2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題19 直線與橢圓的綜合練習(xí) 理

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1、19直線與橢圓的綜合1.直線x+4y+m=0交橢圓x216+y2=1于A,B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則m=().A.-2B.-1C.1D.2解析因?yàn)閤+4y+m=0,所以y=-14x-m4.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1216+y12=1,x2216+y22=1,兩式相減,得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14.因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,所以縱坐標(biāo)為14,將1,14代入直線y=-14x-m4,解得m=-2,故選A.答案A2.已知F是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線l與橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),若|PF|=2|QF|,且PF

2、Q=120,則橢圓的離心率為().A.13B.12C.33D.22解析在PQF中,設(shè)|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦點(diǎn)為E,由橢圓的對稱性,知四邊形PFQE是平行四邊形,所以在PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因?yàn)镻F+QF=2a=3t,所以t=2a3,所以e=33,故選C.答案C3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦點(diǎn),直線y=b2與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且BFC=90,則該橢圓的離心率是.解析將y=b2代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,得x2a2+b24b2=1,所以x=32a,故B-32a,b

3、2,C32a,b2.又因?yàn)镕(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.因?yàn)锽FC=90,所以BFCF=0,所以c+32ac-32a+-b22=0,即c2-34a2+b24=0.將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=32c2,所以e2=c2a2=23,所以e=63(負(fù)值舍去).答案634.直線x4+y3=1與橢圓x216+y29=1相交于A,B兩點(diǎn),該橢圓上有點(diǎn)P,使得PAB的面積等于3,則這樣的點(diǎn)P共有個(gè).解析設(shè)P1(4cos ,3sin )02,即點(diǎn)P1在第一象限.設(shè)四邊形P1AOB的面積為S,則S=SOAP1+SOBP1=1243sin +1234cos =6(s

4、in +cos )=62sin+4,Smax=62.SOAB=1243=6,SP1AB的最大值為62-6.62-63,點(diǎn)P不可能在直線AB的右上方,在AB的左下方有2個(gè)這樣的點(diǎn)P.答案2能力1會用點(diǎn)差法解直線與橢圓中的與弦中點(diǎn)有關(guān)的問題【例1】已知橢圓C:x24+y2b2=1(0bb0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(-4,1),則橢圓的離心率是().A.12B.22C.32D.55解析設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點(diǎn)差法可知yM=-b2a2xM,代入點(diǎn)M(-4,1),解得b2a2=14,e=1-b2a2=32,故選C

5、.答案C能力2會用“設(shè)而不解”的思想解直線與橢圓中的弦長、面積問題【例2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)M(x,y)總滿足關(guān)系式2(x-1)2+y2=|x-4|.(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?并寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l:y=kx+m的距離為1,直線l與M的軌跡交于不同的兩點(diǎn)A,B,若OAOB=-32,求AOB的面積.解析(1)由2(x-1)2+y2=|x-4|,得x24+y23=1,所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)由點(diǎn)O到直線l:y=kx+m的距離為1,得d=|m|1+k2=1,即1+k2=m2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

6、聯(lián)立x24+y23=1,y=kx+m,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m2b0),由橢圓的定義可得2a=(3+2)2+1+(3-2)2+1=8+43+8-43=(6+2)2+(6-2)2=26,a=6.c=2,b2=2.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1.(2)設(shè)直線l的方程為x=ky+2,代入橢圓C的方程并化簡得(k2+3)y2+4ky-2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=-4kk2+3,y1y2=-2k2+3.OAB的面積S=12|OF|y1-y2|=|y1-

7、y2|=16k2+8(k2+3)k2+3=26k2+1k2+3.令t=k2+1(t1),則S=26tt2+226t22t=3,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=1時(shí)取等號,此時(shí)直線l的方程為x=y+2.圓心O到直線l的距離d=2,又圓O的半徑為6,故|DE|=26-2=4.能力3會用“設(shè)而不解”的思想求直線與橢圓中的有關(guān)幾何量【例3】已知點(diǎn)M(-4,0),橢圓x24+y2b2=1(0bb0)的離心率為32,過右焦點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線與相交于A,B兩點(diǎn).若AF=3FB,則k=().A.1B.2C.3D.2解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AF=3FB,y1=-3y2.e=32,設(shè)a=2t,c

8、=3t,b=t,x2+4y2-4t2=0.設(shè)直線AB的方程為x=sy+3t,代入中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0,y1+y2=-23sts2+4,y1y2=-t2s2+4.由y1=-3y2可得-2y2=-23sts2+4,-3y22=-t2s2+4,解得s2=12,k=2.故選D.答案D能力4會用“設(shè)而不解”的思想求直線與橢圓中的最值【例4】已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)P-3,12,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(3,0).(1)求橢圓E的方程;(2)若直線l過點(diǎn)(0,2)且與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的最大值.解析(1)設(shè)橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,

9、0)、F2(3,0),則|PF1|=12,|PF2|=72.|PF1|+|PF2|=4=2a,a=2.又c=3,b2=1,橢圓E的方程為x24+y2=1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由x24+y2=1,y=kx+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0,由0得4k21.x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-611+4k22+11+4k2+1.設(shè)t=11+4k2,則0t12,|AB|=2-6t2+t+1=2-6t-1122+2524566.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),|AB|=2

10、0,得m20,整理得x020),x024t2+3t16t2+24t+9=116t2+24t+94t2+3t=14+3t14,所以-12x012.綜上可得,-12x00,b0)與直線y=1-x交于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ba的值為().A.32B.233C.932D.2327解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則ax12+by12=1,ax22+by22=1,即ax12-ax22=-(by12-by22),則by12-by22ax12-ax22=-1,b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,ba(-1)32=-1,ba=233,故選

11、B.答案B2.已知經(jīng)過點(diǎn)(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,則k的取值范圍是().A.-22,22B.-,-2222,+C.(-2,2) D.(-,-2)(2,+)解析由題意得,直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于=8k2-412+k2=4k2-20,解得k22,即k的取值范圍為-,-2222,+.故選B.答案B3.經(jīng)過橢圓x22+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l,交橢圓于A,B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAOB等于().A.-3B.-1

12、3C.-13或-3D.13解析由題意知,當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),其方程為y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入橢圓方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,-1),43,13,所以O(shè)AOB=-13,同理,當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí),也可得OAOB=-13,故選B.答案B4.若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)1,12作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓的方程是().A.x24+y23=1B.x23+y22=1C.x25+y24=1D.x28+y25=

13、1解析可設(shè)斜率存在的切線的方程為y-12=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由|-2k+1|4k2+4=1,解得k=-34,所以圓x2+y2=1的一條切線的方程為3x+4y-5=0,可求得切點(diǎn)的坐標(biāo)為35,45,易知另一切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則直線AB的方程為y=-2x+2.令y=0得右焦點(diǎn)為(1,0),令x=0得上頂點(diǎn)為(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求橢圓的方程為x25+y24=1,故選C.答案C5.已知橢圓C的方程為x216+y2m2=1(m0),若直線y=22x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F,則m的值為().A.2B.22C

14、.8D.23解析根據(jù)已知條件得c=16-m2,則點(diǎn)16-m2,2(16-m2)2在橢圓x216+y2m2=1(m0)上,16-m216+16-m22m2=1,可得m=22,故選B.答案B6.已知直線l:y=kx+2過橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若L455,則橢圓離心率e的取值范圍是().A.0,55B.0,255C.0,355D.0,455解析依題意,知b=2,|kc|=2.設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2455,解得d2165.又因?yàn)閐=21+k2,所以11+k245,解得k214.因?yàn)閑2=c2a2=c2b2+c2

15、=11+k2,所以0e245,解得00,b0),若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點(diǎn),且C1與C2的漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)將線段AB三等分,則C2的離心率為().A.5B.5C.17D.2147解析設(shè)直線AB與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P,A(11cos ,11sin ),其中0,2,則P113cos,113sin.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以cos29+119sin2=1,解得sin2=45,cos2=15,所以tan =2,即ba=2,所以e=1+ba2=5,故選A.答案A8.已知橢圓x24+y2b2=1(0b3,但當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D

16、選項(xiàng)不對.答案D二、填空題11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0),F(2,0)為其右焦點(diǎn),過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2,則橢圓C的方程為.解析由題意得c=2,2b2a=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,橢圓C的方程為x24+y22=1.答案x24+y22=112.已知直線MN過橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)F,與橢圓交于M,N兩點(diǎn),直線PQ過原點(diǎn)O 與MN平行,且PQ與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),則|PQ|2|MN|=.解析由題意知F(-1,0),當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),|MN|=2b2a=2,|PQ|=2b=2,則|PQ|2|MN|=22.當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)

17、直線MN的斜率為k,則直線MN的方程為y=k(x+1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x22+y2=1,y=k(x+1),整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)2k2+1.易知直線PQ的方程為y=kx,設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),聯(lián)立x22+y2=1,y=kx,解得x2=22k2+1,y2=2k22k2+1,則|OP|2=x2+y2=2(k2+1)2k2+1,所以|PQ|=2|OP|,則|PQ

18、|2=4|OP|2=8(k2+1)2k2+1,|PQ|2|MN|=22.答案22三、解答題13.點(diǎn)A為橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB、AC分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2.當(dāng)ACx軸時(shí),恰好|AF1|=2|AF2|.(1)求該橢圓的離心率.(2)設(shè)AF1=1F1B,AF2=2F2C,1+2是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.解析(1)因?yàn)楫?dāng)ACx軸時(shí),恰好|AF1|=2|AF2|,由橢圓的定義知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=b2a,所以2a-b2a=2b2a,即b2a2=23,故橢圓的離心率e=ca=33.(2)設(shè)橢圓的半焦距為c,則F

19、1(-c,0),F2(c,0),橢圓方程設(shè)為x23c2+y22c2=1,整理得2x2+3y2-6c2=0.設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),若直線AC的斜率存在,則直線AC的方程為y=y0x0-c(x-c),聯(lián)立y=y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,消去x,得2(x0-c)2+3y02y2+4cy0(x0-c)y-4c2y02=0.由韋達(dá)定理得y0y2=-4c2y022(x0-c)2+3y02,y2=-4c2y02(x0-c)2+3y02,同理y0y1=-4c2y022(x0+c)2+3y02,y1=-4c2y02(x0+c)2+3y02.由AF1=1F1B得y0=-1y1,則1=-y0y1=2(x0+c)2+3y024c2.由AF2=2F2C得2=-y0y2=2(x0-c)2+3y024c2,所以1+2=2(x0-c)2+3y02+2(x0+c)2+3y024c2=2(2x02+3y02)+4c24c2=26c2+4c24c2=4,故1+2=4.若直線ACx軸,則2=1,1=3,所以1+2=4.綜上所述,1+2=4是定值.15