泰勒公式及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

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1、 目錄 引言. 2 第一章泰勒公式 3 1.1泰勒公式 3 1.2泰勒公式余項(xiàng)的類型 4 第二章泰勒公式的實(shí)際應(yīng)用 5 2.1利用泰勒公式求極限 5 2.2泰勒公式在求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 6 2.3關(guān)于估計(jì)中的應(yīng)用 7 2.4在近似計(jì)算中的應(yīng)用 9 2.5用泰勒公式來證明不等式 9 2.6泰勒公式在積分等式的證明中應(yīng)用 11 總結(jié) 11 參考文獻(xiàn) 12 致謝 13 泰勒公式及其應(yīng)用 摘要：泰勒公式是把比較復(fù)雜的函數(shù)展開成多項(xiàng)式，解釋函數(shù)方面給我們提供更好的方法.本文主要采用舉例分析的方法介紹了泰勒公式在求極限、導(dǎo)數(shù)、近似計(jì)算、不等式的證明、界的估計(jì)等

2、.證明定積分、不等式、求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值方面的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞：泰勒公式； 極限； 高階導(dǎo)數(shù)； 不等式； 定積分. 引言：泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿.18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生.1709年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位.1717年.他以泰勒定理求解數(shù)值方程. 泰勒的主要著作是1715年出版的“正的和反的增量方法”，書內(nèi)以下列形

3、式陳述出他已于1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家）信中首先提出的著名定理——泰勒定理：式內(nèi)V為獨(dú)立變量的增量，及為流數(shù).他假定Z隨時(shí)間均勻變化，則為常數(shù).上述公式以現(xiàn)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里—牛頓插值公式發(fā)展而成的，當(dāng) x=0 時(shí)便稱作馬克勞林定理.1772年，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證明當(dāng)中并沒有考慮級(jí)數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)，這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成. 泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展開成冪級(jí)數(shù)；同時(shí)亦使泰勒成了有限差分理論奠基者.泰勒于書中還討論了微積分對(duì)一系列物品問題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的

4、橫向振動(dòng)之結(jié)果尤為重要.他透過求解方程導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了弦振問題之先河.此外，此書還包括了他于數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等. 第一章泰勒公式 1.1泰勒公式 對(duì)于一元函數(shù)，如果它在點(diǎn)處及其附近存在直到階的導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)附近可以表達(dá)成 . 這就是泰勒公式，其中稱為泰勒余項(xiàng)，它有多種表達(dá)式.泰勒公式為一元函數(shù)的分式提供了一個(gè)非常有力的工具，它使得人們可以用高階導(dǎo)數(shù)更精細(xì)地刻畫函數(shù).它是一元函數(shù)微分學(xué)的重要內(nèi)容之一. 與此類似，對(duì)于多元函數(shù)，也可以給出泰勒公式. 定理：設(shè)函數(shù)定義于中的某個(gè)區(qū)域上.點(diǎn)并且于點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)存在直到

5、階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)附近有 其中,并且， 余項(xiàng)有漸近表達(dá)式 ， 其中，微分表達(dá)式 ， 其中，積分表達(dá)式 已知一個(gè)函數(shù)，如何把它表示成我們所需要的多項(xiàng)式呢？先考慮多項(xiàng)式函數(shù) 它具有任意階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算可知.這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)同它的各階導(dǎo)數(shù)之間有如下的關(guān)系； 如果把這個(gè)多項(xiàng)式按照的冪式重新寫出來，即 ， 則系數(shù)同的各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系經(jīng)過計(jì)算易知為 : . 再考慮是一般的函數(shù)．設(shè)它在點(diǎn)具有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，這時(shí)總可以作出如下的多項(xiàng)式 . 如果已給函數(shù)是次多項(xiàng)式，那么由上面的討論，與完全相同，因而對(duì)的研究可以用對(duì)的研究來代替.是用及

6、其各階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的數(shù)值來表示的另一個(gè)多項(xiàng)式，稱其為多項(xiàng)式的泰勒公式. 泰勒定理：若函數(shù)滿足如下條件： （１） 在閉區(qū)間上函數(shù)存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)， （２） 在開區(qū)間內(nèi)存在的的階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任何，且，至少存在一點(diǎn)，使得式 . 泰勒中值定理：若函數(shù)在開區(qū)間有直到 階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以展開為一個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式和一個(gè)余項(xiàng)的和： 其中 這里在 和之間，該余項(xiàng)稱為拉格朗日型的余項(xiàng). 1.2泰勒公式余項(xiàng)的類型 泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類，一類是定性的，一類是定量的，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.定性的余項(xiàng)如佩亞諾型余項(xiàng)，僅表示余項(xiàng)是比（當(dāng)時(shí)）高階的無窮小.如，表示當(dāng)時(shí)，用近似，誤差（余

7、項(xiàng)）是比高階的無窮小.定量的余項(xiàng)如拉格朗日型余項(xiàng)（也可以寫成）、柯西余項(xiàng)（如在某些函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開時(shí)用）.定量的余項(xiàng)一般用于函數(shù)值的計(jì)算與函數(shù)形態(tài)的研究. （1）帶有佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn),有 當(dāng)時(shí), 上式稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.即 （2）帶有拉格朗日(Lagrange)型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù), 則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn), 有 (介于與之間）. 第二章泰勒公式的實(shí)際應(yīng)用 2.1利用泰勒公式求極限 為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某巧的泰勒展開式來代替該項(xiàng)，使得原來函

8、數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能簡(jiǎn)捷，用泰勒公式計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是利用等價(jià)無窮小的代替來計(jì)算極限，我們知道當(dāng)?shù)?，這種等式價(jià)無窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展開式至一次項(xiàng)，有些問題用泰勒公式和我們已經(jīng)熟知的等價(jià)無窮小法相結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡(jiǎn)化. 例1.求極限 解：當(dāng)時(shí)，，因此 這說明 用泰勒公式可以估計(jì)無窮小量的階，從而計(jì)算一些極限. 例2.求極限 解： 2.2泰勒公式在求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 利用函數(shù)的泰勒公式（級(jí)數(shù)）展開式，求函數(shù)在一點(diǎn)出的高階導(dǎo) 例3.設(shè)在上三次可到，試證：，使得 分析 這與泰勒公式有一定的差別，我們分析其差別可以找到問題解決的途徑. 式

9、（1）中有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這就使我們以為，要用泰勒公式去解決此問題時(shí)，必須將函數(shù)在 處展開，而取或有望處理（1）項(xiàng)中的三項(xiàng)，只剩一項(xiàng)三階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)留待處理.這樣，我們便有， 分別取，得 由式（3）、式（4）得 顯然 ， 在 與 之間 . 由導(dǎo)數(shù)的介值定理知使得 代入式（5） 即得證. 例4.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且在上有，，求證：在上有. 分析 這里涉及到的一階，二階及函數(shù)本身的關(guān)系問題，這類問題借助于泰勒公式處理較為方便.由于問題中具有二階可導(dǎo)性，可以用帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式.注意到拉格朗日型泰勒公式成立的范圍：可以取到閉區(qū)間的端點(diǎn). 這樣就有，時(shí)，

10、， 在，之間.取得 ，.（1） ，.（2） 由式（1）與式（2）得 利用三角不等式式（3）即可得之. 2.3關(guān)于估計(jì)中的應(yīng)用 在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)往往都是些近似值，帶有誤差.這些數(shù)據(jù)誤差在多次運(yùn)算過程中會(huì)進(jìn)行傳播，使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差.而確定計(jì)算結(jié)果所能達(dá)到的精度，顯然是十分重要的，但這往往也是件很困難的事.不過，我們對(duì)計(jì)算誤差做出一定的定量估計(jì)還是可以做到的.這里介紹一種常用的誤差估計(jì)的一般公式，它是利用函數(shù)的泰勒展開的到的. 先從較簡(jiǎn)單的二元函數(shù)開始.設(shè)和分別是和的近似值，是函數(shù)值的近似值，且 . 函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開式為 式中，和一般都是

11、小量，如果忽略高階小量，即高階的 和，則上式可簡(jiǎn)化 因此，的絕對(duì)誤差 式中，和前面的系數(shù)和分別是和對(duì)的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差和經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù). 由式可得出的相對(duì)誤差 式中，和前面的系數(shù)和分別是和對(duì)的絕對(duì)誤差增長(zhǎng)因子，它們分別表示絕對(duì)誤差和經(jīng)過傳播后增大或縮小的倍數(shù). 例5.設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，時(shí)，試證：當(dāng)時(shí). 證： 所以 所以. 2.4在近似計(jì)算中的應(yīng)用 例6.計(jì)算的近似值，要求誤差不超過. 解： 為了誤差不超過，我們應(yīng)該取為多??？由于 ， 而，故取. 這樣， 實(shí)際上，，所以這樣得到的的近似值滿足誤差要

12、求. 例7．計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位. 解：注意到 其中，且余項(xiàng) 故 精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位得 . 2.5用泰勒公式來證明不等式 在高等數(shù)學(xué)中，常常要證明一些不等式，而且證明不等式的方法很多，在證明不等式時(shí)以得用泰勒公式，應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇要展開的函數(shù)，在那一點(diǎn)的領(lǐng)域?qū)⒑瘮?shù)展開，展開的階次及余項(xiàng)形式，根據(jù)不同層次，不同水平，不同興趣，學(xué)生的需要，寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的泰勒公式，根據(jù)所給的高階導(dǎo)數(shù)的大小或上下界對(duì)展開式進(jìn)行縮放. 例8.設(shè)，證明 證明：令，因?yàn)? 應(yīng)用泰勒公式知，存在使 注意到此處所以. 例9.設(shè)在二次可導(dǎo)，而且，

13、試求存在 ，使. 證：由于在的最小值不等于在區(qū)間端點(diǎn)的值，故在內(nèi)存在，使，由費(fèi)馬定理知，.又 （介于與之間）由于，不令和，有所以.當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，可見與中必有一個(gè)大于或等于8. 例10.用泰勒公式證明： 證：設(shè)，則，， 即.取，得，，得，，得.將不等式兩邊相加，得取，則在，，之間，故 ，即. 2.6泰勒公式在積分等式的證明中應(yīng)用 （1）作輔助函數(shù). （2）將在所需點(diǎn)處進(jìn)行泰勒公式展開. （3）對(duì)了泰勒公式余項(xiàng)作使用處理. 例11.設(shè)函數(shù)在在上具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，證明在內(nèi)存在一點(diǎn)，使得 證：令，則有在處的二階泰勒公式為： 其中在與之間.分別將代入上式，并

14、相減，則得 其中分別在與與之間不妨，設(shè)則考慮到的連續(xù)性反介值定理，可知之間至少存在一個(gè)使 故 總結(jié) 我們利用泰勒公式無論教學(xué)上的問題或者實(shí)際科學(xué)計(jì)算上的有些復(fù)雜的問題可以解決.我在這篇論文中利用泰勒公式討論了比較復(fù)雜的函數(shù)展開成多項(xiàng)式，求極限、導(dǎo)數(shù)、估計(jì)計(jì)算，證明積分等式、不等式等問題.我在寫這篇論文過程當(dāng)中感覺到自己重新學(xué)一遍數(shù)學(xué)分析中的關(guān)于泰勒公式內(nèi)容我在這篇論文中利用泰勒公式討論了求極限、導(dǎo)數(shù)、估計(jì)計(jì)算，證明積分等式、不等式等問題.我知道，我的這篇論文不是寫的各位老師想象中的那么好.但是我希望各位老師多一點(diǎn)指教. 參考文獻(xiàn) [1] 馬富明，高文杰.數(shù)學(xué)分析，第二

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