數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其線性運算 3.1.2 共面向量定理 蘇教版選修2-1

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1、3.1.1空間向量及其線性運算3.1.2共面向量定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘)及其運算律.3.了解共面向量的定義，并能從平面向量中兩向量共線的充要條件類比得到空間向量共面的充要條件.4.理解共面向量定理及其應(yīng)用.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識點一空間向量的概念思考類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.答案梳理梳理(1)在空間，把具有 和 的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的 或 .空間向量也用有向線段表示，有向線段的 表示向量的模，向量a的起點是A，

2、終點是B，則向量a也可記作 ，其模記為 .大小方向長度模長度(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫做 ，記為0單位向量 的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度 而方向 的向量，稱為a的相反向量，記為a相等向量方向 且模 的向量稱為相等向量，且 的有向線段表示同一向量或相等向量零向量模為1相等相反相同相等同向等長知識點二空間向量及其線性運算acabca2.空間向量的加法和數(shù)乘運算滿足如下運算律：ab ；(ab)c ；(ab)(R).baa(bc)ab知識點三共線向量(或平行向量)1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 ，那么這些向量叫做共線向量或平行向量

3、.若向量a與b平行，記作 ，規(guī)定 與任意向量共線.2.共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(a0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)，使 .平行重合ab零向量ba知識點四共面向量及共面向量定理思考1當(dāng)a，b共線時，共面向量定理的理論一定成立嗎？不成立.當(dāng)p與a，b都共線時，存在不惟一的實數(shù)組(x，y)使pxayb成立.當(dāng)p與a，b不共線時，不存在(x，y)使pxayb成立.即當(dāng)a，b共線時，共面向量定理的結(jié)論不成立.答案思考2向量a，b，c共面，表示三個向量的有向線段所在的直線都共面嗎？不一定.若向量a，b，c共面，則表示這三個向量的有向線段可以平移到同一個平面內(nèi)，它們所在的直線平行、相交、異

4、面都有可能.答案共面向量及共面向量定理梳理梳理共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得_ _pxayb題型探究類型一空間向量的概念及應(yīng)用例例1如圖所示，以長方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中：(1)試寫出與 相等的所有向量；解答(2)試寫出 的相反向量；解答(3)若ABAD2，AA11，求向量 的模.解答引申探究引申探究如圖，在長方體ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，則分別以長方體的頂點為起點和終點的向量中：單位向量共有多少個？解答試寫出模為 的

5、所有向量；解答試寫出與向量 相等的所有向量；解答試寫出向量 的所有相反向量.解答在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1給出以下結(jié)論：兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；若空間向量a，b滿足|a|b|，則ab；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有若空間向量m，n，p滿足mn，np，則mp.其中不正確的命題的序號為_.答案解析兩個空間向量相等，它們的起點、終點不一定相同，故不正確；若空間向量a，b滿足|a|b|，則不一定能判

6、斷出ab，故不正確；在正方體ABCDA1B1C1D1中，必有 成立，故正確；顯然正確.類型二空間向量的線性運算例例2如圖，已知長方體ABCD-ABCD，化簡下列向量表達式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.解答解答引申探究引申探究解答結(jié)合加法運算反思與感悟化簡向量表達式時，要結(jié)合空間圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后利用運算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并化簡到最簡為止.首尾相接的若干個向量的和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量；若首尾相接的若干個向量構(gòu)成一個封閉圖形，則這些向量的和為0.證明平行六面體的六個面均為平行四邊形，類型三向量共線定理的理解與應(yīng)用解答求證：E，F(xiàn)，B三點

7、共線.反思與感悟(1)判定共線：判定兩向量a，b(b0)是否共線，即判斷是否存在實數(shù)，使ab.(2)求解參數(shù)：已知兩非零向量共線，可求其中參數(shù)的值，即利用若ab，則ab(R).(3)判定或證明三點(如P，A，B)是否共線：跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點，解答類型四共面向量定理及應(yīng)用證明例例4如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連結(jié)PA，PB，PC，PD，點E，F(xiàn)，G，H分別為PAB，PBC，PCD，PDA的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面.分別延長PE，PF，PG，PH交對邊于M，N，Q，R.如圖所示，因為E，F(xiàn)，

8、G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R為所在邊的中點，順次連結(jié)M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，所以由共面向量定理得E，F(xiàn)，G，H四點共面.證明引申探究引申探究本例中增加以下條件：若點O是AC與BD的交點，點M為PC的中點，求證：共面.取CD的中點N，連結(jié)ON，NM，因為M，N分別是PC，CD的中點，反思與感悟向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.解答當(dāng)堂訓(xùn)練根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷：1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：234

9、51答案解析4234510答案解析23451答案解析84.以下命題：兩個共線向量是指在同一直線上的兩個向量；共線的兩個向量互相平行；共面的三個向量是指在同一平面內(nèi)的三個向量；共面的三個向量是指平行于同一平面的三個向量.其中正確命題的序號是_.23451根據(jù)共面與共線向量的定義判定，易知正確.答案解析234515.已知A，B，M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，判斷在下列各條件下的點P與點A，B，M是否共面.解答23451由共面向量定理的推論知，點P與點A，B，M共面.3(1)(1)1，點B與點P，A，M共面，即點P與點A，B，M共面.23451解答234514(1)(1)21，點P與點

10、A，B，M不共面.由共面向量定理的推論，可知點P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是點P與點A，B，M不共面.規(guī)律與方法1.空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果.2.證明空間向量共面或四點共面的方法(1)利用共面向量證明.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有 且xyz1成立，則P，A，B，C四點共面.(3)用平面：尋找一個平面，設(shè)法證明這些向量與該平面平行.本課結(jié)束