（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 第7講 n次獨立重復試驗與二項分布練習（含解析）

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1、第7講 n次獨立重復試驗與二項分布 [基礎達標] 1．(2019·東北四市高考模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：選A.由題意得P＝1－≥，則≤，所以n≥4，故n的最小值為4. 2．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選C.依題意，得P(A)＝，P(B)＝，且事件A，B相互獨立，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1－P(·)＝1－P

2、()·P()＝1－×＝，故選C. 3．(2019·紹興調(diào)研)設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥2)的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝. 4．(2019·杭州七校聯(lián)考)如果X～B，則使P(X＝k)取最大值的k值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．3或4 解析：選D.觀察選項，采用特殊值法． 因為P(X＝3)＝C， P(X＝4)＝C， P(X＝5

3、)＝C， 經(jīng)比較，P(X＝3)＝P(X＝4)＞P(X＝5)， 故使P(X＝k)取最大值時k＝3或4. 5．某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵．設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且每棵大樹是否成活互不影響，則移栽的4棵大樹中至少有1棵成活的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：選D.設Ak表示第k棵甲種大樹成活，k＝1，2；Bl表示第l棵乙種大樹成活，l＝1，2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝，則至少有1棵大樹成活的概率為1－P(A1·A2·B1·B2)＝1－P(A1)·P(A2)·P(B1)·P(B2)＝

4、1－×＝. 6．如圖所示的電路有a，b，c三個開關，每個開關開和關的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________． 解析：設“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應為事件AC，且A，，C之間彼此獨立，P(A)＝P()＝P(C)＝. 所以P(AC)＝P(A)P()P(C)＝. 答案： 7．某機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調(diào)查，隨機抽查的200個機械元件情況如下： 使用時間/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 個數(shù) 10 40 80 50 20 若以頻率為概率，現(xiàn)從該批

5、次機械元件中隨機抽取3個，則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為____________． 解析：由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為＝，則所求概率為C×＋＝. 答案： 8．某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？?，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率都為，用X表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X＝4)＝________． 解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復試驗，故X～B，即有P(X＝k)＝C×，k＝0，1，2，3，4，5. 故P(X＝4)＝C×＝. 答案： 9．小王在某社交網(wǎng)絡的朋

6、友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個． (1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率； (2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個．記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列． 解：(1)設“甲恰得1個紅包”為事件A， 則P(A)＝C××＝. (2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20. P(X＝0)＝＝， P(X＝5)＝C××＝， P(X＝10)＝×＋×＝， P(X＝15)＝C××＝， P(X＝20)＝＝. X的分布列為 X 0 5 10 15 20 P 10.已知某種動物服用某種藥物一次后當天

7、出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進行了藥物試驗．試驗設計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期．假設每次用藥后當天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關． (1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率； (2)若在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結(jié)束后終止試驗．若試驗至多持續(xù)兩個周期，設藥物試驗持續(xù)的用藥周期為η，求η的分布列． 解：(1)法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i＝1，2，3，4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B， 易知P(A1)＝，P(A2)＝×，P(A3)＝×，P(A4)＝×， 則P(B)＝P(A1)

8、＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝. 法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期， 易知P()＝＝， 所以P(B)＝1－＝. (2)隨機變量η的所有可能取值為1，2， P(η＝1)＝C·＋＝， P(η＝2)＝1－＝， 所以η的分布列為 η 1 2 P [能力提升] 1．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎． (1)求顧客抽獎1次

9、能獲獎的概率； (2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列． 解：(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}， B1＝{顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}． 由題意知A1與A2相互獨立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A2＋A1A2，C＝B1＋B2. 因為P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝， P(B2)＝P(A1A2＋A1A2)＝P(A1A2)＋P(A1

10、A2) ＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2) ＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2) ＝×＋×＝. 故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以X～B. 于是P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝C＝， P(X＝3)＝C＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P 2.(2019·杭州學軍中學高三月考)某校課改實行選修走班制，現(xiàn)有甲，乙，丙，丁四位學生準備選修物理，化學，生物三

11、個科目．每位學生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的． (1)求恰有2人選修物理的概率； (2)求學生選修科目個數(shù)ξ的分布列． 解：(1)這是等可能性事件的概率計算問題． 法一：所有可能的選修方式有34種， 恰有2人選修物理的方式C·22種， 從而恰有2人選修物理的概率為＝. 法二：設每位學生選修為一次試驗，這是4次獨立重復試驗． 記“選修物理”為事件A，則P(A)＝，從而， 由獨立重復試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人選修物理的概率為P＝C＝. (2)ξ的所有可能值為1，2，3， P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝； P(ξ＝3)＝＝； 綜

12、上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 3.現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡． (1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率； (2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯(lián)歡的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機變量ξ的分布列． 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項

13、目聯(lián)歡的概率為. 設“這4個人中恰有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)， 則P(Ai)＝C·. (1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)＝C＝. (2)設“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4. 故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C＋C＝. 所以，這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0，2，4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列為

14、 ξ 0 2 4 P 4.某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求隨機變量X的分布列； (2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大?。? 解：(1)設該選手在

15、M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據(jù)分布列知：當X＝0時， P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8. 當X＝2時，P1＝P( B＋ B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24， 當X＝3時，P2＝P(A)＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01，當X＝4時， P3＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當X＝5時，P4＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24. 所以隨機變量X的分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB) ＝2(1－q2)q＋q＝0.896. 所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大． 8