（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第5講 計數(shù)原理與二項式定理練習 理 新人教A版

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1、第5講　計數(shù)原理與二項式定理 一、選擇題 1．在某夏令營活動中，教官給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務．已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年齡尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有(　　) A．10種 B．40種 C．70種 D．80種 解析：選B．若Grace不參與任務，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處，有C種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有CC

2、＝30種搜尋方案；若Grace參加任務，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有C種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠處，因此共有C＝10種搜尋方案．綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案，故選B． 2．(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)若的展開式的常數(shù)項為60，則a的值為(　　) A．4 B．±4 C．2 D．±2 解析：選D．的展開式的通項為Tr＋1＝C·(ax)6－r·＝(－1)r·a6－r·C·x6－r，令6－r＝0，得r＝4，則(－1)4·a2·C＝60，解得a＝±2，故選D． 3．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) A

3、．15 B．20 C．30 D．35 解析：選C．由多項式乘法知，若求(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)，只需求(1＋x)6展開式中x2和x4的系數(shù)．(1＋x)6展開式中含x2和x4的項分別是Cx2＝15x2和Cx4＝15x4，所以(1＋x)6展開式中x2的系數(shù)是30.故選C． 4．若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有(　　) A．4種 B．8種 C．12種 D．24種 解析：選B．將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8種站法，故選B． 5．設(x2－3x＋2)5

4、＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1等于(　　) A．80 B．－80 C．－160 D．－240 解析：選D．因為(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二項展開式中含x項的系數(shù)為C×(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5×C×(－2)4＝－160－80＝－240，故選D． 6．(2019·廣州市綜合檢測(一))(2－x3)(x＋a)5的展開式的各項系數(shù)和為32，則該展開式中x4的系數(shù)是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 解析：選A．在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展開式的各項系數(shù)和為(1＋a)5＝32，解得a＝1，故

5、(x＋1)5的展開式的通項Tr＋1＝Cx5－r.當r＝1時，得T2＝Cx4＝5x4，當r＝4時，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展開式中x4的系數(shù)為2×5－5＝5，選A． 7．(2019·柳州模擬)從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個數(shù)相鄰，則不同的選法種數(shù)是(　　) A．72 B．70 C．66 D．64 解析：選D．從{1，2，3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有C·C＋C·C＝56種選法，三個數(shù)相鄰共有C＝8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法，故選D． 8．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)某校

6、從甲、乙、丙等8名教師中選派4名同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1名教師)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，則不同的選派方案有(　　) A．900種 B．600種 C．300種 D．150種 解析：選B．第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再從剩余的5名教師中選2名，不同的選派方案有C×A＝240(種)；第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從乙和剩余的5名教師中選4名，不同的選派方案有C×A＝360(種)．所以不同的選派方案共有240＋360＝600(種)．故選B． 9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9

7、a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值為(　　) A．39 B．310 C．311 D．312 解析：選D．對(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9兩邊同時求導，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故選D． 10．現(xiàn)有

8、紅色、藍色和白色的運動鞋各一雙，把三雙鞋排列在鞋架上，僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是(　　) A．72 B．144 C．240 D．288 解析：選D．首先，選一雙運動鞋，捆綁在一起看作一個整體，有CA＝6種選法，則現(xiàn)在共有5個位置，若這雙鞋在左數(shù)第一個位置，共有CAA＝8種情況，若這雙鞋在左數(shù)第二個位置，則共有CC＝8種情況，若這雙鞋在中間位置，則共有AAAA＝16種情況，左數(shù)第四個位置和第二個位置的情況一樣，第五個位置和第一個位置的情況一樣．所以把三雙鞋排列在鞋架上，僅有一雙鞋相鄰的排法總數(shù)是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.故選D． 11．(一題多解)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目

9、，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　) A．120種 B．156種 C．188種 D．240種 解析：選A．法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)． 法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3

10、種，共有CAA＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)．所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)． 12．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)第十四屆全國運動會將于2021年在陜西舉辦，為宣傳地方特色，某電視臺派出3名男記者和2名女記者到民間進行采訪報導．工作過程中的任務劃分為：“負重扛機”“對象采訪”“文稿編寫”“編制剪輯”四項工作，每項工作至少一人參加，但2名女記者不參加“負重扛機”工作，則不同的安排方案數(shù)共有(　　) A．150 B．126 C．90 D．54 解析：選B．根據(jù)題意，“負重扛機”可由1名男記者或2名男記者參加，當由1

11、名男記者參加“負重扛機”工作時，有C種方法，剩余2男2女記者可分為3組參加其余三項工作，共有·A種方法，故由1名男記者參加“負重扛機”工作時，有C··A種方法；當由2名男記者參加“負重扛機”工作時，剩余1男2女3名記者各參加一項工作，有C·A種方法．故滿足題意的不同安排方案數(shù)共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.故選B． 二、填空題 13．在的展開式中，x3的系數(shù)是________． 解析：的展開式的通項Tr＋1＝C(－4)5－r·，r＝0，1，2，3，4，5，的展開式的通項Tk＋1＝Cxr－k＝4kCxr－2k，k＝0，1，…，r.令r－2k＝3，當k＝0時，r＝3；當k＝1時，

12、r＝5.所以x3的系數(shù)為40×C×(－4)5－3×C＋4×C×(－4)0×C＝180. 答案：180. 14．(2019·福州市質(zhì)量檢測)(1＋ax)2(1－x)5的展開式中，所有x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)和為－64，則正實數(shù)a的值為________． 解析：設(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7①， 令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7②， ②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7

13、＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)． 答案：3 15．(一題多解)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 解析：法一：從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為C，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為C×C，其中3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C×C，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C－C×C－C×C＝472. 法二：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法

14、的種數(shù)為C×C×C＝64，若2張顏色相同，則不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝144.若紅色卡片有1張，則剩余2張不同色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝192，剩余2張同色時，不同取法的種數(shù)為C×C×C＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)． 答案：472 16．《紅海行動》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成A，B，C，D，E，F(xiàn)六項任務，并對任務的順序提出了如下要求，重點任務A必須排在前三位，且任務E，F(xiàn)必須排在一起，則這六項任務完成順序的不同安排方案共有________種． 解析：因為任務A必須排在前三位，任務E，F(xiàn)必須排在一起，所以可把A的位置固定，E，F(xiàn)捆綁后分類討論． 當A在第一位時，有AA＝48(種)； 當A在第二位時，第一位只能是B，C，D中的一個，E，F(xiàn)只能在A的后面，故有CAA＝36(種)； 當A在第三位時，分兩種情況：①E，F(xiàn)在A之前，此時應有AA種，②E，F(xiàn)在A之后，此時應有AAA種，故而A在第三位時有AA＋AAA＝36(種)． 綜上，共有48＋36＋36＝120種不同的安排方案． 答案：120 - 5 -