2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第五章 不等式、推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 考點測試35 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃 理(含解析)
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1、考點測試35 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃 高考概覽 考綱研讀 1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組 2.了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決 一、基礎(chǔ)小題 1.不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域(用陰影部分表示)是( ) 答案 C 解析 由y(x+y-2)≥0,得或 所以不等式y(tǒng)(x+y-2)≥0在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是C項. 2.已知點A(-3,-1)與點B(4,-6)在直線3x-2y-a=0的兩側(cè),則實數(shù)a的取值范圍是( )
2、 A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-24)∪(7,+∞) D.(-∞,-7)∪(24,+∞) 答案 B 解析 (-9+2-a)(12+12-a)<0,所以-7<a<24.故選B. 3.若實數(shù)x,y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是( ) A.3 B. C.2 D.2 答案 C 解析 因為直線x-y=-1與x+y=1互相垂直,所以如圖所示的可行域為直角三角形,易得A(0,1),B(1,0),C(2,3),故|AB|=,|AC|=2,所以其面積為×|AB|×|AC|=2. 4.若變量x,y滿足約束條件則3x+2y的最大值是( )
3、 A.0 B.2 C.5 D.6 答案 C 解析 作不等式組的可行域,如圖: 令z=3x+2y,則y=-x+表示一系列平行于y=-x的直線,并且表示該直線的縱截距.顯然,把直線y=-x平移至點A處,z最大.由得A(1,1).所以zmax=3x+2y=3+2=5.故選C. 5.已知點(a,b)是平面區(qū)域內(nèi)的任意一點,則3a-b的最小值為( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 答案 B 解析 根據(jù)題意可知(a,b)在如圖陰影中,設(shè)z=3a-b.則b=3a-z,所以-z可以理解為y=3x+t中的縱截距t.因而當y=3x+t過點(0,2)時,t最大為2.即-z
4、最大為2,所以z最小為-2. 6.若x,y滿足約束條件則z=x+3y的取值范圍是( ) A.(-∞,2] B.[2,3] C.[3,+∞) D.[2,+∞) 答案 D 解析 作不等式組表示的平面區(qū)域,如圖. 平移直線x+3y=0到點A時,z取得最小值,由解得點A,,所以zmin=+=2,無最大值.故選D. 7.在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)有A(5,3),B(1,1),C(1,5)三點,若使目標函數(shù)z=ax+y(a>0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個,則實數(shù)a的值是( ) A. B. C.2 D. 答案 B 解析 由題意知,當z=ax+y與直線AC重合時最優(yōu)解有
5、無窮多個.因為kAC=-,所以-a=-,即a=.故選B.
8.已知實數(shù)x,y滿足約束條件則|y-x|的最大值是( )
A.2 B. C.4 D.3
答案 D
解析
畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖),計算得A(1,2),B(4,1),當直線z=x-y過點A時zmin=-1,過點B時zmax=3,則-1≤x-y≤3,則|y-x|≤3.
9.不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
解析 由不等式2x+y<6,得y<6-2x,且x>0,y>0,則當x=1時,0 6、),(1,3);當x=2時,0 7、(10,8),B(10,20),C(6.25,20))內(nèi)橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點.當直線l:z=960x+360y經(jīng)過點A(10,8)時,運費最低,且其最低運費zmin=960×10+360×8=12480(元),選B.
11.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D,若在區(qū)域D上存在函數(shù)y=logax(a>1)的圖象上的點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(3,+∞) B.(1,3)
C.[3,+∞) D.(1,3]
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域D,如圖中陰影部分所示.
由解得點A(3,1).
由a>1,對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過可行域,此時滿足loga3≤1,解得a≥3, 8、所以實數(shù)a的取值范圍是[3,+∞),故選C.
12.已知實數(shù)x,y滿足則w=x2+y2-4x-4y+8的最小值為________.
答案
解析
目標函數(shù)w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其幾何意義是點(2,2)與可行域內(nèi)的點的距離的平方.由實數(shù)x,y所滿足的不等式組作出可行域如圖中陰影部分所示,由圖可知,點(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點的距離的最小值,又=,所以wmin=.
二、高考小題
13.(2018·天津高考)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標函數(shù)z=3x+5y的最大值為( )
A.6 B.19 C.21 D.45
9、答案 C
解析 由變量x,y滿足的約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示).
作出基本直線l0:3x+5y=0,平移直線l0,當直線經(jīng)過點A(2,3)時,z取最大值,即zmax=3×2+5×3=21.故選C.
14.(2018·全國卷Ⅱ)若x,y滿足約束條件
則z=x+y的最大值為________.
答案 9
解析 不等式組表示的可行域是以A(5,4),B(1,2),C(5,0)為頂點的三角形區(qū)域,如圖所示,由圖可知目標函數(shù)z=x+y的最大值在頂點A處取得,即當x=5,y=4時,zmax=9.
15.(2018·全國卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件
則z=3x+2y的最大值為 10、________.
答案 6
解析 根據(jù)題中所給的約束條件,畫出其對應(yīng)的可行域,如圖所示:
由z=3x+2y可得y=-x+z,畫出直線y=-x,將其上下移動,結(jié)合的幾何意義,可知當直線過點B時,z取得最大值,由解得B(2,0),此時zmax=3×2+0=6.
16.(2018·全國卷Ⅲ)若變量x,y滿足約束條件則z=x+y的最大值是________.
答案 3
解析 作出可行域如圖陰影部分.
由圖可知目標函數(shù)在直線x-2y+4=0與x=2的交點(2,3)處取得最大值3.
17.(2018·浙江高考)若x,y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是________,最大值是_ 11、_______.
答案 -2 8
解析 由約束條件得可行域是以A(1,1),B(2,2),C(4,-2)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界),如圖.當直線y=-x+過點C(4,-2)時,z=x+3y取得最小值-2,過點B(2,2)時,z=x+3y取得最大值8.
18.(2018·北京高考)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y-x的最小值是________.
答案 3
解析 由x+1≤y≤2x作出可行域,如圖中陰影部分所示.設(shè)z=2y-x,則y=x+z,當直線y=x+z過A(1,2)時,z取得最小值3.
三、模擬小題
19.(2018·山西太原模擬)已知實數(shù)x,y滿足
則z=2x 12、-2y-1的取值范圍是( )
A.,5 B.[0,5]
C.,5 D.-,5
答案 D
解析 作出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范圍是-,5.
20.(2018·南昌一模)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為M,若直線y=kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點,則實數(shù)k的取值范圍為( )
A.,2 B.,
C.,2 D.,2
答案 C
解析 作不等式組表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示:
由得A(1,2),由得B(2,1),平面區(qū)域M即為圖中陰影部分△ABC,直線y=kx經(jīng)過區(qū)域M內(nèi)的點A時,k=2,直線y=kx經(jīng) 13、過區(qū)域M內(nèi)的點B時,k=,故≤k≤2,故選C.
21.(2018·長沙統(tǒng)考)已知x,y滿足約束條件
若z=ax+y的最大值為4,則a=( )
A.2 B. C.-2 D.-
答案 A
解析
作不等式組表示的平面區(qū)域如圖.當直線l:y=-ax+z經(jīng)過△AOB區(qū)域時,l在y軸上的最大截距為4,則點B(2,0)為最優(yōu)解,所以z=2a=4,即a=2,故選A.
22.(2018·太原模擬)已知不等式ax-2by≤2在平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1}上恒成立,則動點P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 A
14、
解析 作平面區(qū)域{(x,y)||x|≤1且|y|≤1},如圖1所示.該平面區(qū)域表示正方形ABCD內(nèi)部(含邊界).令z=ax-2by,因為ax-2by≤2恒成立,則函數(shù)z=ax-2by在該平面區(qū)域要求的條件下,zmax=2恒成立.當直線ax-2by-z=0過點A(-1,1)或B(1,1)或C(1,-1)或D(-1,-1)時,有
再作該不等式組表示的可行域,即菱形EFGH內(nèi)部(含邊界).如圖2所示.其中H(-2,0),F(xiàn)(2,0),E(0,1),G(0,-1),所以動點P(a,b)所形成平面區(qū)域的面積為×4×2=4.故選A.
23.(2018·湖北八市聯(lián)考)已知x,y滿足若z=x+2y有最大 15、值4,則實數(shù)m的值為( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.1
答案 B
解析 可行域所表示區(qū)域為三條直線所封閉的三角形區(qū)域(含邊界),如圖陰影部分所示.依題意,有直線y=-x+的縱截距有最大值2,則結(jié)合圖形可知需滿足直線2x-y=m過點(0,2),從而m=2×0-2=-2,故選B.
24.(2018·河北石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標系中,不等式組(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π,若x,y滿足上述約束條件,則z=的最小值為( )
A.-1 B.-
C. D.-
答案 D
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,由題意知πr2=π,解得r=2.z== 16、1+,易知表示可行域內(nèi)的點(x,y)與點P(-3,2)的連線的斜率,由圖可知當點(x,y)與點P的連線與圓x2+y2=r2相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,則有=2,解得k=-或k=0(舍),所以zmin=1-=-.故選D.
25.(2018·河北石家莊質(zhì)檢)設(shè)變量x,y滿足約束條件則的最大值為________.
答案 3
解析 題設(shè)中的約束條件如圖中陰影部分所表示的區(qū)域,則表示可行域內(nèi)點P(x,y)與B(0,-1)的連線的斜率,由圖知,當P位于A(1,2)時,取得最大值=3.
26.(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子,需要木 17、工和漆工兩個工種,已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個工作時,漆工2個工作時;生產(chǎn)一張桌子需要木工8個工作時,漆工1個工作時.生產(chǎn)一把椅子的利潤為1500元,生產(chǎn)一張桌子的利潤為2000元,該廠每個月木工最多完成8000個工作時,漆工最多完成1300個工作時,根據(jù)以上條件,該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤是________元.
答案 2100000
解析 依題意,設(shè)每個月生產(chǎn)x把椅子、y張桌子,那么利潤t=1500x+2000y.其中x,y滿足約束條件
可行域如圖中陰影部分所示,對于不同的t值,t=1500x+2000y表示一組斜率為-的平行線,且t越大,相應(yīng)的直線位置越高;t越小,相應(yīng) 18、的直線位置越低.依題意,要求t的最大值,需把直線t=1500x+2000y盡量地往上平移,又考慮到x,y的允許范圍,顯然當直線通過點B時,處在這組平行線的最高位置,此時t取最大值.由得點B(200,900),從而tmax=1500×200+2000×900=2100000(元),即生產(chǎn)200把椅子、900張桌子可獲得最大利潤2100000元.
一、高考大題
1.(2017·天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時長(分鐘)
廣告播放時長(分鐘)
收 19、視人次(萬)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用x,y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).
(1)用x,y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使總收視人次最多?
解 (1)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為
即
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖①中的陰影部分中的整數(shù)點.
(2)設(shè)總收視人次為z萬,則目標函數(shù)為z=60x+25 20、y.
考慮z=60x+25y,將它變形為y=-x+,這是斜率為-,隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距,當取得最大值時,z的值就最大.
又因為x,y滿足約束條件,所以由圖②可知,當直線z=60x+25y經(jīng)過可行域上的點M時,截距最大,即z最大.解方程組得則點M的坐標為(6,3).所以,電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時,才能使總收視人次最多.
二、模擬大題
2.(2018·廣東佛山月考)若x,y滿足約束條件
(1)求目標函數(shù)z=x-y+的最值;
(2)若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點(1,0)處取得最小值,求a的取值范圍.
解 (1)作出可行域如圖,可求得A(3 21、,4),B(0,1),C(1,0).
平移初始直線x-y=0,過A(3,4)取最小值-2,過C(1,0)取最大值1.∴z的最大值為1,最小值為-2.
(2)直線ax+2y=z僅在點(1,0)處取得最小值,由圖象可知-1<-<2,解得-4
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