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1、24.2.2直線與圓的位置關(guān)系（直線與圓的位置關(guān)系（3）切線長定理切線長定理1中小學(xué)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1、切線的判定定理、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。線是圓的切線。2、切線的性質(zhì)歸納、切線的性質(zhì)歸納如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件。這三個(gè)條件是：么它一定滿足第三個(gè)條件。這三個(gè)條件是：(1)過圓心；過圓心；(2)過切點(diǎn)；過切點(diǎn)；(3)垂直于切線。垂直于切線。BOABOA知二求一知二求一2中小學(xué)活活 動(dòng)動(dòng) 一一如圖，紙上有一如圖，紙上有一 O，PA為為 O的一條切
2、線，的一條切線，沿著直線沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為重合的點(diǎn)為B。1、OB是是 O的一條半徑嗎？的一條半徑嗎？2、PB是是 O的切線嗎？的切線嗎？OPAOPAB經(jīng)過圓外一點(diǎn)，可以經(jīng)過圓外一點(diǎn)，可以做圓的做圓的 條切線條切線23中小學(xué)OPAB經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。這點(diǎn)到圓的切線長。切線長概念切線長概念如右圖，線段如右圖，線段PA，PB叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P到到 O的的切線長，對(duì)嗎？切線長，對(duì)嗎？想一想：想一想：切線和切線長是一回事么？切線和切線長是一回事么？4中小學(xué)(1)切
3、線切線是一條與圓相切的直線，不能度量是一條與圓相切的直線，不能度量.(2)切線長切線長是一條線段的長，它是一個(gè)數(shù)量是一條線段的長，它是一個(gè)數(shù)量,可以度量可以度量.OPAB注意：注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念切線和切線長是兩個(gè)不同的概念概念辨析概念辨析5中小學(xué)活活 動(dòng)動(dòng) 二二如圖，紙上有一如圖，紙上有一 O，PA為為 O的一條切線，的一條切線，沿著直線沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為重合的點(diǎn)為B。利用圖形軸對(duì)稱性解釋利用圖形軸對(duì)稱性解釋3、PA、PB有何關(guān)系？有何關(guān)系？4、APO和和 BPO有何關(guān)系？有何關(guān)系？OPAOPABPA=PBAPO=BPO6中小學(xué)OPAB推理
4、論證推理論證已知：從已知：從 O外的一點(diǎn)外的一點(diǎn)P引兩條切線引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是，切點(diǎn)分別是A、B.求證：求證：AP=BP，OPA=OPB證明：連接證明：連接OA，OBPA，PB與與 O相切，相切，點(diǎn)點(diǎn)A，B是切點(diǎn)是切點(diǎn)OAPA，OBPB 即即 OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OPRtAOP RtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB7中小學(xué)切線長定理切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的們的切線長相等切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線，這一點(diǎn)和圓心的連線平平分兩條切線的夾角分兩條切線的夾角。PA、PB分別切分別切 O于于A、BPA=
5、PBOPA=OPB符號(hào)語言符號(hào)語言:歸納歸納：切線長定理為證明：切線長定理為證明線段相等線段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法BOPA8中小學(xué)應(yīng)用新知應(yīng)用新知1、判斷、判斷（1）過一點(diǎn)可以做圓的兩條切線。（）過一點(diǎn)可以做圓的兩條切線。（）（2）切線長就是切線的長。（）切線長就是切線的長。（）2、已知、已知PA、PB與與 O相切相切于點(diǎn)于點(diǎn)A、B，O的半徑為的半徑為2（1）若四邊形）若四邊形OAPB的周的周長為長為10，則，則PA=。（2）若）若APB=60，則則PA=。OPAB332223049中小學(xué)已知：已知：PAPA、PBPB分別與分別與 O切于點(diǎn)切于點(diǎn)AB，連接，連接AB交交OP
6、于點(diǎn)于點(diǎn)M，那么，那么OPOP除了平分除了平分APBAPB以外，還有什么作用？以外，還有什么作用？請(qǐng)說明理由。請(qǐng)說明理由。(1)OP垂直平分垂直平分AB思考思考(3)OP平分平分AOB即即 OPAB，AM=BM即即 AOP=BOP(2)OP平分平分 和和ACBAB切線長定理為證明切線長定理為證明線段相線段相等，角相等，弧相等，垂等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系直關(guān)系提供了理論依據(jù)。提供了理論依據(jù)。APOBMC CD D10中小學(xué)（3）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)）連結(jié)圓心和圓外一點(diǎn)（2）連結(jié)兩切點(diǎn)）連結(jié)兩切點(diǎn)（1）分別連接圓心和切點(diǎn)）分別連接圓心和切點(diǎn)在解決有關(guān)圓的切線長在解決有關(guān)圓的切線長問題時(shí)，往往需要
7、我們問題時(shí)，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。構(gòu)建基本圖形。歸納：作輔助線方法歸納：作輔助線方法APOBM11中小學(xué)練習(xí)：練習(xí)：PA、PB是是 O的兩條切線，的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，為切點(diǎn)，直線直線OP交于交于 O于點(diǎn)于點(diǎn)D、E，交，交AB于于C。ABPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系）寫出圖中所有的垂直關(guān)系OAPA，OB PB，AB OP（2）寫出圖中所有的全等三角形）寫出圖中所有的全等三角形AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP（3）寫出圖中所有的等腰三角形）寫出圖中所有的等腰三角形ABP AOB12中小學(xué) 例：如圖，例：如圖，PAPA、PBPB分別切分別切 O O于于A A、B B
8、，CDCD與與O O切于點(diǎn)切于點(diǎn)E E，分別交，分別交PAPA，PBPB于于C C、D D，已知，已知PA=7cmPA=7cm，求，求PCDPCD的周長的周長C OPBDAE證明：證明：PA PA、DCDC為為O O的切線的切線 DA=DE DA=DE （切線長定理切線長定理）同理可證同理可證 CE=CBCE=CB，PA=PBPA=PB又又C CPCDPCD=PD+PC+CD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PD+PC+DE+CE =PA+PB =PA+PB =7+7 =7+7 =14 cm =14 cm 例題例題13中小學(xué) 下圖是一張三角形的鐵皮，如何在它的上面截下一塊圓形的下
9、圖是一張三角形的鐵皮，如何在它的上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？用料，并且使圓的面積盡可能大呢？CABlCAB活活 動(dòng)動(dòng) 三三14中小學(xué) 假設(shè)符合條件的圓已經(jīng)作出，那么它應(yīng)當(dāng)與三假設(shè)符合條件的圓已經(jīng)作出，那么它應(yīng)當(dāng)與三角形的三邊都相切，這個(gè)圓的圓心到三角形的距角形的三邊都相切，這個(gè)圓的圓心到三角形的距離都等于半徑，如何找到圓心？離都等于半徑，如何找到圓心？CAB15中小學(xué) 三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三條邊的距離相等，因此，如圖，分別作出的距離相等，因此，如圖，分別作出B、C的平分線的平分線BM和和CN，設(shè)他們相交
10、于點(diǎn)，設(shè)他們相交于點(diǎn)I，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)I到到AB、BC、CA的距的距離都相等，以點(diǎn)離都相等，以點(diǎn)I為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)I到到BC的距離的距離ID為半徑做圓，為半徑做圓，則則 I與與ABC的三條邊都相切的三條邊都相切.內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),叫做三角形的叫做三角形的內(nèi)心內(nèi)心.CABIDMNr與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓，16中小學(xué)例例2 如圖如圖 ABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別相切于分別相切于點(diǎn)點(diǎn)D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF
11、、BD、CE的長的長.解解:設(shè)設(shè) AF=x（cm），則），則AE=x，CD=CE=ACAE=13x，BD=BF=ABAF=9x，由由BD+CD=BC可得可得（13x）+（9x）=14.解得解得 x=4cm.因此因此 AF=4（cm），），BD=5（cm），），CE=9（cm）.CABEFOD活活 動(dòng)動(dòng) 四四17中小學(xué)變式：變式：如圖，如圖，RTABC的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓 O與與BC、CA、AB分別分別相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)D、E、F，且，且AB=5cm，BC=13cm，求，求ABC的內(nèi)切圓的半徑長？的內(nèi)切圓的半徑長？CABEFOD直角三角形的兩條直角邊是直角三角形的兩條直角邊是a、b，斜邊為，斜邊為c.
12、其內(nèi)切圓的半徑為：其內(nèi)切圓的半徑為：r=a+b-c/218中小學(xué) 1.如圖，如圖，ABC中中ABC=50ACB=75，點(diǎn)點(diǎn)O是內(nèi)心，求是內(nèi)心，求BOC的讀數(shù)的讀數(shù).解解：BOC=180 （ABC+ACB）12=117.512=180 （50+75）ACBO活活 動(dòng)動(dòng) 五五結(jié)論：結(jié)論：BOC=90+1/2 A19中小學(xué)2.ABC的內(nèi)切圓半徑為的內(nèi)切圓半徑為r，ABC的周長為的周長為l，求，求ABC的面的面積積.（提示：設(shè)內(nèi)心為（提示：設(shè)內(nèi)心為O，連接，連接OA、OB、OC.）CABODMNrrr20中小學(xué)課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、切線長概念、切線長概念經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。2、切線長定理、切線長定理 從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。3 3、切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相、切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。總結(jié)總結(jié)21中小學(xué)
切線長定理公開課1【青苗教育】
