（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第四章 三角函數、解三角形 考點規(guī)范練19 兩角和與差的正弦、余弦與正切公式

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1、考點規(guī)范練19　兩角和與差的正弦、余弦與正切公式 基礎鞏固組 1.計算cos 42°cos 18°-cos 48°sin 18°的結果等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.33 C.22 D.32 答案A　 解析原式=sin48°cos18°-cos48°sin18°=sin(48°-18°)=sin30°=12. 2.已知sin α=55,則sin4α-cos4α的值為(　　) A.-15 B.-35 C.15 D.35 答案B　 解析因為sinα=55,所以sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin

2、2α-cos2α=-cos2α=2sin2α-1=-35. 3.(2018全國1)已知角α的頂點為坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,則|a-b|=(　　) A.15 B.55 C.255 D.1 答案B　 解析∵cos2α=2cos2α-1=23, ∴cos2α=56,sin2α=16, ∴tan2α=15,即tanα=±55.由于a,b的正負性相同, 不妨設tanα>0,即tanα=55, 由三角函數定義得a=55,b=255, 故|a-b|=55.故選B. 4.已知α為銳角,且7sin α=2cos 2α,

3、則sinα+π3=(　　) A.1+358 B.1+538 C.1-358 D.1-538 答案A　 解析由7sinα=2cos2α得7sinα=2(1-2sin2α),即4sin2α+7sinα-2=0,∴sinα=-2(舍去)或sinα=14.∵α為銳角,∴cosα=154,∴sinα+π3=14×12+154×32=1+358,故選A. 5.已知0<α<π2,cosα+π6=-45,則sin(-α)=(　　) A.33+410 B.-33+410 C.-33-410 D.33-410 答案B　 解析∵0<α<π2,∴π6<α+π6<23π,又cosα+π6=-45, ∴s

4、inα+π6=35. sin(-α)=-sinα=-sinα+π6-π6 =-sin(α+π6)cosπ6-cos(α+π6)sinπ6 =-35×32--45×12=-33+410. 故選B. 6.(2017課標Ⅱ高考)函數f(x)=2cos x+sin x的最大值為　　　　　.? 答案5　 解析f(x)≤22+1=5. 7.(2018全國2)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=　　　　　.? 答案-12　 解析由題意sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0, 得(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2 =s

5、in2α+cos2β+2sinαcosβ+cos2α+sin2β+2cosαsinβ =2+2sin(α+β). 則2+2sin(α+β)=1,即sin(α+β)=-12. 8.若sin(π+x)+cos(π+x)=12,則sin 2x=　　　　　,1+tanxsinxcosx-π4=　　　　　.? 答案-34　-823 解析sin(π+x)+cos(π+x)=-sinx-cosx=12,即sinx+cosx=-12,兩邊平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=14,即1+sin2x=14,則sin2x=-34, 由1+tanxsinxcosx-π4=1+sinxcosx

6、22sinx(cosx+sinx)=2sinxcosx=22sin2x=22-34=-823,故答案為-34,-823. 能力提升組 9.若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,則α+β的值是(　　) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4 答案A　 解析因為α∈π4,π,故2α∈π2,2π,又sin2α=55, 故2α∈π2,π,α∈π4,π2, ∴cos2α=-255.β∈π,3π2,故β-α∈π2,5π4, 于是cos(β-α)=-31010, ∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αc

7、os(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×-31010-55×1010=22,且α+β∈5π4,2π,故α+β=7π4. 10.將函數f(x)=sin3π2+x(cos x-2sin x)+sin2x的圖象向左平移π8個單位長度后得到函數g(x)的圖象,則g(x)具有性質(　　) A.在0,π4上單調遞增,為奇函數 B.周期為π,圖象關于π4,0對稱 C.最大值為2,圖象關于直線x=π2對稱 D.在-π2,0上單調遞增,為偶函數 答案A　 解析∵f(x)=sin3π2+x(cosx-2sinx)+sin2x =-cos2x+sin2x+sin2x=sin2x-cos

8、2x =2sin2x-π4,g(x)=2sin2x+π8-π4=2sin2x, ∴g(x)為奇函數,且在0,π4上是增函數.故選A. 11.設f(x)=1+cos2x+sin2x2sinπ2+x+asin (x+π4)的最大值為3,則常數a=(　　) A.1 B.1或-5 C.-2或4 D.±7 答案B 解析f(x)=2cos2x+2sinxcosx2cosx+asinx+π4=2cosx+2sinx+asinx+π4=2sinx+π4+asinx+π4=(a+2)sinx+π4,則|a+2|=3,∴a=1或a=-5.故選B. 12.已知函數f(x)=asin x+bcos x(

9、a≠0)在x=π4處取得最小值,則函數f3π4-x是(　　) A.偶函數且它的圖象關于點(π,0)對稱 B.偶函數且它的圖象關于點3π2,0對稱 C.奇函數且它的圖象關于點(π,0)對稱 D.奇函數且它的圖象關于點3π2,0對稱 答案C　 解析函數f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ)(a≠0)的周期為2π,在x=π4處取得最小值,故有22(a+b)=-a2+b2,即有b=a,∴f(x)=2asinx+π4.則f3π4-x=2asin(π-x)=2asinx.則函數y=f3π4-x為奇函數,對稱中心為(kπ,0),k∈Z,故選C. 13.已知函數f(x)=c

10、os2ωx2+32sin ωx-12(ω>0,x∈R),若函數f(x)在區(qū)間(π,2π)內沒有零點,則ω的取值范圍是(　　) A.0,512 B.0,512∪56,1112 C.0,56 D.0,512∪56,1112 答案D　 解析∵f(x)=122cos2ωx2-1+32sinωx=12cosωx+32sinωx=sinωx+π6,當x∈(π,2π)時,ωx+π6∈ωπ+π6,2ωπ+π6,依題意,ωπ+π6≥kπ2ωπ+π6≤(k+1)π?k-16≤ω≤k2+512,k∈Z,由k2+512>k-16,可得k<76,k=0時,ω∈0,512,當k=1時,ω∈56,1112,所以ω的

11、取值范圍是0,512∪56,1112,故選D. 14.(2018浙江紹興5月模擬)已知函數f(x)=cos2x-sin2x+π6,則fπ6=　　　　　,該函數的最小正周期為　　　　　.? 答案0　π　 解析由題意可得, f(x)=1+cos2x2-1-cos(2x+π3)2 =12cos2x+12cos2xcosπ3-sin2xsinπ3 =-1232sin2x-32cos2x=-32sin2x-π3. 則fπ6=-32sin2×π6-π3=0, 函數的最小正周期為T=2π2=π. 15.已知α,β∈0,π2,且sinβsinα=cos(α+β), (1)若α=π6,則ta

12、n β=　　　　　;? (2)tan β的最大值為　　　　　.? 答案(1)35　(2)24　 解析由sinβsinα=cos(α+β),化簡可得:sinβ(1+sin2α)=12sin2αcosβ,則tanβ=12sin2α1+sin2α. (1)若α=π6,則tanβ=12sinπ31+122=32×121+14=35. (2)∵tanβ=12sin2α1+sin2α=sin2α3-cos2α=--sin2α3-cos2α,看成是圓心為(0,0),半徑r=1的圓上的點與點(3,0)的連線的斜率問題,直線過(3,0),設方程為y=k(x-3),d=r=1,即1=|3k|k2+1,解

13、得k=24.∴tanβ的最大值為24.故答案為:35,24. 16.(2018浙江慈溪中學模擬)若sin α+3cos α=255,α∈-π3,π6,tanβ+π3=4,則tan(α-β)=　　　　　.? 答案-76　 解析由題意可得,sinα+3cosα=2sinα+π3=255, ∴sinα+π3=55,∵α∈-π3,π6, ∴tanα+π3=12, tan(α-β)=tan(α+π3)-(β+π3)=12-41+2=-76. 17.(2018浙江金華十校調研)已知函數f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1. (1)求函數f(x)的最大值及其相應x的取值集合; (2

14、)若π4<α<π2且f(α)=45,求cos 2α的值. 解(1)f(x)=sin2x-π6+2cos2x-1=sin2x·cosπ6-cos2x·sinπ6+cos2x=32·sin2x+12cos2x=sin2x+π6. 即當2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),解得當x=kπ+π6(k∈Z)時,f(x)max=1. 其相應x的取值集合為x|x=kπ+π6,k∈Z. (2)由題意,f(α)=sin2α+π6=45. 由π4<α<π2,得2π3<2α+π6<7π6, 根據同角三角函數基本關系可知cos2α+π6=-35. 因此cos2α=cos(2α+π6)-π6=cos2α+π

15、6·cosπ6+sin2α+π6·sinπ6=-35×32+45×12=-33+410. 18.設函數f(x)=sin2ωx-cos2ωx+23sin ωxcos ωx+λ的圖象關于直線x=π對稱,其中ω,λ為常數,且ω∈12,1. (1)求函數f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的圖象經過點π4,0,求函數f(x)在區(qū)間0,3π5上的取值范圍. 解(1)f(x)=sin2ωx+23sinωx·cosωx-cos2ωx+λ =3sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin2ωx-π6+λ, ∵圖象關于直線x=π對稱,∴2πω-π6=π2+kπ,k∈Z. ∴ω=k2+13,又ω∈12,1,令k=1時,ω=56符合要求, ∴函數f(x)的最小正周期為2π2×56=6π5; (2)∵fπ4=0,∴2sin2×56×π4-π6+λ=0, ∴λ=-2,∴f(x)=2sin53x-π6-2, ∴f(x)∈-1-2,2-2. 7