備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學 考點一遍過 考點06 二次函數(shù)與冪函數(shù) 理(含解析)

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1、考點06二次函數(shù)與冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念.(2)結合函數(shù)的圖象,了解它們的變化情況.一、二次函數(shù)1二次函數(shù)的概念形如的函數(shù)叫做二次函數(shù).2表示形式(1)一般式:f(x)=ax2bxc(a0).(2)頂點式:f(x)=a(xh)2k(a0),其中(h,k)為拋物線的頂點坐標.(3)兩根式:f(x)=a(xx1)(xx2)(a0),其中x1,x2是拋物線與x軸交點的橫坐標.3二次函數(shù)的圖象與性質函數(shù)解析式圖象(拋物線)定義域R值域對稱性函數(shù)圖象關于直線對稱頂點坐標奇偶性當b=0時是偶函數(shù),當b0時是非奇非偶函數(shù)單調性在上是減函數(shù);在上是增函數(shù).在上是增函數(shù);在上是減函數(shù).最值當時,當時,4常

2、用結論(1)函數(shù)f(x)=ax2bxc(a0)的圖象與x軸交點的橫坐標是方程ax2bxc=0的實根.(2)若x1,x2為f(x)=0的實根,則f(x)在x軸上截得的線段長應為|x1x2|=.(3)當且()時,恒有f(x)0();當且()時,恒有f(x)0時,圖象過原點,在第一象限的圖象上升;當101cbBabcCcabDbca【答案】A【解析】因為在上是增函數(shù),所以又因為在上是減函數(shù),所以.綜上,acb.故選A.【名師點睛】同底數(shù)的兩個數(shù)比較大小,考慮用指數(shù)函數(shù)的單調性;同指數(shù)的兩個數(shù)比較大小,考慮用冪函數(shù)的單調性,有時需要取中間量.3已知,則下列結論成立的是ABCD考向三二次函數(shù)的圖象及性質

3、的應用高考對二次函數(shù)圖象與性質進行單獨考查的頻率較低,常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題,考查二次函數(shù)圖象與性質的應用,以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),有時也出現(xiàn)在解答題中,解題時要準確運用二次函數(shù)的圖象與性質,掌握數(shù)形結合的思想方法.常見類型及解題策略:1圖象識別問題辨析二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面著手討論或逐項排除2二次函數(shù)最值問題的類型及處理思路(1)類型:a.對稱軸、區(qū)間都是給定的;b.對稱軸動、區(qū)間固定;c.對稱軸定、區(qū)間變動(2)解決這類問題的思路:抓住“三點一軸”數(shù)形結合,三點是指區(qū)間的兩個端點和中點,一軸指的是對稱軸,結合配方

4、法,根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想即可完成3解決一元二次方程根的分布問題的方法常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結合來解,一般從:a.開口方向;b.對稱軸位置;c.判別式;d.端點函數(shù)值符號四個方面分析4求解與二次函數(shù)有關的不等式恒成立問題往往先對已知條件進行化簡,轉化為下面兩種情況:(1)ax2bxc0,a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxcA在區(qū)間D上恒成立,此時就等價于在區(qū)間D上f(x)minA,接下來求出函數(shù)f(x)的最小值;若不等式f(x)B在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上f(x)max0且a1)的圖象恒過定點P,若定點P在冪函數(shù)g(x)的圖象上,則冪函數(shù)g(x)的圖象是ABCD6

5、已知函數(shù)的圖象如圖所示,則的大小關系為ABCD7已知函數(shù),則A,使得BC,使得D,使得8已知:冪函數(shù)在上單調遞增;,則是的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件9已知冪函數(shù)的圖象過點,則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是AB0 CD10已知函數(shù)的定義域是R,則實數(shù)a的取值范圍是ABCD11已知點在冪函數(shù)的圖象上,設,則的大小關系為ABCD12已知函數(shù)(其中,且)在區(qū)間上單調遞增,則函數(shù)的定義域為ABCD13已知函數(shù)既是二次函數(shù)又是冪函數(shù),函數(shù)是上的奇函數(shù),函數(shù),則A0 B2018 C4036 D403714已知冪函數(shù)(是實數(shù))的圖象經(jīng)過點,則f(4)的值為_15已知x+x-=25

6、,x1,0,則x-x-=_16若冪函數(shù)f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+)上為增函數(shù),則實數(shù)m的值為_17已知函數(shù)y=x2-2x+a的定義域為R,值域為0,+),則實數(shù)a的取值集合為_.18已知函數(shù),則函數(shù)的最小值是_19已知實數(shù)滿足,則的取值范圍是_20已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1,且f(x)=f(2-x),f(0)=3(1)求f(x)的解析式;(2)在區(qū)間-1,1上,y=f(x)的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方,試確定實數(shù)m的取值范圍21已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+3(mR)在(0,+)上單調遞增(1)求m的值及f(x)的解析式;(2)若函數(shù)g(x

7、)=-3f(x)2+2ax+1-a在0,2上的最大值為3,求實數(shù)a的值22已知fx=-4x2+4ax-4a-a2(1)當a=1,x1,3時,求函數(shù)fx的值域;(2)若函數(shù)fx在區(qū)間0,1內(nèi)有最大值-5,求a的值23已知函數(shù),其中為常數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,都有,求實數(shù)的取值范圍.1(2017年高考浙江卷)若函數(shù)f(x)=x2+ ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則M mA與a有關,且與b有關B與a有關,但與b無關C與a無關,且與b無關D與a無關,但與b有關2(2017年高考山東卷理科)已知當時,函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點,則正實數(shù)的取

8、值范圍是ABCD3(2016年高考新課標III卷理科)已知,則ABCD4(2019年高考浙江卷)已知,函數(shù),若存在,使得,則實數(shù)的最大值是_.變式拓展1【答案】-5,4【解析】由題意知,故,由于fx=x23=3x2為R上的偶函數(shù)且在0,+上單調遞增,f6x+39即為f6x+3f27,所以6x+327,解得-5x4.2【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是冪函數(shù),m2-m-1=1,解得:m=2或m=-1,當m=2時,其圖象與兩坐標軸有交點,不符合題意;當m=-1時,其圖象與兩坐標軸都沒有交點,符合題意,故m=-1.故選A3【答案】A【解析】,即,故.選A【名師點睛】本

9、題主要考查了比較大小問題,其中解答中熟練運用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力.求解時,根據(jù)冪函數(shù)在上為單調遞增函數(shù),得出,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質得,即可得到結論.4【答案】D【解析】因為函數(shù)fx=4x2-kx-8在5,20上具有單調性,所以或,解得k160或k40.故實數(shù)k的取值范圍為-,40160,+.選D5【答案】C【解析】函數(shù)f(x)x22x+1(x1)2,函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x1,在區(qū)間a,a+2上的最小值為4,當1a時,函數(shù)的最小值為f(a)(a1)24,則a1(舍去)或a3;當a+21,即a1時,函數(shù)的最小值為f(a+2)(a+1)24,則a1

10、(舍去)或a3;當a1a+2,即-1a1,0,所以根據(jù)冪函數(shù)的單調性,可得xx-,即x-x-2x+2m+1在-1,1上恒成立,化簡得mx2-3x+1,設g(x)=x2-3x+1,則g(x)在區(qū)間-1,1上單調遞減,則g(x)在區(qū)間-1,1上的最小值為g(1)=-1,則有m-1,故m的取值范圍為(-,-1)21【答案】(1)f(x)=x3;(2)a=2.【解析】(1)冪函數(shù)fx=(m-1)2xm2-4m+3mR在0,+上單調遞增,故,解得:m=0,故fx=x3.(2)由于fx=x3,所以函數(shù)gx=-3f(x)2+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a,則函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線,對稱軸為x

11、=a,由于在0,2上的最大值為3,當a2時,gx在0,2上單調遞增,故:g(x)max=g2=3a-3=3,解得a=2當a0時,gx在0,2上單調遞減,故:g(x)max=g0=1-a=3,解得:a=-2當0a2時,gx在0,a上單調遞增,在a,2上單調遞減,故:g(x)max=ga=a2+1-a=3,解得:a=-1(舍去),或a=2(舍去),綜上所述:a=222【答案】(1)-29,-5;(2)a=-54或a=-5.【解析】(1)當a=1時,fx=-4x2+4x-5,其圖象的對稱軸為x=12,開口向下,x1,3時,函數(shù)fx單調遞減,當x=1時,函數(shù)有最大值f1=-5,當x=3時,函數(shù)有最小值

12、f3=-29,故函數(shù)fx的值域為-29,-5;(2)fx=-4x2+4ax-4a-a2的圖象開口向下,對稱軸為x=12a,當12a1,即a2時,fx在0,1上單調遞增,函數(shù)的最大值為f1=-4-a2令-4-a2=-5,得a2=1,a=12(舍去)當012a1,即0a0)在區(qū)間A上單調遞減(單調遞增),則A(A),即區(qū)間A一定在函數(shù)對稱軸的左側(右側)直通高考1【答案】B【解析】因為最值在中取,所以最值之差一定與無關.故選B【名師點睛】對于二次函數(shù)的最值或值域問題,通常先判斷函數(shù)圖象對稱軸與所給自變量閉區(qū)間的關系,結合圖象,當函數(shù)圖象開口向上時,若對稱軸在區(qū)間的左邊,則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞增;

13、若對稱軸在區(qū)間的右邊,則函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調遞減;若對稱軸在區(qū)間內(nèi),則函數(shù)圖象頂點的縱坐標為最小值,區(qū)間端點距離對稱軸較遠的一端取得函數(shù)的最大值2【答案】B【解析】當時,在時單調遞減,且,在時單調遞增,且,此時有且僅有一個交點;當時,在上單調遞增,所以要有且僅有一個交點,需.故選B.【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)的取值范圍常用的方法和思路:(1)直接法:直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍;(2)分離參數(shù)法:將參數(shù)分離,轉化成求函數(shù)值域的問題加以解決;(3)數(shù)形結合法:先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結合求解3【答案】A 【解析】因為,所以.故選A【技巧點撥】比較指數(shù)的大小常常根據(jù)三個數(shù)的結構聯(lián)系相關的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調性來判斷,如果兩個數(shù)指數(shù)相同,底數(shù)不同,則考慮冪函數(shù)的單調性;如果指數(shù)不同,底數(shù)相同,則考慮指數(shù)函數(shù)的單調性;如果涉及對數(shù),則聯(lián)系對數(shù)的單調性來解決4【答案】【解析】存在,使得,即有,化為,可得,即,由,可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù),結合函數(shù)的解析式可得,去絕對值化簡,結合二次函數(shù)的最值及不等式的性質可求解.25

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