（通用版）2020版高考數學大二輪復習 專題突破練20 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 文

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1、專題突破練20　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.(2019全國卷3,文17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度,進行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組,每組100只,其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.根據試驗數據分別得到如下直方圖: 甲離子殘留百分比直方圖 乙離子殘留百分比直方圖 記C為事件:“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5”,根據直方圖得到P(C)的估計值為0.70. (1)求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值; (2)分別估計甲、乙離子殘留百

2、分比的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表). 2.(2019山西呂梁4月模擬,文19)某高科技公司投入1 000萬元研發(fā)某種產品,大規(guī)模投產后,在產品出庫進入市場前,需做嚴格的質量檢驗.為此,從庫房的產品中隨機抽取200件,檢測一項關鍵的質量指標值(記為X),由檢測結果得到如下樣本頻率分布直方圖: (1)求這200件產品質量指標值的樣本平均數X、樣本方差s2(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表); (2)該公司規(guī)定:當X>170時,產品為正品;當X≤170時,產品為次品.公司每生產一件這種產品,若是正品,則盈利80元;若是次品,則虧損20元.

3、 ①估計這200件產品中正品、次品各有多少件; ②求公司生產一件這種產品的平均利潤. 3.(2019全國卷1,文17)某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯表: 滿意 不滿意 男顧客 40 10 女顧客 30 20 (1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率; (2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d). P(K2≥k)

4、0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 4.某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查,在高三的全體1 000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表,得到如圖的頻率分布直方圖. 　　　年級名次 是否近視　　　 1~50 951~1 000 近視 41 32 不近視 9 18 (1)若直方圖中后四組的頻數成等差數列,試估計全年級視力在5.0以下的人數; (2)學習小組成員發(fā)現,學習成績突出的學生,近視的比較多,為了研究學生的視力與學習成績是否有關系,對年級名次在1~50

5、名和951~1 000名的學生進行了調查,得到上表中數據,根據表中的數據,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系? 附: P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 5.(2019河北衡水同卷聯考,文18)2014年1月25日,中共中央辦公廳、國務院辦公廳專門發(fā)布了《關于創(chuàng)新機制扎實推進農村扶貧開發(fā)工作

6、的意見》,對我國扶貧開發(fā)工作做出戰(zhàn)略性創(chuàng)新部署,提出建立精準扶貧工作機制.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)根據中央文件精神,在2014年通過精準識別確定建檔立卡的貧困戶共有473戶,結合當地實際情況采取多項精準扶貧措施,從2015年至2018年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)每年脫貧戶數見下表: 年份 2015 2016 2017 2018 年份代碼x 1 2 3 4 脫貧戶數y 55 69 71 85 (1)根據2015~2018年的數據,求出y關于x的線性回歸方程y^=b^x+a^; (2)利用(1)中求出的線性回歸方程,試估計到2020年底該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的473戶貧困戶能否全部脫貧. 附:b^=∑i=1nx

7、iyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x. 6.(2019山東德州一模,文18)改革開放以來,伴隨著我國經濟持續(xù)增長,戶均家庭教育投入(戶均家庭教育投入是指一個家庭對家庭成員教育投入的總和)也在不斷提高.我國某地區(qū)2012年到2018年戶均家庭教育投入(單位:千元)的數據如下表: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 戶均家庭教育投入y 3.4 3.8 4.1 4.9 5.3 5.7 6.4 (1)求y關于t的

8、線性回歸方程; (2)利用(1)中的回歸方程,分析2012年至2018年該地區(qū)戶均家庭教育投入的變化情況,并預測2019年該地區(qū)戶均家庭教育投入是多少? 附:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x. 7.(2019安徽江淮十校聯考一,文19)下表為2014年至2017年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額(單位:萬元),其中年份代碼x=年份-2013. 年份代碼x 1 2 3 4 線下銷售額y 95 165 230 310 (1)已知y與x具有線性相關關系,求y關于x的線性回歸方程,并預測2018

9、年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額; (2)隨著網絡購物的飛速發(fā)展,有不少顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長表示懷疑,某調査平臺為了解顧客對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長的看法,隨機調查了55位男顧客、50位女顧客(每位顧客從“持樂觀態(tài)度”和“持不樂觀態(tài)度”中任選一種),其中對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長持樂觀態(tài)度的男顧客有10人、女顧客有20人,能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持的態(tài)度與性別有關? 參考公式及數據:b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a^=y-b^x.K2=n(ad-bc)2(a+b)(c

10、+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 8.為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每隔30 min從該生產線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零

11、件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經計算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,∑i=116(i-8.5)2≈18.439, ∑i=116(xi-x)(i-8.5)=-2.78,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,…,16.

12、 (1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數r,并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小). (2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查. ①從這一天抽檢的結果看,是否需對當天的生產過程進行檢查? ②在(x-3s,x+3s)之外的數據稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差.(精確到0.01) 附:樣本(xi,yi)(i

13、=1,2,…,n)的相關系數r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2.0.008≈0.09. 參考答案 專題突破練20　統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 1.解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7

14、×0.20+8×0.15=6.00. 2.解(1)取每個區(qū)間中點值為區(qū)間代表計算平均數為:X=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02=200, 方差為:s2=(-60)2×0.02+(-40)2×0.08+(-20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600. (2)①由題意知,產品是正品的頻率為1-(0.001+0.004)×20=0.9, 則200件產品中是正品的件數為200×0.9=180(件),是次品的件數為20件; ②由題意知,生產一件產品的平

15、均利潤為0.9×80-0.1×20=70(元). 3.解(1)由調查數據,男顧客中對該商場服務滿意的比率為4050=0.8,因此男顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.8. 女顧客中對該商場服務滿意的比率為3050=0.6,因此女顧客對該商場服務滿意的概率的估計值為0.6. (2)K2=100×(40×20-30×10)250×50×70×30≈4.762. 由于4.762>3.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異. 4.解(1)由題圖可知,第一組有3人,第二組有7人,第三組有27人,設后四組的頻數構成的等差數列的公差為d,則(27-d)+(27-2d)+

16、(27-3d)=63,解得d=3,所以后四組頻數依次為27,24,21,18,所以視力在5.0以下的頻數為3+7+27+24+21=82人,故全年級視力在5.0以下的人數約為1000×82100=820(人). (2)K2=100×(41×18-32×9)250×50×73×27=30073≈4.110>3.841,因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系. 5.解(1)因為x=1+2+3+44=2.5, y=55+69+71+854=70, ∑i=14xiyi=1×55+2×69+3×71+4×85=746, ∑i=14xi2=1+4+9+16=30, 所

17、以b^=746-4×70×2.530-4×2.52=9.2, a^=y-b^x=70-9.2×2.5=47. 因此,所求線性回歸方程為y^=9.2x+47. (2)根據(1)中求得的線性回歸方程可估算出 2019年脫貧戶數:y^1=9.2×5+47=93, 2020年脫貧戶數:y^2=9.2×6+47≈102. 因為2015~2018年實際脫貧280戶,2019年和2020年估計共脫貧195戶, 所以280+195=475>473,即到2020年底該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的473戶貧困戶估計能夠全部脫貧. 6.解(1)由所給數據計算得 t=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4, y=17

18、×(3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)=4.8, ∑i=17(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28, ∑i=17(ti-t)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14. b^=∑i=17(ti-t)(yi-y)∑i=17(ti-t)2=1428=0.5, a^=y-b^t=4.8-0.5×4=2.8. 所求回歸方程為y^=0.5t+2.8. (2)由(1)知,b=0.5>0,故2012年至2018年該地區(qū)戶均家庭教育投入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 將

19、2019年的年份代號t=8代入(1)中的回歸方程,得y^=0.5×8+2.8=6.8. 故預測該地區(qū)2019年戶均家庭教育投入為6.8千元. 7.解(1)由題意得x=2.5,y=200,∑i=14xi2=30,∑i=14xiyi=2355,所以b^=∑i=14xiyi-4xy∑i=14xi2-4x2=2355-4×2.5×20030-4×2.52=3555=71,所以a^=y-b^x=200-71×2.5=22.5, 所以y關于x的線性回歸方程為y^=71x+22.5. 由于2018-2013=5,所以當x=5時,y^=71×5+22.5=377.5, 所以預測2018年該百貨零售企

20、業(yè)的線下銷售額為377.5萬元. (2)由題可得2×2列聯表如下: 持樂觀態(tài)度 持不樂觀態(tài)度 總計 男顧客 10 45 55 女顧客 20 30 50 總計 30 75 105 故K2的觀測值 k=105×(10×30-45×20)255×50×30×75≈6.109, 由于6.109>5.024,所以可以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為對該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)増長所持的態(tài)度與性別有關. 8.解(1)由樣本數據得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關系數為r=∑i=116(xi-x)(i-8.5)∑i=116(xi-x)2∑

21、i=116(i-8.5)2=-2.780.212×16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小. (2)①由于x=9.97,s≈0.212,由樣本數據可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當天的生產過程進行檢查.②剔除離群值,即第13個數據,剩下數據的平均數為115(16×9.97-9.22)=10.02,這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13個數據,剩下數據的樣本方差為115(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為0.008≈0.09. 18