考點(diǎn)45 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、考點(diǎn)45 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型 一、選擇題 1.(·新課標(biāo)全國卷Ⅰ理科·T4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才干通過測試.已知某同窗每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃與否投中互相獨(dú)立,則該同窗通過測試的概率為　(　　) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【解題指南】至少兩次投中通過測試提成兩種狀況,一是投3次有兩次投中通過測試,二是投3次都投中通過測試. 【解析】選A.根據(jù)獨(dú)立反復(fù)實(shí)驗(yàn)公式得,該同窗通過測試的概率為0.62×0.4+0.63=0.648. 2.(

2、·新課標(biāo)全國卷Ⅰ文科·T4)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一種直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中(3,4,5)為一組勾股數(shù),共一種,因此3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為. 3.(·山東高考文科·T7)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一種

3、數(shù)x,則事件“”發(fā)生的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】本題是以對數(shù)函數(shù)為背景的長度之比型幾何概型的計(jì)算. 【解析】選A. 由得，即，故所求概率為. 4. (·陜西高考理科·T11)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為　(　　) A.+ B.- C.- D.+ 【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得. 【解析】選B.由于復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(

4、x,y∈R)且|z|≤1,因此|z|=≤1,即(x-1)2+y2≤1,即點(diǎn)(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部,而y≥x表達(dá)直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形),因此所求概率為弓形的面積與圓的面積之比, 即P==-. 5. (·陜西高考文科·T12)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為　(　　) A.+ B.+ C.- D.- 【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得. 【解析】選C.由于復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1, 因此|z|=≤1,即(x-

5、1)2+y2≤1, 即點(diǎn)(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部, 而y≥x表達(dá)直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形), 因此所求概率為弓形的面積與圓的面積之比, 即P==-. 6. (·湖北高考理科·T7)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≥”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則　(　　) A.p1

6、+dx=(1+ln2), S=1×1=1,由圖知,則p1<

7、在矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型的概率計(jì)算. 【解析】選B.由于四邊形ABCD為矩形,B(1,0)且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直線y=x+1和y=-x+1上,因此C(1,2)和D(-2,2),因此陰影部分三角形的面積S=×3×1=,S矩形=3×2=6,故此點(diǎn)取自陰影部分的概率P==. 9. (·廣東高考文科·T7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其他為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品

8、中任取2件,恰有一件次品的概率為　(　　) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 【解題指南】先對產(chǎn)品標(biāo)號(hào),然后列舉出也許浮現(xiàn)的成果,根據(jù)古典概型概率公式求出所求的概率. 【解析】選B.5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A=“恰有一件次品”,則P(A)==0.6. 二、填空題

9、 10. (·江蘇高考·T5)袋中有形狀、大小都相似的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為　　　　. 【解題指南】列出基本領(lǐng)件,運(yùn)用古典概型的概率公式求解. 【解析】設(shè)4只球分別為白、紅、黃1、黃2,從中一次隨機(jī)摸出2只球,所有基本領(lǐng)件為(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2)、(黃1,黃2),共6個(gè),顏色不同的有(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2),共5個(gè),因此2只球顏色不同的概率為. 答案: 11. （·重慶高考文科·Ｔ15）在區(qū)間上隨機(jī)地選擇一種數(shù)，則方程有兩個(gè)負(fù)根的

10、概率為_________. 【解題指南】一方面根據(jù)題意列出方程有兩個(gè)負(fù)根滿足的條件求出的取值范疇，然后根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式求解. 【解析】方程有兩個(gè)負(fù)根，則 ，解得或 又由于，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式可知 方程有兩個(gè)負(fù)根的概率為 答案： 三、解答題 12．（·安徽高考文科·T17）某公司為理解下屬某部門對本公司職工的服務(wù)狀況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為 （1）求頻率分布圖中的值； （2）估計(jì)該公司的職工對該部門評分不低于80的概率； （3）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此

11、2人評分都在的概率. 【解題指南】對的辨認(rèn)頻率分布直方圖分別求出概率,本題屬于容易題. 【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：（0.004+a+0.018+0.0222+0028）10=1,解得a=0.006; （2）由頻率分布直方圖可知，評分不低于80分的頻率為：（0.022+0.018）10=0.4， 因此該公司的職工對該部門評分不低于80的概率為0.4. （3）受訪職工中評分在的有;(人)，記為; 受訪職工中評分在的有;(人)，記為。 從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有也許的成果共有10種，它們是受訪職工中評分在的有;(人)，記為，，,, ,,,,,,,又由于所 抽

12、取2人的評分都在的成果有1種，即，故所求的概率為。 13. (·北京高考文科·T17)(13分)某超市隨機(jī)選用1000位顧客,記錄了她們購買甲、乙、丙、丁四種食品的狀況,整頓成如下登記表,其中“√”表達(dá)購買,“×”表達(dá)未購買. 商品 顧客人數(shù) 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計(jì)顧客同步購買乙和丙的概率. (2)估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同步購買3種商品的概率. (3)如果顧客購買了

13、甲,則該顧客同步購買乙、丙、丁中哪種商品也許性最大? 【解析】(1)1000位顧客中有200位同步購買乙和丙,因此估計(jì)顧客同步購買乙和丙的概率為 . (2)1000位顧客中有100位同步購買甲丙丁,200位同步購買甲乙丙,因此估計(jì)1000人中同步購買3種商品的概率為。 (3)購買了甲的顧客有100+200+300+85=685位. 則顧客同步購買乙概率為, 同步購買丙的概率為， 同步購買丁的概率為. 因此,顧客購買了甲,則該顧客同步購買丙的也許性最大. 14.(·四川高考文科·T17)一種小客車有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)為

14、1,2,3,4,5,她們按照座位號(hào)順序先后上車,乘客P1因身體因素沒有坐自己座位號(hào),這時(shí)司機(jī)規(guī)定余下的乘客按如下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中選擇座位. (1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其她乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處). 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號(hào) 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其她乘客按規(guī)則

15、就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率. 【解析】(1)當(dāng)乘客P1坐在3號(hào)位置上,此時(shí)P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩余的任何一種座位,即可選1,4,5:①當(dāng)P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩余的,只有一種狀況; ②當(dāng)P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩余的,有兩種狀況; ③當(dāng)P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩余的,有一種狀況.填表如下: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號(hào) 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1

16、 (2)狀況比較復(fù)雜,需要列表,當(dāng)P1坐2位置時(shí),P2位置被占,可選剩余的1,3,4,5座位,下表列出了所有也許 乘 客 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 分別的座位號(hào) 座 位 號(hào) 2 1 3 4 5 2,1,3,4,5 3 4 5 1 2,3,4,5,1 1 5 2,3,4,1,5 1 4 5 2,3,1,4,5 5 4 1 2,3,5,4,1 4 3 1

17、5 2,4,3,1,5 5 1 2,4,3,5,1 5 3 4 1 2,5,3,4,1 綜上,共有8種狀況,P5坐在5號(hào)位置上的狀況有4種,所求概率. 15.(·山東高考文科·T16)(本小題滿分12分) 某中學(xué)調(diào)查了某班所有45名同窗參與書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的狀況,數(shù)據(jù)如表(單位:人) 參與書法社團(tuán) 未參與書法社團(tuán) 參與演講社團(tuán) 8 5 未參與演講社團(tuán) 2 30 (1)從該班隨機(jī)選1名同窗,求該同窗至少參與上述一種社團(tuán)的概率. (2)在既參與書法社團(tuán)又參與演講社團(tuán)的8名同窗中,有5名男同窗,3名女同窗.現(xiàn)從這5名男同窗和3名女同窗中各隨機(jī)選1人,

18、求A1被選中且B1未被選中的概率. 【解題指南】將符合規(guī)定的基本領(lǐng)件一一列出. 【解析】(1)記“該同窗至少參與上述一種社團(tuán)為事件A”,則 因此該同窗至少參與上述一種社團(tuán)的概率為. (2)從5名男同窗和3名女同窗中各隨機(jī)選1人的所有基本領(lǐng)件有,,, ,共15個(gè),其中A1被選中且B1未被選中的有(A1,B2),(A1,B3)共2個(gè),因此A1被選中且B1未被選中的概率為 16.(·天津高考文科·T15)(本小題滿分13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽樣的措施從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員參與比賽. (1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)

19、. (2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參與雙打比賽. ①用所給編號(hào)列出所有也許的成果; ②設(shè)A為事件“編號(hào)為A5,A6的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率. 【解題指南】(1)由分層抽樣措施可知應(yīng)從甲、乙、丙這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2. (2)①一一列舉,共15種;②符合條件的成果有9種,因此 【解析】(1)應(yīng)從甲、乙、丙這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2. (2)①從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2名參與雙打比賽,所有也許的成果為,,,,,,,,,,,,,,,共1

20、5種. ②編號(hào)為的兩名運(yùn)動(dòng)員至少有一人被抽到的成果為,, ,, ,,,,,共9種,因此事件A發(fā)生的概率 17.(·福建高考文科·T18)(本小題滿分12分)全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜合指標(biāo).根據(jù)有關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播某全國性大型活動(dòng)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”融合指數(shù)的數(shù)據(jù),對名列前20名的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組記錄,成果如表所示. 組號(hào) 分組 頻數(shù) 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 (1)現(xiàn)從融合指數(shù)在[4,5)和[7,8]內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研,求至少有

21、1家的融合指數(shù)在[7,8]內(nèi)的概率. (2)根據(jù)分組登記表求這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融臺(tái)指數(shù)的平均數(shù). 【解題指南】(1)列出所有的基本領(lǐng)件,至少有1組在[7,8]組所涉及的基本領(lǐng)件與總的基本領(lǐng)件的比值就是所求.(2)平均數(shù)等于每組的中點(diǎn)值與相應(yīng)的頻率乘積之和. 【解析】措施一:(1)融合指數(shù)在內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3;融合指數(shù)在內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2,從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本領(lǐng)件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{

22、A3,B2},{B1,B2}共10個(gè).其中,至少有1家融合指數(shù)在內(nèi)的基本領(lǐng)件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1}{A3,B2},共9個(gè). 因此所求的概率P=. (2)這20家“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于 4.5×+5.5×+6.5×+7.5×=6.05. 措施二:(1)融合指數(shù)在內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為A1,A2,A3,融合指數(shù)在內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B1,B2,從融合指數(shù)在和內(nèi)的“省級(jí)衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家的所有基本領(lǐng)件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,

23、A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10個(gè).其中,沒有1家融合指數(shù)在內(nèi)的基本領(lǐng)件是:{B1,B2},共1個(gè). 因此所求的概率P=1-=. (2)同措施一. 18. (·陜西高考文科·T19)隨機(jī)抽取一種年份,對西安市該年4月份的天氣狀況進(jìn)行記錄,成果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19

24、 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天,估計(jì)西安市在該天不下雨的概率. (2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一種晴天開始舉辦持續(xù)兩天的運(yùn)動(dòng)會(huì),估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率. 【解題指南】(1)運(yùn)用頻率估計(jì)概率,即得所求. (2)運(yùn)用前一天為晴天的互鄰日期對有16對,其中后一天不下雨的有14個(gè),由頻率估計(jì)概率得值. 【解析】(1)在容量為30的樣本中,不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概率,4月份任選一天,西安市不下雨的概率是. (2)稱相鄰兩個(gè)日期為“互鄰日期對”(如1日與2日,2日與3日等),這樣在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16對,其中后一天不下雨的有14對,因此晴天的次日不下雨的頻率為,以頻率估計(jì)概率,運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊