（浙江專用）2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 第6講 離散型隨機變量及其分布列練習（含解析）

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1、第6講 離散型隨機變量及其分布列 [基礎達標] 1．設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0 B． C． D． 解析：選C.設X的分布列為 X 0 1 P p 2p 即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗成功．由p＋2p＝1，得p＝，故應選C. 2．(2019·紹興調(diào)研)在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：選C.X

2、服從超幾何分布，P(X＝k)＝， 故k＝4，故選C. 3．設隨機變量Y的分布列為 Y －1 2 3 P m 則“≤Y≤”的概率為(　　) A． B． C． D． 解析：選C.依題意知，＋m＋＝1，則m＝. 故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 4．設隨機變量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 若F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1，2)時，F(xiàn)(x)等于(　　) A． B． C． D． 解析：選D.由分布列的性質，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝. 5．已知離

3、散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 P 0.5 1－2q q 則P(∈Z)＝(　　) A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6 解析：選A.由分布列性質得0.5＋1－2q＋q＝1，解得 q＝0.3，所以P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故選A. 6．拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)＝________． 解析：拋擲2顆骰子有36個基本事件， 其中X＝2對應(1，1)；X＝3對應(1，2)，(2，1)；X＝4對應(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)

4、＋P(X＝4)＝＋＋＝. 答案： 7．已知隨機變量ξ只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________． 解析：設ξ取x1，x2，x3時的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝， 由得－≤d≤. 答案： 8．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________． 解析：依分布列的性質知， 解得c＝，故P(X＝1)＝3－8×＝. 答案：　 9．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，

5、再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________． 解析：X的所有可能值為0，1，2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P 答案： X 0 1 2 P 10.(2019·溫州市高考模擬)袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是________，設摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則P(X＝k)取最大值時，k的值為________． 解析：

6、袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是： n＝CC＝45. 設摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以P(X＝k)取最大值時，k的值為2. 答案：45　2 11．拋擲一枚質地均勻的硬幣3次． (1)寫出正面向上次數(shù)X的分布列； (2)求至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率． 解：(1)X的可能取值為0，1，2，3. P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝； P(X

7、＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)至少出現(xiàn)兩次正面向上的概率為 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＝. 12．(2019·臺州高三質檢)在一次購物活動中，假設每10張券中有一等獎券1張，可獲得價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲得價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從這10張券中任取2張． (1)求該顧客中獎的概率； (2)求該顧客獲得的獎品總價值X(元)的分布列． 解：(1)該顧客中獎的概率P＝1－＝1－＝. (2)X的所有可能取值為0，10，20，50，60，且 P(X＝

8、0)＝＝，P(X＝10)＝＝， P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝， P(X＝60)＝＝. 故X的分布列為 X 0 10 20 50 60 P [能力提升] 1．(2019·浙江高中學科基礎測試)一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1，2，3，4，5；4個白球編號分別為1，2，3，4，從袋中任意取出3個球． (1)求取出的3個球編號都不相同的概率； (2)記X為取出的3個球中編號的最小值，求X的分布列． 解：(1)設“取出的3個球編號都不相同”為事件A，“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B，則P(B)＝＝

9、＝，所以P(A)＝1－P(B)＝. (2)X的取值為1，2，3，4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列為 X 1 2 3 4 P 2.(2019·惠州市第三次調(diào)研考試)某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率； (2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量

10、X的分布列． 解：(1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)＝＝. 所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為. (2)隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3. P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 3.小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊．游戲規(guī)則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學校合唱團，否則就參加學校排球隊． (1)求小波

11、參加學校合唱團的概率； (2)求X的分布列． 解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有C＝28(種)，當X＝0時，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參加學校合唱團的概率為P(X＝0)＝＝. (2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為－2，－1，0，1，X＝－2時，有2種情形；X＝1時，有8種情形；X＝－1時，有10種情形．所以X的分布列為 X －2 －1 0 1 P 4.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每

12、一次被取出的機會是相等的，用X表示終止時所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中原有白球的個數(shù)； (2)求隨機變量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)設袋中原有n個白球， 由題意知＝＝＝， 所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)． 即袋中原有3個白球． (2)由題意知X的可能取值為1，2，3，4，5. P(X＝1)＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以取球次數(shù)X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P (3)因為甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 設“甲取到白球”的事件為A， 則P(A)＝P(X＝1或X＝3或X＝5)． 因為事件“X＝1”“X＝3”“X＝5”兩兩互斥， 所以P(A)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 8