7、的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷.
考點(diǎn)三 三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性
角度1 三角函數(shù)奇偶性、周期性
【例3－1】 (1)(2018·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則( )
A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3
B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4
C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3
D.f(x)的最小正周期為2π，最大值為4
【答案】B
【解析】 (1)易知f(x)＝2cos2x－
8、sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4.
(2018·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為________.
【答案】
【解析】 由于對任意的實(shí)數(shù)都有f(x)≤f成立，故當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
【解法小結(jié)】 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
9、(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z).
2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
角度2 三角函數(shù)圖象的對稱性
【例3－2】 (1)已知函數(shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則函數(shù)g(x)＝sin x＋acos x的圖象( )
A.關(guān)于點(diǎn)對稱 B.關(guān)于點(diǎn)對稱
C.關(guān)于直線x＝對稱 D.關(guān)于直線x＝對稱
(2)(2016·全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對稱軸，且f(x)在上
10、單調(diào)，則ω的最大值為( )
A.11 B.9 C.7 D.5
【答案】(1)C (2)B
【解析】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin x＋cos x＝sin，
函數(shù)g(x)的對稱軸方程為x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，當(dāng)k＝0時(shí)，對稱軸為直線x＝，所以g(x)＝sin x＋acos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱.
(2)因?yàn)閤＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為f(x)的圖象的對稱軸，所以－＝＋，即＝T＝·(k∈Z)，所以ω＝2k＋1(k∈Z
11、).
又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，即ω≤12，ω＝11驗(yàn)證不成立(此時(shí)求得f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減)，ω＝9時(shí)滿足條件.由此得ω的最大值為9.
【解法小結(jié)】 1.對于可化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
2.對于可化為f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
【思維
12、升華】
1.討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉(zhuǎn)化為研究y＝sin t(或y＝cos t)的性質(zhì).
3.數(shù)形結(jié)合是本講的重要數(shù)學(xué)思想.
【易錯(cuò)注意點(diǎn)】
1.閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性；含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響.
2.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，當(dāng)單調(diào)區(qū)間有無窮多個(gè)時(shí)，別忘了注明k∈Z.
三、【名校新題】
1.(2019·武漢調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin－cos的圖象關(guān)于y軸對稱，則θ＝( )
A.
13、－ B. C.－ D.
【解析】A
【解析】f(x)＝sin－cos＝2sin，
由題意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1時(shí)，θ＝－.
2.(2018·石家莊檢測)若是函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx圖象的一個(gè)對稱中心，則ω的一個(gè)取值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】 因?yàn)閒(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由題意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，ω＝6.
3.(2019·湖南十四
14、校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足|x1－x2|min＝2，則f(1)的值為( )
A. B.－ C.2 D.－2
【答案】C
【解析】 依題意可得函數(shù)的最小正周期為＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.
4.(2019·西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝時(shí)取得最小值，則f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 因?yàn)?<θ<π，所以<＋θ<，又因?yàn)閒(x)＝cos(x
15、＋θ)在x＝時(shí)取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是.
5.(2019·廣西五市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在區(qū)間上的最大值為1，則ω＝( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 因?yàn)?<ω<1,0≤x≤，所以0≤ωx<，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則f(x)max＝f＝2sin＝1，即sin＝.又因?yàn)?≤ωx<，所以＝，解得ω＝.
6.(2018·日照一中模擬)下列函數(shù)中，周期為π，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是( )
A．y＝s
16、in B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝sin
【答案】C
【解析】y＝sin＝－cos 2x為偶函數(shù)，排除A；y＝cos＝sin 2x在上為減函數(shù)，排除B；y＝cos＝－sin 2x為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且周期為π，符合題意；y＝sin＝cos x為偶函數(shù)，排除D.故選C.
7.（安徽定遠(yuǎn)重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第一次月考）設(shè)函數(shù)，
其中常數(shù)滿足．若函數(shù)（其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）是偶函數(shù)，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】f∕x=-3sin3x+φ,fx+f∕x=2cos3x+φ+π3,依題意，φ+π3=kπ,k?Z,∵-π<φ<0
17、,∴φ=-π3
8.（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象與函數(shù)y=cos（x﹣）的圖象（ ）
A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心
B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸
C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心
D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸
【答案】A
【解析】比較對稱軸與對稱中心即可
9.（2019年皖北協(xié)作區(qū)高三年級聯(lián)考）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】fx=2sinωx+π3,x?π6,π4,ωx+π3?πω6+π3,ωx+π3,由已知，ωx+π3
18、≤2kπ+π2πω6+π3≥2kπ,k∈Z,由ω>0,可得。
10.（2019年合肥二模）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.函數(shù)的周期是
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)在上最大值是1
【答案】C
【解析】由題意，gx=2sin2x+π6-1,當(dāng)x?0,π6時(shí)，2x+π6∈π6，π2，∴gx單調(diào)遞增。故選C.
11.(2019·商丘質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝3sin，φ∈(0，π)滿足f(|x|)＝f(x)，則φ的值為________.
【答案】
【解析】由題意知f(x)為偶函數(shù)，關(guān)于
19、y軸對稱，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝.
12.(2019·煙臺(tái)檢測)若函數(shù)f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函數(shù)，則φ＝________.
【答案】
【解析】 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因?yàn)?<φ<π，故φ＝.
13.（2019·貴陽檢測）已知函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
【答案】
【解析】由
20、(ω>0)，f＝f，且f(x)在上單調(diào)遞減，則ω＝________.
【答案】1
【解析】由f＝f，可知函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于直線x＝對稱，
∴ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝1＋4k，k∈Z，
又∵f(x)在上單調(diào)遞減，
∴≥π－＝，T≥π，
∴≥π，∴ω≤2，
又∵ω＝1＋4k，k∈Z，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝1.
15.(2019·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求函數(shù)y＝f(x)圖象的對稱軸方程；
(2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性.
【解析】 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，
21、
∴ω＝2，于是f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).
即函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z).
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
注意到x∈，所以令k＝0，
得函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；
同理，其單調(diào)遞減區(qū)間為.
16.（湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試） 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期與最大值；
（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性.
【解析】（1）
所以的最小正周期是
當(dāng)即,的最大值為;
(2)令,易知的單調(diào)遞增區(qū)間是由
得
設(shè),,
易知
所以,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減.
12
（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題19 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（含解析）
