ABC為正三角形,∴H為△ABC的重心,可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為a3,a3,a3.
∴PH=a3-02+a3-02+a3-02=33a.
∴點(diǎn)P到平面ABC的距離為33a.
答案33a
6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=23,DPAD=60°,AB⊥平面PAD,點(diǎn)M在棱PC上.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCD;
(2)若直線PA∥平面MBD,求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值.
解(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面PAD,
所以AB⊥DP.
又因?yàn)镈P=23,AP=2,∠PAD=6
17、0°,
由PDsin∠PAD=PAsin∠PDA,可得sin∠PDA=12,
所以∠PDA=30°,所以∠APD=90°,即DP⊥AP,
因?yàn)锳B∩AP=A,所以DP⊥平面PAB,
因?yàn)镈P?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.
(2)由AB⊥平面PAD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面PAD中,過(guò)點(diǎn)A作AD的垂線為x軸,AD,AB所在直線分別為y軸,z軸,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.
其中A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),P(3,1,0).
從而B(niǎo)D=(0,4,-1),AP=(3,1,0),PC=(-3,3,3),設(shè)PM=λPC,從而得M(
18、3(1-λ),3λ+1,3λ),
BM=(3(1-λ),3λ+1,3λ-1),
設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),
若直線PA∥平面MBD,滿足n·BM=0,n·BD=0,n·AP=0,
即3(1-λ)x+(3λ+1)y+(3λ-1)z=0,4y-z=0,3x+y=0,
得λ=14,取n=(3,-3,-12),
且BP=(3,1,-1),
直線BP與平面MBD所成角的正弦值sinθ=|n·BP||n||BP|=|3-3+12|156×5=265195.
7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,AB=3,AD=23
19、,AP=3.
(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;
(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角E-AB-D的余弦值.
解(1)證明:在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=12+3-2×23×3×cos60°=9,
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,即CD⊥AC,
又PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
∴PA⊥CD.
又AC∩CD=C,∴CD⊥平面PCA.
又CD?平面PCD,
∴平面PCA⊥平面PCD.
(2)如圖,以A為
20、坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3).
設(shè)E(x,y,z),PE=λPC(0≤λ≤1),
則(x,y,z-3)=λ(0,3,-3),
∴x=0,y=3λ,z=3-3λ,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3λ,3-3λ),∴BE=(-3,3λ,3-3λ).
又平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
∴sin45°=|cos|=|3-3λ|3+9λ2+(3-3λ)2,
解得λ=13.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1,2),
∴AE=(0,1,2),AB=(3,0,0),
設(shè)平面EAB的法向量為m=(x,y,z),
由m·AB=0,m·AE=0,得x=0,y+2z=0,
令z=1,得平面EAB的一個(gè)法向量為m=(0,-2,1),
∴cos=m·n|m||n|=15=55.
又二面角E-AB-D的平面角為銳角,所以,二面角E-AB-D的余弦值為55.
10
2019-2020版高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課 第4課時(shí) 利用向量解決平行與垂直、夾角問(wèn)題練習(xí)（含解析）新人教A版選修2-1
