(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第64講 圓的方程練習(xí) 理(含解析)新人教A版

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1、第64講圓的方程夯實(shí)基礎(chǔ)【p146】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程,會用圓的方程及其幾何性質(zhì)解題2能根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问?,利用待定系?shù)法求出圓的方程,解決與圓有關(guān)的問題【基礎(chǔ)檢測】1當(dāng)圓x2y22x2ky2k20的面積最大時,圓心坐標(biāo)是()A(0,1) B(1,0) C(1,1) D(1,1)【解析】因?yàn)閤2y22x2ky2k20,所以(x1)2(yk)21k2,因此圓面積為(1k2),k0時圓面積最大,此時圓心坐標(biāo)為(1,0)【答案】B2若點(diǎn)(2a,a1)在以(0,1)為圓心,半徑為的圓內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C.D.【解析】由題意,4a2a

2、25,即a21,解之得:1a1.【答案】A3方程ax2ay24(a1)x4y0表示圓,則a的取值范圍是()AaRBa1且aRCa0且aRDa(0,4【解析】a0時,方程為,由a22a20恒成立,a0且aR時方程表示圓【答案】C4圓C是以直線l:(2m1)x(m1)y2m0的定點(diǎn)為圓心,半徑r4的圓,則圓C的方程為()A(x2)2(y2)216B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216D(x2)2(y2)216【解析】由(2m1)x(m1)y2m0有(2xy2)m(xy)0,所以直線過定點(diǎn)(2,2),則所求圓的方程為(x2)2(y2)216.【答案】A5在平面直角坐標(biāo)系中,三點(diǎn)O(0,

3、0),A(2,4),B(6,2),則三角形OAB的外接圓方程是_【解析】設(shè)三角形OAB的外接圓方程是x2y2DxEyF0,由點(diǎn)O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圓上,可得解得所以三角形的外接圓的方程為x2y26x2y0.【答案】x2y26x2y0【知識要點(diǎn)】1圓的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合,其中定點(diǎn)是圓心,定長為半徑2圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心是(a,b),半徑是r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_(xa)2(yb)2r2_當(dāng)圓心在(0,0)時,方程為_x2y2r2_(2)圓的一般方程x2y2DxEyF0可變形為_故有:當(dāng)D2E24F0時,方程表示以_為圓心,以_為半徑的圓;當(dāng)D2E

4、24F0時,方程表示一個點(diǎn)_;當(dāng)D2E24F0)的位置關(guān)系:若(x0a)2(y0b)2r2,則點(diǎn)P在圓外;若(x0a)2(y0b)2r2,則點(diǎn)P在圓上;若(x0a)2(y0b)22,即點(diǎn)Q在圓C外,所以|MQ|max426,|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率,設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2),即kxy2k30,則k.由直線MQ與圓C有交點(diǎn),所以2,可得2k2,所以的最大值為2,最小值為2.【點(diǎn)評】與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義,利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見

5、類型及解法形如u型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題;形如taxby型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題;形如(xa)2(yb)2型的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)(a,b)的距離平方的最值問題考點(diǎn)3與圓有關(guān)的綜合問題已知圓C過點(diǎn)P(1,1),且與圓M:(x2)2(y2)2r2(r0)關(guān)于直線xy20對稱(1)求圓C的方程;(2)設(shè)Q為圓C上的一個動點(diǎn),求的最小值;(3)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A,B,且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ),O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線OP和AB是否平行?請說明理由【解析】(1)設(shè)圓心C(a,b),則解得又點(diǎn)P(1,

6、1)在圓C上,故圓C的方程為x2y22.(2)設(shè)Q(x,y),則x2y22,(x1,y1)(x2,y2)x2y2xy4xy2.所以的最小值為4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)(3)由題意知,直線PA和直線PB的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè)PA:y1k(x1),則PB:y1k(x1),由,得(1k2)x22k(1k)x(1k)220,因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1一定是該方程的解,故可得xA,同理,xB,所以kAB1kOP,所以直線AB和OP一定平行【點(diǎn)評】(1)兩圓關(guān)于某直線對稱,其圓心對稱,半徑相等(2)通過坐標(biāo)計算數(shù)量積,等價轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值(3)通過“設(shè)而不求”的思想處理方法總結(jié)【p147】1在求

7、圓的方程時,應(yīng)根據(jù)題意,合理選擇圓的方程形式圓的標(biāo)準(zhǔn)方程突出了圓心坐標(biāo)和半徑,便于作圖使用;圓的一般方程是二元二次方程的形式,便于代數(shù)運(yùn)算;而圓的參數(shù)方程在求范圍和最值時應(yīng)用廣泛同時,在選擇方程形式時,應(yīng)熟悉它們的互化如果問題中給出了圓心與圓上的點(diǎn)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系或圓心的特殊位置時,一般用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果給出圓上的三個點(diǎn)的坐標(biāo),一般用一般方程2在二元二次方程中x2和y2的系數(shù)相等并且沒有xy項,只是表示圓的必要條件而不是充分條件3在解決與圓有關(guān)的問題時,要充分利用圓的幾何性質(zhì),這樣會使問題簡化涉及與圓有關(guān)的最值問題或范圍問題時應(yīng)靈活、恰當(dāng)運(yùn)用參數(shù)方程走進(jìn)高考【p148】1(2017全國卷)已知拋

8、物線C:y22x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,2),求直線l與圓M的方程【解析】(1)設(shè)A,B,l:xmy2,由可得y22my40,則y1y24.又x1,x2,故x1x24.因此OA的斜率與OB的斜率之積為1,所以O(shè)AOB.故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上(2)由(1)可得y1y22m,x1x2m42m24.故圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑r,由于圓M過點(diǎn)P(4,2),因此0,故0,即x1x24y1y22200.由(1)可得y1y24,x1x24,所以2m2m10,解得m1或m.當(dāng)m1時,直線l的方程為xy20,圓心

9、M的坐標(biāo)為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為10.當(dāng)m時,直線l的方程為2xy40,圓心M的坐標(biāo)為,圓M的半徑為,圓M的方程為.2(2018全國卷)設(shè)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|8.(1)求l的方程;(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程【解析】(1)由題意得F(1,0),l的方程為yk(x1)(k0)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160,故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8,解得k1(舍去),k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中

10、點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y2(x3),即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則,解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.考點(diǎn)集訓(xùn)【p259】A組題1圓x2y22x6y60的圓心和半徑分別為()A圓心(1,3),半徑為2B圓心(1,3),半徑為2C圓心(1,3),半徑為4D圓心(1,3),半徑為4【解析】將x2y22x6y60配方得(x1)2(y3)24,所以圓心為(1,3),半徑為2.【答案】B2已知兩點(diǎn)A(1,3),B(3,a),以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2

11、)240C(x1)2(y1)28D(x1)2(y1)232【解析】以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),則OAOB,所以1,a1,線段AB中點(diǎn)為(1,2),半徑r|AB|,所以所求圓的方程為(x1)2(y2)25.【答案】A3設(shè)圓的方程是x2y22ax2y(a1)20,若0a1,則原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是()A原點(diǎn)在圓上B原點(diǎn)在圓外C原點(diǎn)在圓內(nèi)D不確定【解析】將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(y1)22a,因?yàn)?a1,所以(0a)2(01)22a(a1)20,即,所以原點(diǎn)在圓外【答案】B4已知點(diǎn)P為直線yx1上的一點(diǎn),M,N分別為圓C1:(x4)2(y1)24與圓C2:x2(y2)21上的點(diǎn),則|P

12、M|PN|的最大值為()A4B5C6D7【解析】求得C2(0,2)關(guān)于直線yx1的對稱點(diǎn)為C(m,n),由解得C(1,1),由對稱性可得|PC|PC2|,則|PC1|PC2|PC1|PC|C1C|3,由于|PM|PC1|2,|PN|PC2|1,|PM|PN|PC1|PC2|36,故|PM|PN|的最大值為6.【答案】C5已知圓O:x2y21.圓O與圓O關(guān)于直線xy20對稱,則圓O的方程是_【解析】設(shè)圓O的圓心(a,b),因?yàn)閳AO的圓心與圓O:x2y21的圓心關(guān)于直線l:xy20對稱,所以解得a2,b2;又圓的半徑為1,則所求圓的方程為:(x2)2(y2)21.【答案】(x2)2(y2)216已

13、知點(diǎn)P(x,y)為圓x2y24上的動點(diǎn),則xy的最大值為_【解析】令x2cos,y2sin(R),則xy2cos2sin2sin2,2【答案】27已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x5)2(y6)2a2(a0)(1)若點(diǎn)M(6,9)在圓上,求a的值;(2)已知點(diǎn)P(3,3)和點(diǎn)Q(5,3),線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個公共點(diǎn),求a的取值范圍【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上,所以(65)2(96)2a2,又由a0,可得a.(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得|PN|,|QN|3,因?yàn)榫€段PQ(不含端點(diǎn))與圓有且只有一個公共點(diǎn),即P、Q兩點(diǎn)一個在圓內(nèi)、另一個在圓外,由于3,所以3a0)上一動點(diǎn),PA,PB是圓C:

14、x2y22y0的兩條切線,A,B是切點(diǎn),若四邊形PACB的最小面積是2,則k的值為_【解析】因?yàn)閳AC:x2(y1)21的圓心為C(0,1),半徑是r1,所以四邊形PACB的面積為S2SPAC|PA|1,當(dāng)|PC|最小,即圓心C(0,1)到直線kxy40的距離d最小時,四邊形PACB的面積最小,由題設(shè)可得14,由k0,解之得k2.【答案】23已知定點(diǎn)A(0,1),B(0,1),C(1,0),動點(diǎn)P滿足:k|2.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明方程表示的曲線類型;(2)當(dāng)k2時,求|2|的最大值、最小值【解析】(1)設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則(x,y1),(x,y1),(1x,y)因?yàn)閗|2,所

15、以x2y21k(x1)2y2,整理得(1k)x2(1k)y22kxk10.若k1,則方程為x1,表示過點(diǎn)(1,0)且平行于y軸的直線若k1,則方程為y2,表示以為圓心,以為半徑的圓(2)最大值為3,最小值為3.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中,記二次函數(shù)f(x)x22xb(xR)與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn),經(jīng)過三個交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)求圓C的方程;(3)問圓C是否經(jīng)過定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b的值無關(guān))?請證明你的結(jié)論【解析】(1)令x0,得拋物線與y軸的交點(diǎn)是(0,b)令f(x)x22xb0,由題意b0且0,解得b1且b0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2y2DxEyF0.令y0,得x2DxF0,這與x22xb0是同一個方程,故D2,F(xiàn)b.令x0,得y2EyF0,此方程有一個根為b,代入得出Eb1.所以圓C的方程為x2y22x(b1)yb0.(3)圓C必過定點(diǎn),證明如下:假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0不依賴于b),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程,并變形為xy2x0y0b(1y0)0,(*)為使(*)式對所有滿足b1(b0)的b都成立,必須有1y00,結(jié)合(*)式得xy2x0y00,解得或經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)(0,1),(2,1)均在圓C上,因此圓C過這兩定點(diǎn).備課札記15

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