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1、本次作業(yè)：11.33練習：11.28),cos(111tAx)cos(222tAx振動合成振動合成21xxx 在同一直線上同頻率的兩個簡諧在同一直線上同頻率的兩個簡諧振動分別為：振動分別為：代數(shù)方法：代數(shù)方法：tAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211令：令：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA)cos()cos(2211tAtA代入上式：代入上式：合振幅合振幅一一 兩個同方向同頻率簡諧振動的合成兩個同方向同頻率簡諧振動的合成)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA)cos(tA
2、xtAtAsinsincoscos)cos(tAtAAxcos)coscos(2211 兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍然是一個簡諧振動，且頻率不變。一個簡諧振動，且頻率不變。tAAsin)sinsin(2211由由得：得：coscoscos2211AAAsinsinsin2211AAA11A1xx021xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2兩個兩個同同方向方向同同頻頻率簡諧運動率簡諧運動合成合成后仍為后仍為簡諧簡諧運
3、動運動 旋轉(zhuǎn)矢量法：旋轉(zhuǎn)矢量法：xxtooA21AAA1A2AT1 1）相位差相位差212k),2 1 0(，k)cos(212212221AAAAA 討論討論xxtoo21AAA)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差)12(12k),1 0(，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情況一般情況2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10(，k相互加強相互加強相互削弱相互削弱)12(12k)10(，k例例 兩個同方向的簡諧振動曲線兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示如圖所示)（1）求合振動的振幅；）求合
4、振動的振幅；（2）求合振動的振動方程。）求合振動的振動方程。12AAA解：解：T20cos11A22110cos22A2222)22cos(12tTAAx2:由矢量圖x2A1AT)(1tx)(2txtO例：例：兩同方向、同頻率諧振動兩同方向、同頻率諧振動,3cos41tx)3/3cos(22tx求：合成諧振動方程。求：合成諧振動方程。解：解：合成后合成后 不變，不變，)3cos(tAx)cos(212212221AAAAA)03/cos(24224227222112211coscossinsintanAAAA3/cos20cos43/sin20sin42115333.0合振動方程：合振動方程：
5、)33.03cos(72tx11Axo二二 多個同方向同頻率簡諧多個同方向同頻率簡諧振振動動的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多個個同同方向方向同同頻率簡諧運動頻率簡諧運動合成合成仍為仍為簡諧簡諧運動運動1A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx)1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2,1,(kkNk2 2）2kN1 1）2 k),2,1,0(k 個矢量依次相接構(gòu)個矢量依次相接構(gòu)成一個成一個閉合閉合的多邊形的多邊形 .N討討論論
6、三三 兩個同方向不同頻率簡諧振動的合成兩個同方向不同頻率簡諧振動的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個的兩個同方向同方向簡諧振動的簡諧振動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍拍.演示演示合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 ,的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA
7、合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動頻率振動頻率拍頻拍頻（振幅變化的頻率）（振幅變化的頻率）X2X1Xt0t0t0 xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法12021t)(2122A2x2xAxo1A1x112t1t)(12t2cos2212221AAAAAt)(12)2cos(2121tA（拍在聲學和無線電技術(shù)中的應用）（拍在聲學和無線電技術(shù)中的應用）Axxt21cos22112拍頻拍頻)cos1(21 AA振幅振幅 振動圓
8、頻率振動圓頻率四四 兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點運動軌跡質(zhì)點運動軌跡)cos(11tAx)cos(22tAy （橢圓方程）（橢圓方程）222sinsincoscosttAy111sinsincoscosttAx2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAyxy1A2Ao1 1）或或2012xAAy12yx1A2Ao 討論討論yx1A2Ao用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖垂直同頻垂直同頻簡簡諧諧運運動動的的合合成成圖圖兩兩相相
9、互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差五五 兩相互垂直不同頻率的簡諧兩相互垂直不同頻率的簡諧振振動的合成動的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測量振動頻率測量振動頻率和相位的方法和相位的方法李李 薩薩 如如 圖圖makxv0dddd22kxtxtxm0dd2dd2022xtxtx一一 阻尼振動阻尼振動vrF阻尼力阻尼力mk0m2固有角頻率固有角頻率阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)阻力系數(shù)阻力系數(shù)ttececx)(2)(12022021.欠阻尼振動欠阻尼振動-阻尼很小阻尼很小0202為虛數(shù)，令為虛數(shù)，令220)(21tititececex)cos(tAext
10、A 與與 由初始條件確定。由初始條件確定。通解：通解：1i可寫成可寫成阻尼較小時，阻尼較小時，2020020)(xvxA0000)(tanxxv220)cos(tAext阻尼振動位移時間曲線阻尼振動位移時間曲線AAtOx)0(tAeTtAetcos振幅項振幅項tAe隨時間指數(shù)規(guī)律衰減。隨時間指數(shù)規(guī)律衰減。周期因子周期因子)cos(t振動周期振動周期2T02202TT2200由通解由通解ttececx)(2)(1202202ttececx)(2)(1202兩項都衰減，不是周期振動。兩項都衰減，不是周期振動。如如:單擺放在粘滯的單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置油筒中擺到平衡位置須很長時間。須很長時
11、間。21CC，其中其中 是積分是積分常數(shù)，由初始條件常數(shù)，由初始條件來決定，來決定，無振動發(fā)生。無振動發(fā)生。不能往復運動。不能往復運動。otxotx過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼0ttececx)(2)(12022020220通解通解teccx)(21衰減函數(shù)衰減函數(shù)臨界阻尼達到平衡位置的時臨界阻尼達到平衡位置的時間最短，但仍不能超過平衡間最短，但仍不能超過平衡位置。位置。otx 臨界阻尼情況是振動系統(tǒng)剛臨界阻尼情況是振動系統(tǒng)剛剛不能作準周期振動，而很剛不能作準周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應快回到平衡位置的情況，應用在天平調(diào)衡中。用在天平調(diào)衡中。驅(qū)動力驅(qū)動力tHkxtxtxm
12、cosdddd22二二 受迫振動受迫振動mk0m2mHh thxtxtxcosdd2dd2022)cos()cos(0tAteAxrt驅(qū)動力的角頻率驅(qū)動力的角頻率續(xù)30受迫振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)后，其振動角頻率為強迫力的角頻率，其振幅為 受迫振動與強迫力有一定的相位差 開始振動比較復雜經(jīng)過一段時間后，受迫振動進入穩(wěn)定振動狀態(tài)。)cos()cos(0tAteAxrt222204)(hA2202tan04dddd222220hA求極值：求極值：)cos(tAx222204)(hA三三 共振共振thxtxtxcosdd2dd2022在一定條件下在一定條件下,振幅出現(xiàn)振幅出現(xiàn) 極大值極大值,振動劇烈的現(xiàn)
13、象。振動劇烈的現(xiàn)象。1.位移共振位移共振A0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼R 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 越小，越小，共振角頻率共振角頻率 R越接近越接近于系統(tǒng)的固有頻率于系統(tǒng)的固有頻率 0 ，同時共振振幅，同時共振振幅AR也越大。也越大。結(jié)論：220R2共振頻率共振頻率220R2hA共振振幅共振振幅共振演示實驗共振演示實驗236145220R2 共振頻率共振頻率220R2hA 共振振幅共振振幅 共振現(xiàn)象在實際中的應用共振現(xiàn)象在實際中的應用樂器、收音機樂器、收音機 單擺單擺1作垂直于紙面作垂直于紙面的簡諧運動時，單擺的簡諧運動時，單擺5將將作相同周期的簡諧運動，作相同周期的簡諧運動，其它單擺基本不
14、動其它單擺基本不動.tAsinv受迫振動的速度：受迫振動的速度：2222204hAmaxv速度幅：速度幅：0時，速度幅極大時，速度幅極大在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動的在速度共振條件下穩(wěn)態(tài)振動的初相位為初相位為 2tAcosv結(jié)論：結(jié)論：速度和驅(qū)動力有相同的相速度和驅(qū)動力有相同的相位。即策動力對振動系統(tǒng)始終做位。即策動力對振動系統(tǒng)始終做正功。正功。速度共振速度共振又稱能量共振！又稱能量共振！2.速度共振速度共振一定條件下一定條件下,速度幅速度幅 A極大的現(xiàn)象。極大的現(xiàn)象。小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風中因產(chǎn)隨后在大風中因產(chǎn)生共振而斷塌生共振而斷塌 我國四川綦江彩虹
15、橋的斷裂：我國四川綦江彩虹橋的斷裂：武警跑步（引起共振）武警跑步（引起共振）質(zhì)量太差，質(zhì)量太差，1940年年華盛頓的塔科曼華盛頓的塔科曼大橋大橋在大風中產(chǎn)生振動在大風中產(chǎn)生振動 附附 教材教材受迫振動振幅、相位公式：受迫振動振幅、相位公式：由方程：由方程：thxtxtx cosdd2dd2022 (3)有穩(wěn)態(tài)解有穩(wěn)態(tài)解)cos(tAx (4)推導的思路：推導的思路：)1(4)(21 222220hA)2(2tan2201將穩(wěn)態(tài)解（將穩(wěn)態(tài)解（4）式）式改寫改寫為為：abbaAAbAatansincos22，(*)得得tAtAx sinsincoscos tbta sin cos (*)令令 將（將（*）代入微分方程（）代入微分方程（3），），02)(220 ab hba 2)(220由上二式解得由上二式解得a、b后，后，再代入到（再代入到（*）式中，）式中，前系數(shù)應相等，前系數(shù)應相等，t sint cos，即得即得A、的公式（的公式（1）和（）和（2）。）。振動部分結(jié)束振動部分結(jié)束因等式雙方因等式雙方于是有：于是有：
大學物理課件：振2 振動合成 阻尼振動
