《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 第9講 離散型隨機變量的均值與方差練習(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其分布 第9講 離散型隨機變量的均值與方差練習(含解析)(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第9講 離散型隨機變量的均值與方差
一、選擇題
1.已知離散型隨機變量X的概率分布列為
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
則其方差D(X)=( )
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
解析 由0.5+m+0.2=1得m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
答案 C
2.(2017·西安調研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X
2、的數(shù)學期望為( )
A.100 B.200 C.300 D.400
解析 設沒有發(fā)芽的種子有ξ粒,則ξ~B(1 000,0.1),且X=2ξ,∴E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=2×1 000×0.1=200.
答案 B
3.已知隨機變量X服從二項分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,則二項分布的參數(shù)n,p的值為( )
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
解析 由二項分布X~B(n,p)及E(X)=np,D(X)=np·(1-p)得2.4=np,且1.44=np(1-p),解得n=6,
3、p=0.4.故選B.
答案 B
4.已知隨機變量X+η=8,若X~B(10,0.6),則E(η),D(η)分別是( )
A.6,2.4 B.2,2.4
C.2,5.6 D.6,5.6
解析 由已知隨機變量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.
答案 B
5.口袋中有5只球,編號分別為1,2,3,4,5,從中任取3只球,以X表示取出的球的最大號碼,則X的數(shù)學期望E(X)的值是( )
A.4 B.4.5 C.4.75 D.5
解析 由題意知,X可
4、以取3,4,5,P(X=3)==,
P(X=4)==,P(X=5)===,
所以E(X)=3×+4×+5×=4.5.
答案 B
二、填空題
6.設X為隨機變量,X~B,若隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=2,則P(X=2)等于________.
解析 由X~B,E(X)=2,得
np=n=2,∴n=6,
則P(X=2)=C=.
答案
7.隨機變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,則D(ξ)=________.
解析 設P(ξ=1)=a,P(ξ=2)=b,
則解得
所以D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
答案
8.(20
5、17·合肥模擬)某科技創(chuàng)新大賽設有一、二、三等獎(參與活動的都有獎)且相應獎項獲獎的概率是以a為首項,2為公比的等比數(shù)列,相應的獎金分別是7 000元、5 600元、4 200元,則參加此次大賽獲得獎金的期望是________元.
解析 由題意知a+2a+4a=1,∴a=,∴獲得一、二、三等獎的概率分別為,,,∴所獲獎金的期望是E(X)=×7 000+×5 600+×4 200=5 000元.
答案 5 000
三、解答題
9.(2017·成都診斷)據(jù)報道,全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點,一時間“英語考試該如何改”引起廣泛關注.為了解某地區(qū)學生和包括老師、家長在內的社會人士對
6、高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3 600人進行調查,就“是否取消英語聽力”問題進行了問卷調查統(tǒng)計,結果如下表:
態(tài)度
調查人群
應該取消
應該保留
無所謂
在校學生
2 100人
120人
y人
社會人士
600人
x人
z人
已知在全體樣本中隨機抽取1人,抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05.
(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調查的人中抽取360人進行訪談,問應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取6人,再平均分成兩組進行深入交流.求第一組中在校學生人數(shù)
7、ξ的分布列和數(shù)學期望.
解 (1)因為抽到持“應該保留”態(tài)度的人的概率為0.05,所以=0.05,解得x=60.
所以持“無所謂”態(tài)度的人數(shù)為3 600-2 100-120-600-60=720,所以應在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取720×=72人.
(2)由(1)知持“應該保留”態(tài)度的一共有180人,
所以在所抽取的6人中,在校學生為×6=4人,社會人士為×6=2人,于是第一組在校學生人數(shù)ξ=1,2,3,
P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=2.
10.(2017
8、·鄭州一模)在“出彩中國人”的一期比賽中,有6位歌手(1~6)登臺演出,由現(xiàn)場百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星,各家媒體獨立地在投票器上選出3位出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機的選2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至6號歌手中隨機的選出3名.
(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率;
(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望.
解 (1)設A表示事件:“媒體甲選中3號歌手”,B表示事件:“媒體乙選中3號歌手”,C表示事件:“媒體丙選中3號歌手”,則
9、P(A)==,P(B)==,
∴媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率為
P(A)=×=.
(2)P(C)==,
由已知得X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)=P()=××
=.
P(X=1)=P(A)+P(B)+P(C)
=××+××+××=,
P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=××+××+××=,
P(X=3)=P(ABC)=××=,
∴X的分布列為
X
0
1
2
3
P
∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.
11.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球,有放回地摸取5次,設摸
10、得白球數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)=( )
A. B. C. D.
解析 由題意,X~B,
又E(X)==3,∴m=2,
則X~B,故D(X)=5××=.
答案 B
12.袋中裝有大小完全相同,標號分別為1,2,3,…,9的九個球.現(xiàn)從袋中隨機取出3個球.設ξ為這3個球的標號相鄰的組數(shù)(例如:若取出球的標號為3,4,5,則有兩組相鄰的標號3,4和4,5,此時ξ的值是2),則隨機變量ξ的均值E(ξ)為( )
A. B. C. D.
解析 依題意得,ξ的所有可能取值是0,1,2.
且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,因此E(
11、ξ)=0×+1×+2×=.
答案 D
13.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如下表:
x
1
2
3
p(ξ=x)
?
!
?
請小牛同學計算ξ的均值.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)=________.
解析 設“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為1-2x,則E(ξ)=1×x+2×(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.
答案 2
14.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站.過去50年的水文資料顯示,水庫年入流量X(年入流量:一年內上游來水與庫區(qū)降水之和,單位
12、:億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率,并假設各年的年入流量相互獨立.
(1)求未來4年中,至多有1年的年入流量超過120的概率;
(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行,但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制,并有如下關系:
年入流量X
40120
發(fā)電機最多可運行臺數(shù)
1
2
3
若某臺發(fā)電機運行,則該臺年利潤為5 000萬元;若某臺發(fā)電機未運行,則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安
13、裝發(fā)電機多少臺?
解 (1)依題意,p1=P(40120)==0.1.
由二項分布,在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為
p=C(1-p3)4+C(1-p3)3p3=+4××=0.947 7.
(2)記水電站年總利潤為Y(單位:萬元).
①安裝1臺發(fā)電機的情形.
由于水庫年入流量總大于40,故一臺發(fā)電機運行的概率為1,
對應的年利潤Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000.
②安裝2臺發(fā)電機的情形.
依題意,當40
14、00=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40120時,三臺發(fā)電機運行,此時Y=5 000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1.因此得Y的分布列如下:
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.
綜上,欲使水電站年總利潤的均值達到最大,應安裝發(fā)電機2臺.
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