（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一章 第三節(jié) 合情推理與演繹推理練習(xí) 文 新人教A版

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1、第三節(jié)　合情推理與演繹推理 A組　基礎(chǔ)題組 1.觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,則a10+b10=(　　)　 A.121 B.123 C.231 D.211 答案　B　解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,則a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故選B. 解法二:令an=an+bn, 則a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,……, 得an+2=an+an+1, 從而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故選B. 2.某種樹的分枝生長(zhǎng)規(guī)律如圖所示

2、,第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5,則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為(　　) A.21 B.34 C.52 D.55 答案　D　因?yàn)?=1+1,3=2+1,5=3+2,即從第三年起每一年樹的分枝數(shù)都等于前兩年的和,所以第10年樹的分枝數(shù)為21+34=55. 3.等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)的和為Sn,則數(shù)列Snn為等差數(shù)列,公差為d2.類似地,若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,則等比數(shù)列{nTn}的公比為(　　) A.q2 B.q2 C.q D.nq 答案　C　由題設(shè),得Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1·b1q·b1q2·…·b1q

3、n-1=b1n+q1+2+…+(n-1)=b1nq(n-1)n2, ∴nTn=b1qn-12,∴等比數(shù)列{nTn}的公比為q,故選C. 4.(2018廣東華南師大附中測(cè)試)有6名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽,他們的編號(hào)分別是1~6號(hào),得第一名者將參加全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽.今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰(shuí)將得第一名,甲猜:4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)都不可能;乙猜:3號(hào)不可能;丙猜:不是1號(hào)就是2號(hào);丁猜:是4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)中的某一個(gè).以上只有一個(gè)人猜對(duì),則他應(yīng)該是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　A　若甲猜對(duì),當(dāng)?shù)谝幻麨?號(hào)時(shí),則乙、丙、丁都猜錯(cuò),符合題意; 若乙猜對(duì),由于只有一個(gè)猜對(duì),則丙猜錯(cuò)

4、,即1,2,3都不可能,那么丁就猜對(duì)了,不符合題意; 若丙猜對(duì),則乙也猜對(duì)了,不符合題意; 若丁猜對(duì),則乙也猜對(duì)了,不符合題意.故選A. 5.(2018四川南充二模)某市為了緩解交通壓力,實(shí)行機(jī)動(dòng)車輛限行政策,每輛機(jī)動(dòng)車每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五輛車,保證每天至少有四輛車可以上路行駛.已知E車周四限行,B車昨天限行,從今天算起,A,C兩車連續(xù)四天都能上路行駛,E車明天可以上路,由此可知下列推測(cè)一定正確的是(　　) A.今天是周六 B.今天是周四 C.A車周三限行 D.C車周五限行 答案　B　因?yàn)槊刻熘辽儆兴妮v車可以上路行駛,E車

5、明天可以上路,E車周四限行,所以今天不是周三;因?yàn)锽車昨天限行,所以今天不是周一,不是周五,也不是周日;因?yàn)锳,C兩車連續(xù)四天都能上路行駛,所以今天不是周二,也不是周六,所以今天是周四,故選B. 6.在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高,P為三角形內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa,Pb,Pc,我們可以得到結(jié)論:Paha+Pbhb+Pchc=1,把它類比到空間,設(shè)ha,hb,hc,hd分別是三棱錐A-BCD四個(gè)面上的高,P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點(diǎn),P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa,Pb,Pc,Pd,則三棱錐中的類似結(jié)論為　　　　　　　　　　　　.? 答案　Paha+P

6、bhb+Pchc+Pdhd=1 解析　由平面三角形的結(jié)論可類比空間三棱錐的結(jié)論.故可以得出的結(jié)論為Paha+Pbhb+Pchc+Pdhd=1. 7.如圖,有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層),第2層每邊有2個(gè)點(diǎn),第3層每邊有3個(gè)點(diǎn),……,以此類推,如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn),那么它的層數(shù)為　　　　.? 答案　8 解析　由題意知,第1層的點(diǎn)數(shù)是1,第2層的點(diǎn)數(shù)是6,第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6,第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6,第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6,……,第n(n≥2,n∈N*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n-1).設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n(n≥2,n∈N*)層,則共有的點(diǎn)數(shù)為1+6+6×2+…+6(n-1)

7、=1+6+6(n-1)2×(n-1)=3n2-3n+1,由題意得3n2-3n+1=169,即(n+7)(n-8)=0,所以n=8(n=-7舍去),故共有8層. 8.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市; 乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市; 丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一個(gè)城市. 由此可判斷乙去過(guò)的城市為　　　　.? 答案　A 解析　由三人去過(guò)同一個(gè)城市,且甲沒(méi)去過(guò)B城市、乙沒(méi)去過(guò)C城市知,三人去過(guò)的同一城市為A,由甲去過(guò)的城市比乙多可判斷乙去過(guò)的城市為A. 9.已知函數(shù)f(x)=-aax+a(a>0,且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f

8、(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)12,-12對(duì)稱; (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 解析　(1)證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)12,-12對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y). 由y=-aax+a(a>0,且a≠1), 得-1-y=-1+aax+a=-axax+a, f(1-x)=-aa1-x+a=-aaax+a =-a·axa+a·ax=-axax+a, 所以-1-y=f(1-x),即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)12,-12對(duì)稱. (2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1.

9、 所以f(-2)+f(3)=-1, f(-1)+f(2)=-1, f(0)+f(1)=-1. 故f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 10.已知O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接AO,BO,CO并延長(zhǎng),分別交對(duì)邊于A',B',C',則OA'AA'+OB'BB'+OC'CC'=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”: OA'AA'+OB'BB'+OC'CC'=S△OBCS△ABC+S△OCAS△ABC+S△OABS△ABC=S△ABCS△ABC=1. 請(qǐng)運(yùn)用類比思想,對(duì)于空間中的四面體A-BCD,存在什么類似的結(jié)論,并用“體積法”證明. 解析　在四面

10、體A-BCD中,任取一點(diǎn)O,連接AO,DO,BO,CO并延長(zhǎng),分別交四個(gè)面于E,F,G,H點(diǎn). 則OEAE+OFDF+OGBG+OHCH=1. 證明:在四面體O-BCD與A-BCD中, OEAE=h1h=13S△BCD·h113S△BCD·h=VO-BCDVA-BCD. 同理有OFDF=VO-ABCVD-ABC;OGBG=VO-ACDVB-ACD;OHCH=VO-ABDVC-ABD, ∴OEAE+OFDF+OGBG+OHCH =VO-BCD+VO-ABC+VO-ACD+VO-ABDVA-BCD=VA-BCDVA-BCD=1. B組　提升題組 1.如圖所示,將正整數(shù)從小到大沿

11、三角形的邊成螺旋狀排列起來(lái),2在第一個(gè)拐彎處,4在第二個(gè)拐彎處,7在第三個(gè)拐彎處,……,則在第二十個(gè)拐彎處的正整數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.210 B.211 C.212 D.213 答案　B　觀察題圖可知, 第一個(gè)拐彎處2=1+1, 第二個(gè)拐彎處4=1+1+2, 第三個(gè)拐彎處7=1+1+2+3, 第四個(gè)拐彎處11=1+1+2+3+4, 第五個(gè)拐彎處16=1+1+2+3+4+5, …… 發(fā)現(xiàn)規(guī)律:拐彎處的數(shù)是從1開始的一串連續(xù)正整數(shù)相加之和再加1,在第幾個(gè)拐彎處,就加到第幾個(gè)正整數(shù),所以第二十個(gè)拐彎處的正整數(shù)就是1+1+2+3+…+20=21

12、1. 2.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn.已知y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),那么在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是　　　　.? 答案　332 解析　由題意知,凸函數(shù)滿足f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤fx1+x2+…+xnn,又y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),∴sin A+sin B+sin C≤3sinA+B+C3=3sinπ3=332. 3.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):

13、①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解析　(1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12s

14、in 30°=1-14=34. (2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34. 證明如下: sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α) =sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α-32sin αcos α-12sin2α =34sin2α+34cos2α=34. 4.對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f '(x)

15、是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù), f ″(x)是函數(shù)f '(x)的導(dǎo)函數(shù),若方程f ″(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱點(diǎn)(x0, f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.若f(x)=13x3-12x2+3x-512,請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn), (1)求函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心; (2)計(jì)算f12019+f22019+f32019+f42019+…+f20182019. 解析　(1)f '(x)=x2-x+3, f ″(x)=2x-1, 由f ″(x)=0,即2x-1=0,解得x=12. f12=13×

16、123-12×122+3×12-512=1. 由題中給出的結(jié)論,可知函數(shù)f(x)=13x3-12x2+3x-512的對(duì)稱中心為12,1. (2)由(1)知函數(shù)f(x)=13x3-12x2+3x-512的對(duì)稱中心為12,1, 所以f12+x+f12-x=2, 即f(x)+f(1-x)=2. 故f12019+f20182019=2, f22019+f20172019=2, f32019+f20162019=2, …… f20182019+f12019=2. 所以f12019+f22019+f32019+f42019+…+f20182019=12×2×2 018=2 018. 8