13、,須有f(x)maxm恒成立,須有f(x)min>m;③不等式的解集為R,即不等式恒成立;④不等式的解集為空集,即不等式無解.
已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.
(1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a<2時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為3,求實(shí)數(shù)a的值.
解析? (1)由f(x)≤2-|x-1|,得x-a2+|x-1|≤1.
由絕對(duì)值的幾何意義知x-a2+|x-1|≥a2-1.
∵不等式f(x)≤2-|x-1|有解,
∴a2-1≤1,解得0≤a≤4.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,4].
(2)函數(shù)f(x)
14、=|2x-a|+|x-1|的零點(diǎn)為a2和1,當(dāng)a<2時(shí),a2<1,
∴f(x)=-3x+a+1x1),
作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖可知f(x)在-∞,a2上單調(diào)遞減,在a2,+∞上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=fa2=-a2+1=3,解得a=-4<2(符合題意),∴實(shí)數(shù)a的值為-4.
1.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-2|.
(1)解不等式f(x)>2|x|.
(2)若f(x)≥a2+2b2+3c2對(duì)任意x∈R恒成立,求證:ac+2bc≤78.
解析? (1) f(x)>2|x|?x2+|x-2|>2|x|?x≥
15、2,x2+x-2>2x或02x或x≤0,x2+2-x>-2x?x>2或02或x<1,
所以不等式f(x)>2|x|的解集為(-∞,1)∪(2,+∞).
(2)當(dāng)x≥2時(shí),f(x)=x2+x-2≥4;
當(dāng)x<2時(shí),f(x)=x2-x+2=x-122+74≥74.
所以f(x)的最小值為74.
因?yàn)閒(x)≥a2+2b2+3c2對(duì)任意x∈R恒成立,
所以a2+2b2+3c2≤74.
又a2+2b2+3c2=a2+c2+2(b2+c2)≥2ac+4bc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立,
所以ac+2bc≤78.
2.若a>0,b>0,a+
16、b=1.求證:
(1)1a+41+b≥92;
(2)2a+1+2b+1≤22.
解析? (1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1=12[a+(b+1)],
∴1a+41+b=121a+41+b[a+(b+1)]=125+b+1a+4ab+1≥92,
當(dāng)且僅當(dāng)b+1=2a,即a=23,b=13時(shí),等號(hào)成立.
(2)(分析法)要證2a+1+2b+1≤22,
只需證2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)≤8,
∵a>0,b>0,a+b=1,
∴只需證(2a+1)(2b+1)≤2.
由基本不等式可得(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2,
由此逆推
17、而上,則不等式2a+1+2b+1≤22成立.
3.已知函數(shù)f(x)=|ax-1|.
(1)當(dāng)a=3時(shí),解不等式f(x)≥|x+1|;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+f(-x)<|m-1|有實(shí)數(shù)解,求m的取值范圍.
解析? (1)當(dāng)a=3時(shí),f(x)≥|x+1|化為|3x-1|≥|x+1|,
兩邊平方得9x2-6x+1≥x2+2x+1,即8x(x-1)≥0,解得x≤0或x≥1,
所以原不等式的解集為(-∞,0]∪[1,+∞).
(2)f(x)+f(-x)<|m-1|等價(jià)于|ax-1|+|-ax-1|<|m-1|,
因?yàn)閨ax-1|+|-ax-1|≥|ax-1-ax-1|=2,所
18、以f(x)+f(-x)的最小值為2,
因?yàn)椴坏仁絝(x)+f(-x)<|m-1|有實(shí)數(shù)解,
所以2<|m-1|,即m-1<-2或m-1>2,
解得m<-1或m>3.
4.已知函數(shù)f(x)=|tx-3|+|x-1|(t為常數(shù)).
(1)當(dāng)t=4時(shí),求不等式f(x)≥2的解集;
(2)當(dāng)t=1時(shí),若函數(shù)f(x)的最小值為M,正數(shù)a,b滿足2a+8b=M,證明:a+b≥9.
解析? (1)當(dāng)t=4時(shí),f(x)≥2等價(jià)于|4x-3|+|x-1|≥2.
①當(dāng)x≥1時(shí),4x-3+x-1≥2,∴x≥65;
②當(dāng)34
19、34時(shí),3-4x+1-x≥2,∴5x≤2,∴x≤25.
綜上,不等式f(x)≥2的解集為x|x≤25或x≥65.
(2)當(dāng)t=1時(shí),f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(x-3)-(x-1)|=2,
∴2a+8b=M=2,即1a+4b=1,
∴a+b=(a+b)·1a+4b=5+ba+4ab≥5+2ba·4ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=6時(shí),等號(hào)成立.
5.已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-1|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若函數(shù)g(x)=x2-2x+|a2-3|的最小值不小于f(x)的最小值,求a的取值范圍.
解析? (1)由f(x)≤5,得|x-2|+|x-
20、1|≤5,
∴x>2,2x-3≤5或1≤x≤2,1≤5或x<1,3-2x≤5,
解得2-2,
21、g(x)=x2+2ax+74,若對(duì)于x∈-1,a2,都有f(x)≥g(x)成立,求a的取值范圍.
解析? (1)當(dāng)a=6時(shí),f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)≥12等價(jià)于|x+2|+|x-3|≥6.
因?yàn)閨x+2|+|x-3|=2x-1,x>3,5,-2≤x≤3,-2x+1,x<-2,
所以|x+2|+|x-3|≥6等價(jià)于x>3,2x-1≥6或-2≤x≤3,5≥6或x<-2,-2x+1≥6,
解得x≥72或x≤-52,
所以不等式f(x)≥12的解集為x|x≤-52或x≥72.
(2)當(dāng)a>-2,且x∈-1,a2時(shí),f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a,
所以f(x)≥g(x),即4+a≥g(x).
又g(x)=x2+2ax+74的最大值必為g(-1),ga2之一,
所以4+a≥114-2a,4+a≥54a2+74,即3a≥-54,54a2-a-94≤0,
解得-512≤a≤95,
所以a的取值范圍為-512,95.
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