(名師導(dǎo)學(xué))2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第70講 直線與圓錐曲線練習(xí) 理(含解析)新人教A版
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1、第70講 直線與圓錐曲線
夯實基礎(chǔ) 【p159】
【學(xué)習(xí)目標】
1.掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.
2.掌握直線被圓錐曲線所截弦長及中點弦問題的求解方法.
3.能夠綜合應(yīng)用方程思想及圓錐曲線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)直線與圓錐曲線的綜合問題.
4.理解數(shù)形結(jié)合的思想.
【基礎(chǔ)檢測】
1.過原點的直線l與雙曲線-=1有兩個交點,則直線l的斜率的取值范圍是( )
A.B.∪
C.D.∪
【解析】雙曲線的漸近線為y=x和y=-x.由幾何性質(zhì)可得- 2、
A.B.16C.32D.4
【解析】由題意知F(2,0),AB所在直線方程為y=tan30°(x-2)=(x-2),聯(lián)立y2=8x消元得y2-8y-16=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=8,y1·y2=-16,
所以|AB|==32.
【答案】C
3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線l與橢圓C交于A,B兩點,且線段AB的中點為M(-2,1),則直線l的斜率為( )
A.B.C.D.1
【解析】由e==得==,∴a2=4b2,
則橢圓方程為x2+4y2=4b2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-4,y1+y2= 3、2,
把A,B的坐標代入橢圓方程得
兩式相減得:(x1-x2)(x1+x2)=-4(y1-y2)(y1+y2),
則=-=,
∴直線l的斜率為.
【答案】C
4.直線l與橢圓C:+y2=1相交于A,B兩點,l與x軸,y軸分別相交于C,D兩點.如果C,D是線段AB的兩個三等分點,則直線l的斜率為________.
【解析】由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(km≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則C,D(0,m),
聯(lián)立可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
Δ=16k2-8m2+8>0,
由韋達定理可得x1+x2=,x1x2=,
∵C,D是線段AB 4、的兩個三等分點,
∴線段AB的中點與線段CD的中點重合.
∴x1+x2==0-,解得k=±.
【答案】±
【知識要點】
1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的一元方程.
即,消去y后得ax2+bx+c=0.
(1)當a≠0時,設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為Δ,則Δ>0?直線和圓錐曲線C相交于不同的兩點;Δ=0?直線和圓錐曲線C相切于一點;Δ<0?直線和圓錐曲線C沒有公共點.
(2)當a=0時,若圓錐曲 5、線是雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線平行或重合;若圓錐曲線是拋物線,則直線l與拋物線的__對稱軸__平行(或重合).
2.圓錐曲線的弦長
(1)圓錐曲線的弦長:直線與圓錐曲線相交有兩個交點時,這條直線上以這兩個交點為端點的線段叫做圓錐曲線的弦.
(2)圓錐曲線弦長的計算
設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2|==|y1-y2|(拋物線的焦點弦長|AB|=x1+x2+p=,θ為弦AB所在直線的傾斜角).
典例剖析 【p159】
考點1 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用
(1)過拋物線y2=2x的焦點 6、作一條直線與拋物線交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于2,則這樣的直線( )
A.有且只有一條B.有且只有兩條
C.有且只有三條D.有且只有四條
【解析】設(shè)拋物線的焦點為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|BF|=xA++xB+=xA+xB+1=2+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有兩條.
【答案】B
(2)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點的直線與雙曲線-=1的公共點的個數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實根為0 7、,-tanθ(tanθ≠0),則過A,B兩點的直線方程為y=-xtanθ,雙曲線-=1的漸近線方程為y=±xtanθ,所以直線y=-xtanθ與雙曲線沒有公共點.故選A.
【答案】A
在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.
【解析】(1)根據(jù)橢圓的左焦點為F1(-1,0),知a2-b2=1,又根據(jù)點P(0,1)在橢圓上,知b=1,所以a=,所以橢圓C1的方程為+y2=1.
(2)因為直線l與橢圓C1和拋物線 8、C2都相切,
所以其斜率存在且不為0,
設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0),
代入橢圓方程得+(kx+m)2=1,
即x2+2kmx+m2-1=0,
由題意可知此方程有唯一解,
此時Δ=4k2m2-4(m2-1)=0,
即m2=2k2+1.①
把y=kx+m(k≠0)代入拋物線方程得y2-y+m=0,由題意可知此方程有唯一解,此時Δ=1-mk=0,
即mk=1.②
聯(lián)立①②得解得k2=,
所以或
所以直線l的方程為y=x+或y=-x-.
【點評】研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法
研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的 9、個數(shù).對于選擇題、填空題,常充分利用幾何條件,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
考點2 弦長問題
已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,直線l1:y=x與橢圓相交于A、B兩點,橢圓的上頂點E與焦點F2關(guān)于直線l1對稱,且|EF2|=2.斜率為-1的直線l2與線段AB相交于點P,與橢圓相交于C,D兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求四邊形ACBD面積的取值范圍.
【解析】(1)由頂點E與焦點F2關(guān)于直線l1:y=x對稱,知=1,即b=c,
又|EF2|=2,得b2+c2=8,a2=8,
所以橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)直線l2的方程為y=-x+m,C(x1, 10、y1),D(x2,y2),
由得3x2-4mx+2m2-8=0,
所以
由(1)知直線l1:y=x,代入橢圓得A,B,得|AB|=.
由直線l2與線段AB相交于點P,得m∈,
|CD|=|x1-x2|=
==,
而kl2=-1與kl1=1,知l2⊥l1,
∴SACBD=|AB|×|CD|=,
由m∈,得-m2∈,
所以∈,
∴四邊形ACBD面積的取值范圍是.
考點3 中點弦問題
如圖,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點M(-2,1)是橢圓內(nèi)一點,過點M作兩條斜率存在且互相垂直的動直線l1,l2,設(shè)l1與橢圓C相交于點A,B,l2與橢圓C相交于點D,E.當點M恰 11、好為線段AB的中點時,|AB|=.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的最小值.
【解析】(1)由題意設(shè)a2=4b2,即橢圓C:+=1,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).
由作差得
(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,
又∵M(-2,1),即x1+x2=-4,y1+y2=2,
∴AB斜率k==.
由
消y得,x2+4x+8-2b2=0.
則|AB|=|x1-x2|==.
解得b2=3,于是橢圓C的方程為:+=1.
(2)設(shè)直線AB:y=k(x+2)+1,由消y得,
(1+4k2)x2+8k( 12、2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.
于是x1+x2=,x1·x2=.
·=(+)·(+)=·+·
=(-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)·(2+x3,y3-1),
∵(-2-x1,1-y1)·(2+x2,y2-1)
=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)
=-(1+k2)[4+2(x1+x2)+x1x2]=.
同理可得(-2-x4,1-y4)·(2+x3,y3-1)=.
∴·=4(1+k2)=,
≥=,當k=±1時取等號.
綜上,·的最小值為.
【點評】處理中點弦問題常用的求解方法
(1)點差法:即設(shè)出弦的兩端點坐標后,代 13、入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.
(2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解.
方法總結(jié) 【p160】
1.本講研究的問題集中體現(xiàn)了解析幾何的基本思想和方法,要求有較強的分析問題和解決問題的能力,有些問題涉及到代數(shù)、三角、幾何等多方面的知識,因此在復(fù)習(xí)中要注意各學(xué)科之間的聯(lián)系,提高綜合利用知識解決問題的能力.
2.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題,實際上是研究它們的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題,通過消元最終 14、歸結(jié)為討論方程Ax2+Bx+C=0的實數(shù)解的個數(shù)問題.應(yīng)特別注意要分A=0和A≠0的兩種情況討論,只有A≠0時,才可用判別式來確定解的個數(shù).當直線平行于拋物線的對稱軸時,直線與拋物線只有一個公共點.這些情況在解題中往往容易疏忽,要特別注意.對于選擇、填空題,用數(shù)形結(jié)合方法求解,往往快速簡捷.
3.斜率為k的直線被圓錐曲線截得弦AB的長|AB|=|x1-x2|·=|y1-y2|·(k≠0),利用這個公式求弦長時,應(yīng)注意應(yīng)用韋達定理與判別式.與焦點弦長有關(guān)的問題,要注意應(yīng)用圓錐曲線的定義.與弦長中點有關(guān)問題,注意利用點差法簡化運算.
走進高考 【p160】
1.(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)橢圓 15、C:+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).
(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.
【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1.
由已知可得,點A的坐標為或.
所以AM的方程為y=-x+或y=x-.
(2)當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°.
當l與x軸垂直時,OM為AB的垂線平分線,所以∠OMA=∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1<,x2<,直線MA,MB的斜率之和為kMA 16、+kMB=+.
由y1=kx1-k,y2=kx2-k得
kMA+kMB=.
將y=k(x-1)代入+y2=1得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.
所以,x1+x2=,x1x2=.
則2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.
從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補.
所以∠OMA=∠OMB.
綜上,∠OMA=∠OMB.
考點集訓(xùn) 【p270】
A組題
1.若直線mx+ny=4與⊙O:x2+y2=4相切,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數(shù)是( )
A.至多為1B.2C.1D.0
【解析】由題意知:=2,即=2,
∴點P(m 17、,n)在橢圓+=1的內(nèi)部,故所求交點個數(shù)是2.
【答案】B
2.已知拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為( )
A.y2=4xB.y2=-4x
C.x2=4yD.y2=8x
【解析】設(shè)拋物線方程為y2=2px,
直線與拋物線方程聯(lián)立求得x2-2px=0,
∴xA+xB=2p,
∵xA+xB=2×2=4,
∴p=2,
∴拋物線C的方程為y2=4x.
【答案】A
3.已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為( )
18、A.2B.2C.8D.2
【解析】根據(jù)已知條件得c=,則點(,)在橢圓+=1(m>0)上,
∴+=1,可得m=2.
【答案】B
4.已知雙曲線x2-=1,過點P(1,1)作直線l與雙曲線交于A,B兩點,使點P是線段AB的中點,那么直線l的方程為( )
A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0
C.x-2y+1=0D.不存在
【解析】根據(jù)題意,設(shè)過點P(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1或x=1,當k存在時,有得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0(*),當直線與雙曲線有兩個不同交點時,必有Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0, 19、解得k<,
又方程(*)的兩個不同的根是兩交點A,B的橫坐標,所以x1+x2=-,又P(1,1)為線段AB的中點,所以=1,即-=1,解得k=2,不滿足k<,當直線為x=1時不滿足條件,所以符合條件的直線l不存在,故選D.
【答案】D
5.過雙曲線x2-=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點,若使得|AB|=λ的直線l恰有3條,則λ=________.
【解析】∵使得|AB|=λ的直線l恰有3條.
∴根據(jù)對稱性,其中有一條直線與實軸垂直.
此時A,B的橫坐標為,代入雙曲線方程,可得y=±2,故|AB|=4.
∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2,小于4,
∴過雙曲線的焦點一定有兩 20、條直線,使得交點之間的距離等于4,
綜上可知,|AB|=4時,有三條直線滿足題意.
∴λ=4.
【答案】4
6.過橢圓+=1內(nèi)一點P(3,1),且被這點平分的弦所在直線的方程是__________________.
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,
由于A、B兩點均在橢圓上,
故+=1,+=1,
兩式相減得
+=0.
又∵P是A、B的中點,∴x1+x2=6,y1+y2=2,
∴kAB==-.
∴直線AB的方程為y-1=-(x-3).
即3x+4y-13=0.
【答案】3x+4y-13=0
7.直角坐標系xOy中,橢圓C:+=1(a> 21、b>0)的焦距為2,過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P(2,1),不經(jīng)過原點的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,線段AB被直線OP平分,且·=0.求直線l的方程.
【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+=1,代入點,得b=1,
故橢圓方程為+y2=1.
(2)由條件知OP:y=x,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+m(m≠0),
代入+y2=1得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,Δ>0,
x1+x2=-,x1x2=.
由AB中點在直線OP上,
∴=-,k=-,
此時x1+x2=2m,x1x2=2m2-2,
·=0,
(x1-2)(x 22、2-2)+=0,
x1x2-(x1+x2)+4+(m-1)2=0,
解得m=1,滿足Δ>0,
故所求直線方程為y=-x+1.
8.已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的離心率為,且過右焦點垂直于長軸的弦長為3,求橢圓C的標準方程;
(2)點P(m,0)為橢圓長軸上的一個動點,過點P作斜率為的直線l交橢圓C于A,B兩點,試判斷|PA|2+|PB|2是否為定值,若為定值,則求出該定值;若不為定值,說明原因.
【解析】(1)e=,即=,a=2c,
不妨令橢圓方程為+=1,
當x=c時,=,得出c=1,
所以橢圓的方程為+=1.
(2)令直線方程為y=與橢圓交于A,B 23、兩點,
聯(lián)立方程得2b2x2-2b2mx+b2m2=a2b2,
即2x2-2mx+m2-a2=0,
∴x1+x2=m,x1x2=,
∴+=+y++y
=+
==
==a2+b2為定值.
B組題
1.過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的直線l與拋物線交于B,C兩點,l與拋物線的準線交于點A,且|AF|=6,=2,則|BC|等于( )
A.B.6C.D.8
【解析】不妨設(shè)直線l的傾斜角為θ,其中0<θ<,點B(x1,y1),C(x2,y2),則點B在x軸的上方,過點B作該拋物線的準線的垂線,垂足為B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,拋物線方程是y2=4 24、x,焦點F(1,0),cosθ====,sinθ==,tanθ==2,直線l:y=2(x-1).由消去y,得2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=.
【答案】A
2.如圖,已知F為拋物線y2=2x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),·=3(其中O為坐標原點),則△ABO與△BFO面積之差的最小值是( )
A.2
B.3
C.3
D.
【解析】由題意可知,F(xiàn).設(shè)A,B,∴·=y(tǒng)1y2+=3,
解得y1y2=2或y1y2=-6.又因為A,B兩點位于x軸兩側(cè),所以y1y2<0,即y1y2=-6.
設(shè)AB所在直線方程為ty=x+b,聯(lián)立方 25、程得y2-2ty+2b=0,所以y1y2=2b=-6.
所以b=-3,所以直線過定點C
于是S△ABO-S△BFO=S△ACO+S△BCO-S△BFO=|y1|+|y2|≥3,
當且僅當6|y1|=5|y2|且y1y2=-6時,等號成立.
【答案】C
3.拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是拋物線上兩個動點,F(xiàn)為拋物線的焦點,且|AF|+|BF|=8.
(1)求p的值.
(2)線段AB的垂直平分線l與x軸的交點是否為定點?若是,求出交點坐標;若不是,說明理由.
(3)求直線l的斜率的取值范圍.
【解析】(1)因為 26、拋物線y2=2px(p>0)與直線y=x+1相切,所以由得y2-2py+2p=0(p>0)有兩個相等實根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.
(2)拋物線y2=4x的準線x=-1.且|AF|+|BF|=8,
所以由定義得x1+x2+2=8,則x1+x2=6.
設(shè)直線AB的垂直平分線l與x軸的交點C(m,0).
由C在AB的垂直平分線上,從而|AC|=|BC|,
即(x1-m)2+y=(x2-m)2+y,
所以(x1-m)2-(x2-m)2=y(tǒng)-y,
即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).
因為x1≠x2,所以x1+x2-2 27、m=-4.
又因為x1+x2=6,所以m=5.
所以點C的坐標為(5,0).
即直線AB的垂直平分線l與x軸的交點為定點(5,0).
(3)設(shè)直線l的斜率為k1,由(2)設(shè)直線l方程為y=k1(x-5).
設(shè)AB的中點M(x0,y0),由x0==3,可得M(3,y0).
因為直線l過點M(3,y0),所以y0=-2k1.
又因為點M(3,y0)在拋物線y2=4x的內(nèi)部,
所以y<12.即4k<12,則k<3.
因為x1≠x2,則k1≠0.
所以k1的取值范圍是∪(0,).
4.已知橢圓T的焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且經(jīng)過點P.
(1)求橢圓T的標準方程 28、;
(2)設(shè)橢圓T的左右頂點分別為A,B,過左焦點的直線與橢圓交于點C,D,△ABD和△ABC的面積分別為S1,S2,求|S1-S2|的最大值;
(3)設(shè)點M在橢圓T外,直線ME,MF與橢圓T分別相切于點E,F(xiàn),若ME⊥MF,求證:點M在定圓上.
【解析】(1)設(shè)所求的方程為+=1(a>b>0),
其中a2-b2=c2=1,且+=1,解得a2=3,b2=2,
所以橢圓T的標準方程為+=1.
(2)點A,B的坐標分別為(-,0),(,0),設(shè)點C,D的坐標為(x1,y1)、(x2,y2),
因為要構(gòu)成三角形,又直線CD過左焦點,則C,D分別在x軸兩側(cè),
所以y1y2<0,不妨設(shè)y 29、1>0,y2<0,則S1=-y2,S2=y(tǒng)1,
直線CD過焦點(-1,0),且斜率不為0,設(shè)直線CD方程為x=my-1,
與橢圓方程聯(lián)立消元得(2m2+3)y2-4my-4=0,y1、y2是該方程的兩個異號實根,
|S1-S2|=|-y2-y1|=|y1+y2|=,
當m=0時,|S1-S2|=0,
當m≠0時,|S1-S2|=≤=,
當且僅當|2m|=,即m2=時取等號,
綜上,|S1-S2|的最大值為.
(3)當直線ME,MF斜率分別不存在和為0時,ME,MF分別垂直于坐標軸,點M坐標為(,)或(-,)或(-,-)或(,-),則MO=(定值),其中O是坐標原點,點M在定圓x 30、2+y2=5上.
當直線ME,MF斜率存在且不為0時,設(shè)點M坐標為(x0,y0),
設(shè)直線ME,MF的方程分別為y=k1(x-x0)+y0,y=k2(x-x0)+y0,
可以統(tǒng)一為y=k(x-x0)+y0的形式,并與橢圓方程聯(lián)立消元得:
(2+3k2)x2-(6k2x0-6ky0)x+(3k2x-6kx0y0+3y-6)=0,
由直線ME,MF與橢圓相切,則
Δ=(6k2x0-6ky0)2-4(2+3k2)(3k2x-6kx0y0+3y-6)=0,
展開化簡得:(3-x)k2+(2x0y0)k+=0(3-x≠0且2-y≠0),
k1,k2可以看作是這個方程的兩根,
由ME⊥MF得k1k2=-1=,即x+y=5,
并且此時方程中的判別式Δ=4[xy-(x-3)(y-2)]=4y+16>0恒成立,
點M也在定圓x2+y2=5上,
綜上,點M在定圓x2+y2=5上.
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