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1、考點規(guī)范練29 等差數(shù)列及其前n項和
一、基礎(chǔ)鞏固
1.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,a2+a8=6,則S9等于( )
A.272 B.27 C.54 D.108
答案B
解析S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.
2.已知{an}是公差為1的等差數(shù)列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10=( )
A.172 B.192 C.10 D.12
答案B
解析∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,
即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.
∴a10=a1+
2、9d=12+9=192.
3.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
答案B
解析因為3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.設(shè)公差為d,則3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.
4.已知等差數(shù)列{an}的前4項和為30,前8項和為100,則它的前12項和為( )
A.110 B.200 C.210 D.260
答案C
解析設(shè){an}的前n項和為Sn.
∵在等差數(shù)列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8
3、成等差數(shù)列,
又S4=30,S8=100,
∴30,70,S12-100成等差數(shù)列,
∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.
5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n項和為Sn,則使得Sn達到最大的n是( )
A.18 B.19 C.20 D.21
答案C
解析a1+a3+a5=105?a3=35,a2+a4+a6=99?a4=33,
則{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此當(dāng)Sn取得最大值時,n=20.
6.在等差數(shù)列{an}中,若ana2n是一個與n無
4、關(guān)的常數(shù),則該常數(shù)的可能值的集合為( )
A.{1} B.1,12 C.12 D.0,1,12
答案B
解析特殊值驗證法.
若ana2n=1,則數(shù)列{an}是一個常數(shù)列,滿足題意;
若ana2n=12,
設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則an=12a2n=12(an+nd),
化簡,得an=nd,即a1+(n-1)d=nd,
化簡,得a1=d,也滿足題意;
若ana2n=0,則an=0,不符合題意.故選B.
7.中國古代詞中,有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)名題:“九百九十六斤綿,贈分八子作盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言”.題意是:把996斤綿分給8個兒子作盤纏,按照年齡從大到小的順
5、序依次分綿,年齡小的比年齡大的多17斤綿,那么第8個兒子分到的綿是 斤.?
答案184
解析用a1,a2,…,a8表示8個兒子按照年齡從大到小得到的綿斤數(shù),
由題意,得數(shù)列a1,a2,…,a8是公差為17的等差數(shù)列,且這8項的和為996,
即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.
所以a8=65+7×17=184.
8.在數(shù)列{an}中,其前n項和為Sn,a1=1,a2=2,當(dāng)整數(shù)n≥2時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,則S15= .?
答案211
解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S
6、1=2,即an+1-an=2(n≥2),
則數(shù)列{an}從第二項起構(gòu)成以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以S15=1+2×14+14×132×2=211.
9.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求證:1Sn成等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
(1)證明當(dāng)n≥2時,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.
又1S1=1a1=2,故1Sn是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.
(2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n.
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=1
7、2n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).
當(dāng)n=1時,a1=12不適合上式.
故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.
10.在等差數(shù)列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列{bn}的前10項和,其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[2.6]=2.
解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由題意有2a1+5d=4,a1+5d=3,
解得a1=1,d=25.
所以{an}的通項公式為an=2n+35.
(2)由(1)知,bn=2n+35.
當(dāng)n=1,2,3時
8、,1≤2n+35<2,bn=1;
當(dāng)n=4,5時,2≤2n+35<3,bn=2;
當(dāng)n=6,7,8時,3≤2n+35<4,bn=3;
當(dāng)n=9,10時,4≤2n+35<5,bn=4.
所以數(shù)列{bn}的前10項和為
1×3+2×2+3×3+4×2=24.
二、能力提升
11.若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則當(dāng)數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時,n的值為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案B
解析∵a1=19,an+1=an-3,
∴數(shù)列{an}是以19為首項,-3為公差的等差數(shù)列.
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n
9、.
設(shè){an}的前k項和數(shù)值最大,則有ak≥0,ak+1≤0,k∈N*.
∴22-3k≥0,22-3(k+1)≤0.∴193≤k≤223.
∵k∈N*,∴k=7.
∴滿足條件的n的值為7.
12.(2018安徽皖中名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項和為Sn,且2a1+3a3=S6,給出以下結(jié)論:
①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.
其中一定正確的結(jié)論是( )
A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
答案B
解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則2a1+3a1+6d=6a1+15d,
即a1+9d=0,a10=0,故①正確;
10、
若a1>0,d<0,則S9=S10,
且它們?yōu)镾n的最大值,故②錯誤;
S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,
即S7=S12,故③正確;
S19=19(a1+a19)2=19a10=0,故④正確.
13.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=anan+1an+2(n∈N*),設(shè)Sn為{bn}的前n項和.若a12=38a5>0,則當(dāng)Sn取得最大值時,n的值等于 .?
答案16
解析設(shè){an}的公差為d,由a12=38a5>0,得a1=-765d,a120;
11、
當(dāng)n≥17時,an<0.從而b1>b2>…>b14>0>b17>b18>…,b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,
故S14>S13>…>S1,S14>S15,S15S17>S18>….
因為a15=-65d>0,a18=95d<0,所以a15+a18=-65d+95d=35d<0,所以b15+b16=a16a17(a15+a18)>0,所以S16>S14,所以Sn中S16最大.故答案為16.
14.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a2<0,且1,a2,81成等比數(shù)列,a3+a7=-6.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn
12、n的前n項和Tn取得最小值時n的值.
解(1)∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.
∵1,a2,81成等比數(shù)列,∴a22=1×81.
又a2<0,∴a2=-9.
∴等差數(shù)列{an}的公差d=a5-a25-2=-3-(-9)5-2=2.
∴an=a2+(n-2)×2=2n-13.
(2)∵Sn=n(-11+2n-13)2=n2-12n.
∴Snn=n-12.由n-12≤0,解得n≤12.
因此,當(dāng)n=11或n=12時,Snn的前n項和Tn取得最小值.
15.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求通項公式a
13、n;
(2)求Sn的最小值;
(3)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,且bn=Snn+c,求非零常數(shù)c.
解(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的兩實根.
又公差d>0,∴a3
14、n=Snn+c=2n2-nn+c,
∴b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.
∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,
∴2b2=b1+b3,即62+c×2=11+c+153+c,
∴2c2+c=0,
∴c=-12(c=0舍去),故c=-12.
三、高考預(yù)測
16.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}滿足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求同時滿足下列條件的所有an的和:①20≤n≤116;②n能夠被5整除.
解(1)∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比數(shù)列,
∴a1+3d=2(a1+d),a1·(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.
(2)∵n同時滿足:①20≤n≤116;②n能夠被5整除,
∴滿足條件的n組成等差數(shù)列{bn},且b1=20,d=5,bn=115,∴項數(shù)為115-205+1=20.
∴{bn}的所有項的和為
S20=20×20+12×20×19×5=1350.
又an=2n,即an=2bn,
∴滿足條件的所有an的和為2S20=2×1350=2700.
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