（廣西課標版）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練14 空間中的平行與垂直 文

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1、專題能力訓練14　空間中的平行與垂直 一、能力突破訓練 1.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,點P在△AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是(　　) A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心 3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平

2、面,給出下列命題:①若α⊥β,m∥α,則m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥β;③若m⊥β,m∥α,則α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β. 其中正確命題的序號是(　　) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③ 4.已知平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　) A.32 B.22 C.33 D.13 5.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是邊BC的中點,動點P在表面上運動,并且總保持PE⊥AC,則動點P的軌跡的周長為　　　　　.? 6.

3、(2019全國Ⅰ,文16)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,則點P到平面ABC的距離為　　　　　.? 7.如圖,在多面體ABCDPE中,四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中點. (1)求證:BF∥平面ADP; (2)已知O是BD的中點,求證:BD⊥平面AOF. 8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求證:DC⊥平面PAC; (2)求證:平面PAB⊥平面PAC

4、; (3)設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由. 9.(2019全國Ⅲ,文19)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2. (1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求圖2中的四邊形ACGD的面積. 10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點

5、. (1)求證:PE⊥BC; (2)求證:平面PAB⊥平面PCD; (3)求證:EF∥平面PCD. 二、思維提升訓練 11.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE. 圖① 圖② (1)證明:CD⊥平面A1OC; (2)當平面A1BE⊥平面BCDE時,四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值. 12.如圖,AB是圓O的直徑,點C是A

6、B的中點,點V是圓O所在平面外一點,D是AC的中點,已知AB=2,VA=VB=VC=2. (1)求證:OD∥平面VBC; (2)求證:AC⊥平面VOD; (3)求棱錐C-ABV的體積. 13.(2019廣東佛山一中模擬,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形, AC∩BD=O,△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=PD=6,AP=4AF. (1)求四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD; (2)在線段PB上是否存在一點M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,請說明理由. 14.如圖①

7、,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,O為DE的中點,AB=AC=25,BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F為A1C的中點,如圖②. 圖① 圖② (1)求證:EF∥平面A1BD; (2)求證:平面A1OB⊥平面A1OC; (3)在線段OC上是否存在點G,使得OC⊥平面EFG?說明理由. 專題能力訓練14　空間中的平行與垂直 一、能力突破訓練 1.A　解析易知選項B中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,則AB∥平面MNQ;選項C中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,則AB∥平面MN

8、Q;選項D中,AB∥NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,則AB∥平面MNQ,故排除選項B,C,D.故選A. 2.A　解析如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,∴PA⊥平面PEF, 從而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF, 則PO⊥EF, ∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO. 同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O為△AEF的垂心. 3.B　解析當α⊥β,m∥α時,有m⊥β,m∥β,m?β等多種可能情況,所以①不正確;當m⊥α,n⊥β,且m⊥n時,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正確;因為m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正確;若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β或α,β相

9、交,④不正確.故選B. 4.A　解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1. ∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, ∴n∥CD1. ∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即∠B1D1C等于m,n所成的角. ∵△B1D1C為正三角形,∴∠B1D1C=60°, ∴m,n所成角的正弦值為32. (方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移, 補

10、形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角. 因為△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°, 故m,n所成角的正弦值為32. 5.2+6　解析如圖,取CD的中點F,SC的中點G,連接EF,EG,FG. 設(shè)EF交AC于點H,連接GH,易知AC⊥EF. 又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH. 又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG. 故點P的軌跡是△EFG,其周長為2+6. 6.2　解析作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.連接CO,OD,知CD

11、⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P, ∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO, ∴CD⊥OD. ∵PD=PE=3,PC=2, ∴sin∠PCE=sin∠PCD=32, ∴∠PCB=∠PCA=60°. ∴PO⊥CO,CO為∠ACB平分線, ∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=2. 又PC=2,∴PO=4-2=2. 7.證明(1)如圖,取PD的中點G,連接FG,AG. ∵F是CE的中點,∴FG是梯形CDPE的中位線. ∵CD=3PE,∴FG=2PE,FG∥CD. ∵CD∥AB,AB=2PE, ∴AB∥FG,AB=FG,即四邊形ABFG是平行四邊形. ∴BF

12、∥AG. 又BF?平面ADP,AG?平面ADP,∴BF∥平面ADP. (2)延長AO交CD于M,連接BM,FM, ∵AB∥DC,AD⊥DC,∴BA⊥AD. 又CD⊥DA,AB=AD,O為BD的中點, ∴四邊形ABMD是正方形,∴BD⊥AM,MD=2PE, ∴FM∥PD. ∵PD⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD,∴FM⊥BD. ∵AM∩FM=M,∴BD⊥平面AMF, ∴BD⊥平面AOF. 8.(1)證明因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC. 又因為DC⊥AC, 所以DC⊥平面PAC. (2)證明因為AB∥DC,DC⊥AC, 所以AB⊥AC. 因為PC⊥平面AB

13、CD, 所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC. 所以平面PAB⊥平面PAC. (3)解在棱PB上存在點F,使得PA∥平面CEF.證明如下: 取PB的中點F,連接EF,CE,CF. 又因為E為AB的中點,所以EF∥PA. 又因為PA?平面CEF,所以PA∥平面CEF. 9.(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG, 故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE. 又因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解取CG的中點M,連接EM,DM. 因為AB∥DE,AB⊥平面

14、BCGE, 所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG. 由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM. 因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2. 所以四邊形ACGD的面積為4. 10.證明(1)∵PA=PD,且E為AD的中點, ∴PE⊥AD. ∵底面ABCD為矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC. (2)∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD. ∴AB⊥PD. 又PA⊥PD,PA∩AB=A, ∴PD⊥平面PAB. ∵PD?平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD. (

15、3)如圖,取PC的中點G,連接FG,GD. ∵F,G分別為PB和PC的中點, ∴FG∥BC,且FG=12BC. ∵四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點, ∴ED∥BC,ED=12BC, ∴ED∥FG,且ED=FG, ∴四邊形EFGD為平行四邊形, ∴EF∥GD. 又EF?平面PCD,GD?平面PCD, ∴EF∥平面PCD. 二、思維提升訓練 11.(1)證明在題圖①中,因為AB=BC=12AD=a,E是AD的中點,∠BAD=π2,所以BE⊥AC. 即在題圖②中,BE⊥A1O,BE⊥OC, 從而BE⊥平面A1OC, 又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC. (2

16、)解由已知,平面A1BE⊥平面BCDE, 且平面A1BE∩平面BCDE=BE, 又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE, 即A1O是四棱錐A1-BCDE的高. 由題圖①知,A1O=22AB=22a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2. 從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26a3=362,得a=6. 12.(1)證明∵O,D分別是AB和AC的中點,∴OD∥BC. 又OD?平面VBC,BC?平面VBC, ∴OD∥平面VBC. (2)證明∵VA=VB,O為AB中點,∴VO⊥AB. 在△VOA和△VOC中,O

17、A=OC,VO=VO,VA=VC, ∴△VOA≌△VOC, ∴∠VOA=∠VOC=90°, ∴VO⊥OC. ∵AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC, ∴VO⊥平面ABC.又AC?平面ABC, ∴AC⊥VO. ∵VA=VC,D是AC的中點,∴AC⊥VD. ∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V, ∴AC⊥平面VOD. (3)解由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=VA2-AO2=3. ∵點C是AB的中點, ∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2, ∴△ABC的面積S△ABC=12AB·CO=12×2×1=1, ∴棱錐V-ABC的體積為VV

18、-ABC=13S△ABC·VO=13×1×3=33,故棱錐C-ABV的體積為33. 13.解(1)∵底面ABCD是菱形, ∴O為AC,BD的中點. 又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD. ∵AC∩BD=O,AC?平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴PO⊥底面ABCD. 在△PAC中,AC=2,∴PO=3. 在△PBD中,PB=PD=6,BD=23. ∴VP-ABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×2×23=2. (2)過C作CE∥BD交AB延長線于E,過E作EH∥BF交PA于H,EH與PB的交點為M. ∵CE∥BD,BD?平面BDF,CE?

19、平面BDF,∴CE∥平面BDF. ∵EH∥BF,BF?平面BDF,EH?平面BDF,∴EH∥平面BDF. 又CE∩EH=E,CE?平面CEM,EH?平面CEM,∴平面BDF∥平面CEM. ∵CM?平面CEM,∴CM∥平面BDF. ∵BD∥CE,DC∥BE,∴四邊形BECD為平行四邊形, ∴DC=BE=AB,∴B為AE中點. ∵AP=4AF,EH∥BF,∴H為PA的中點, ∴M為中線PB與中線EH的交點,∴M是△APE的重心,∴BMBP=13. 14.(1)證明取線段A1B的中點H,連接HD,HF. ∵D,E分別為AB,AC的中點,∴DE∥BC,DE=12BC. ∵H,F分別

20、為A1B,A1C的中點,∴HF∥BC,HF=12BC, ∴HF∥DE,HF=DE,∴四邊形DEFH為平行四邊形,∴EF∥HD. ∵EF?平面A1BD,HD?平面A1BD,∴EF∥平面A1BD. (2)證明∵在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,AB=AC, ∴AD=AE,∴A1D=A1E.又O為DE的中點, ∴A1O⊥DE. ∵平面A1DE⊥平面BCED,且A1O?平面A1DE,∴A1O⊥平面BCED,∴CO⊥A1O. 在△OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,∴CO⊥BO,∴CO⊥平面A1OB.又CO?平面A1OC, ∴平面A1OB⊥平面A1OC. (3)解假設(shè)線段OC上存在點G,使得OC⊥平面EFG. 連接GE,GF,則必有OC⊥GF,且OC⊥GE. 在Rt△A1OC中,由F為A1C的中點,OC⊥GF,得G為OC的中點. 在△EOC中,∵OC⊥GE,∴EO=EC,這顯然與EO=1,EC=5矛盾. ∴在線段OC上不存在點G,使得OC⊥平面EFG. 16