（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 綜合創(chuàng)新備選）第八篇《第51講 立體幾何中的向量方法——求空間角與距離》理（含解析） 蘇教版（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021高考總復(fù)習(xí)江蘇專用理科：第八篇?第51講 立體幾何中的向量方法(2)求空間角與距離?根底達(dá)標(biāo)演練+綜合創(chuàng)新備選，含解析A級(jí)根底達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘總分值：80分)一、填空題(每題5分，共35分)1如下圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1上的動(dòng)點(diǎn)，那么直線NO、AM的位置關(guān)系是_ 解析建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，那么A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，那么直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直答案異面垂直2在正方體ABCDA1B1C1D1中，M

2、、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，那么sin，的值為_解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，那么異面直線BC1與AE所成角的余弦值為_解析建立坐標(biāo)系如圖，那么A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案4(2021全國卷改編)直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，點(diǎn)B，BDl，

3、D為垂足，假設(shè)AB2，ACBD1，那么CD_.解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，由條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)且FBBC，那么GB與EF所成的角為_解析如圖建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，由條件G，B，E，F(xiàn)，cos，0，那么.答案906正四棱錐S ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SOOD，那么直線BC與平面PAC的夾角的大小為_解析如下圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，那么A(a,0,0)，B(0，a,0

4、)，C(a,0,0)，P.那么(2a,0,0)，(a，a,0)設(shè)平面PAC的法向量為n，可求得n(0,1,1)，那么cos，n.，n60，直線BC與平面PAC的夾角為906030.答案307(2021全國卷改編)點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，那么面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1由條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為由令y1，z3，x1，那么n(1,1，3)平面ABC的法向量為m(0,0，1)cos cosn，m，

5、tan .答案二、解答題(每題15分，共45分)8如圖，四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)(1)證明：PEBC；(2)假設(shè)APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值解以H為原點(diǎn)，HA、HB、HP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，那么A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)證明設(shè)C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，那么D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因?yàn)?0，所以PEBC.(2)由條件及(1)可得m，n1，那么P(0,0,1)，(1,0,1)由(1)知為面PE

6、H的一個(gè)向量，因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.9如下圖，在四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)證明：ADCE；(2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形，求二面角CADE的大小(1)證明取BC中點(diǎn)O，連接AO，那么AOBC由條件AO平面BCDE，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，那么A(0,0，t)，D(1，0)C(1,0,0)，E(1，0)，(1，t)(2，0)那么0，因此ADCE.(2)解作CFAD垂足為F，連接EF，那么AD平面CEF從而EFAD那么CFE為二面角CADE的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中，EF，cosCF

7、E.二面角C-AD-E的余弦值為.10(2021揚(yáng)州調(diào)研)如圖，在三棱錐PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點(diǎn)，求二面角ABEF的余弦值解如圖，以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，那么B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(xiàn)(2，2，2)因?yàn)镻B平面ABC，所以PBAC.又ACCB，所以AC平面PBC.所以ACPC.所以EFPC. 又BEPC，所以PC平面BEF.而(0,4，4)，所以平面BEF的一個(gè)法向量n1(0,1，1)設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量n2(x，y，z

8、)，那么取x1，那么平面ABE的一個(gè)法向量n2(1，1,1)所以cosn1，n2.由圖知二面角ABEF的平面角為銳角所以二面角ABEF的平面角的余弦值為.B級(jí)綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：40分鐘總分值：90分)一、填空題(每題5分，共15分)1如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MPMC，那么點(diǎn)M 在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為_ 解析以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖：設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，那么P，C(0，a,0)，那么MC，MP.由MPMC得x2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD

9、內(nèi)的軌跡為直線yx的一局部答案2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)APC最大時(shí)，三棱錐PABC的體積為_解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如下圖)設(shè)B，可得：P(，)再由cos APC可求得當(dāng)時(shí)，APC最大故VPABC11.答案3P是二面角AB棱上的一點(diǎn)，分別在、平面上引射線PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小為_解析不妨設(shè)PMa，PNb，如圖，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小為90

10、.答案90二、解答題(每題15分，共75分)4(2021南京模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，A1A，M是CC1的中點(diǎn)(1)求證：A1BAM；(2)求二面角B AMC的平面角的大小(1)證明以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，如下圖，那么B(1,0,0)，A(0，0)，A1(0，)，M.所以(1，)，.因?yàn)?0()()()0，所以A1BAM.(2)解因?yàn)锳BC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.因?yàn)锳CB90，即BCAC，所以BC平面ACC1，即BC平面AMC

11、.所以是平面AMC的一個(gè)法向量，(1,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BAM的一個(gè)法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z2.所以n(，2)因?yàn)閨1，|n|2，所以cos，n，因此二面角B AMC的大小為45.5(2021蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研)如圖，正方體ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別在棱AA1和CC1上(含線段端點(diǎn))(1)如果AEC1F，試證明B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)在(1)的條件下，是否存在一點(diǎn)E，使得直線A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，確定點(diǎn)E的位置；如果不存在，試說明理由(1)證明以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸

12、建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AEGFt. 那么B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(xiàn)(1,1,1t)，其中0t1.那么(1,0，t)，所以BEFD1.所以B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)解(1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面BFE的法向量n(t，t1,1)，假設(shè)直線A1B與平面BFE所成的角等于，那么有sin，即，解得t0，所以點(diǎn)E存在，且坐標(biāo)為E(0,0,0)，即E在頂點(diǎn)A處6(2021南通調(diào)研)在正方體ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1EEO.(1)假設(shè)1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；(2)假設(shè)平面

13、CDE平面CD1O，求的值解(1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以，為單位正交基底建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D xyz.那么A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，(1)由題意知E.于是，(0，1,1)由cos，.所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面CD1O的法向量為m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，那么E，.又設(shè)平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因?yàn)槠矫鍯DE平面CD1O，所以mn0，得2.7(2021常州調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，

14、PB底面ABCD，ABBC，ADBC，ABAD2，CDPD，異面直線PA和CD所成角等于60. (1)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角ABED的余弦值為？假設(shè)存在，指出點(diǎn)E在棱PA上的位置；假設(shè)不存在，說明理由解如圖，以B為原點(diǎn)，BA，BC，BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCa，BPb，那么B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)P(2,2，b)，C(2,2a,0)，CDPD，CP0.442a0，a4.又P(2,0，b)，C(2，2,0)，異面直線PA和CD所成角等于6

15、0，即，解得b2.(1)P(0,4，2)，A(0,2,0)，P(2,0，2)設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n1(x1，y1，z1)，那么由得取n1(1,0,1)，sin ，直線PC和平面PAD所成角的正弦值為.(2)假設(shè)存在，設(shè)PP，且E(x，y，z)，那么(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)設(shè)平面DEB的一個(gè)法向量為n2(x2，y2，z2)，那么由得取n2(1,1，)，又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合題意)存在這樣的E點(diǎn)，E為棱PA上的靠近A的三等分點(diǎn)8(2021山東)如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AE

16、BC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形 (1)求證：平面PCD平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD所成角的大??；(3)求四棱錐PACDE的體積(1)證明在ABC中，因?yàn)锳BC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458，因此AC2，故BC2AC2AB2，所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一因?yàn)镻AB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PBABCD，所以點(diǎn)B到平面PCD的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的

17、距離，由于平面PCD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC邊上的高為2，此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離所以B到平面PCD的距離為h2.設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，那么sin .又，所以.法二由(1)知AB，AC，AP兩兩相互垂直，分別以AB、AC、AP為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2.又AC2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)因?yàn)锳CED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因?yàn)锳E2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所

18、以D(，2，0)因此(0，2，2)，(，0,0)設(shè)m(x，y，z)是平面PCD的一個(gè)法向量，那么m0，m0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)又(2，0,2)，設(shè)表示向量與平面PCD的法向量m所成的角，那么cos ，所以，因此直線PB與平面PCD所成的角為.(3)解因?yàn)锳CED，CDAC，所以四邊形ACDE是直角梯形因?yàn)锳E2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四邊形ACDE 3.又PA平面ABCDE，所以VPACDE322.高效能學(xué)習(xí)的八大學(xué)習(xí)方法方法一：目 標(biāo) 激 勵(lì)法 成就天才的必備素質(zhì)就是遠(yuǎn)大志

19、向，明確目標(biāo)，勤奮刻苦，持之以恒，百折不撓。作為一名學(xué)生，要想在學(xué)習(xí)的道路上一路高歌，戰(zhàn)勝各科學(xué)習(xí)困難，在考試中脫穎而出，就必須樹立遠(yuǎn)大的理想，制定明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)和切實(shí)可行的方案，在日常學(xué)習(xí)中勤奮苦學(xué)，孜孜不倦，持之以恒，面對(duì)學(xué)習(xí)中上的挫折，百折不撓，勇往直前，并掌握一套正確的學(xué)習(xí)方法，科學(xué)合理地安排好自己的時(shí)間，只有這樣，才能到達(dá)成功的理想此岸。 方法二：統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法正像建造樓房先要有圖紙，打仗先要有部署一樣，成功有效的學(xué)習(xí)也必須制定好一套切實(shí)可行的方案。所謂統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法，就是學(xué)習(xí)者為到達(dá)一定的學(xué)習(xí)目標(biāo)，根據(jù)主客觀條件而制訂學(xué)習(xí)步驟的一種學(xué)習(xí)方法。統(tǒng)籌方案學(xué)習(xí)法包括四個(gè)方面：一是學(xué)習(xí)目標(biāo)

20、，二是學(xué)習(xí)內(nèi)容，三是時(shí)間安排，四是保證落實(shí)的措施。只有綜合考慮這四個(gè)方面，才能訂出切實(shí)可行的規(guī)劃。同時(shí)方案要因人而異，因事而異，并根據(jù)執(zhí)行情況，適當(dāng)及時(shí)調(diào)整。方法三：興趣引導(dǎo)法使學(xué)習(xí)興趣化，是獲取成功的特別重要的法那么。有的同學(xué)雖然很努力地學(xué)習(xí)，但是卻對(duì)學(xué)習(xí)沒有興趣。但凡這種情況，學(xué)習(xí)效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千萬不要只知道積極地去學(xué)，光臨著學(xué)，傻學(xué)，而要想方法培養(yǎng)自己的興趣。只有將學(xué)習(xí)積極性轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)興趣之后，你才有可能實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效率的飛躍。方法四：高效率學(xué)習(xí)法 作為學(xué)生，誰能夠高效地管理時(shí)間，科學(xué)地利用時(shí)間，抓住時(shí)間的脈搏，誰就能創(chuàng)造學(xué)業(yè)的成功，成就人生的輝煌。愛時(shí)間就是

21、愛生命，愛生命的每一局部。誰把握住時(shí)間，誰就擁有一切。時(shí)間就是生命?！耙粋€(gè)人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已經(jīng)過去，永不復(fù)返；今天已經(jīng)和你在一起，但很快就會(huì)過去；明天就要到來，但也會(huì)消失。抓緊時(shí)間吧，一生只有三天！現(xiàn)在是你們?nèi)松狞S金時(shí)期，也是學(xué)習(xí)知識(shí)、吸取知識(shí)最有效率的時(shí)期，你們應(yīng)善于管理時(shí)間珍惜時(shí)間，不虛度年華，使生命失去原本的燦爛光榮。方法五：刨根質(zhì)疑學(xué)習(xí)法 學(xué)習(xí)的過程是由一個(gè)“無疑有疑解疑無疑不斷循環(huán)往復(fù)的過程。學(xué)須善思，思后存疑，疑后問，問后知。所以，我們?cè)谌粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)過程中，要善于思考，培養(yǎng)“凡事問一個(gè)為什么的習(xí)慣。作為一個(gè)學(xué)生，我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)，同時(shí)又要

22、虛心求教，不恥下問，不懂的問題多問老師，向同學(xué)請(qǐng)教。積極參加各種有關(guān)學(xué)習(xí)的交談、討論、學(xué)習(xí)興趣小組，創(chuàng)設(shè)一個(gè)與別人交流的良好平臺(tái)，合作解決問題。方法六：筆 記 學(xué) 習(xí)法筆墨學(xué)習(xí)法又稱筆記法，是利用記筆記學(xué)習(xí)的一種方法。在日常的讀書、聽課、復(fù)習(xí)的時(shí)候，對(duì)有一定價(jià)值和意義的材料、知識(shí)點(diǎn)、問題迅速及時(shí)地標(biāo)記出來，記下來，然后整理成筆記，這對(duì)于穩(wěn)固知識(shí)，積累材料，提高學(xué)習(xí)成績(jī)都具有十分重要的意義。方法七：全 面 預(yù) 習(xí)法打無準(zhǔn)備的仗必輸，沒有預(yù)習(xí)的功課一定不會(huì)好。要想有一個(gè)高效的課堂學(xué)習(xí)，必須牢牢抓住課前預(yù)習(xí)這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。常言道：“凡事預(yù)那么立，不預(yù)那么廢?！邦A(yù)，即準(zhǔn)備。預(yù)習(xí)就是在教師講課之前，學(xué)生閱

23、讀教材及相關(guān)的內(nèi)容，為新課學(xué)習(xí)做好必要的知識(shí)準(zhǔn)備。我們?cè)陬A(yù)習(xí)的時(shí)候，要大體了解書本內(nèi)容，思考重點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)，注意方法，增強(qiáng)預(yù)習(xí)的主動(dòng)性、針對(duì)性，培養(yǎng)良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣。方法八：高 效 聽 課法 一個(gè)人的學(xué)生時(shí)代，大局部的學(xué)習(xí)時(shí)間是在課堂中度過的。在短短的十幾年時(shí)間里每個(gè)學(xué)生幾乎接受和繼承了人類幾千年所積累的知識(shí)中最根本、最精華的局部，由此可見課堂學(xué)習(xí)的重要性。一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的好壞，成績(jī)的上下，關(guān)鍵在于課堂學(xué)習(xí)。充分利用每一節(jié)課的45分鐘，高效學(xué)習(xí)，對(duì)提高學(xué)習(xí)質(zhì)量將產(chǎn)生巨大的影響。專家認(rèn)為，要想聽好一節(jié)課，課前必須從身心、知識(shí)、物質(zhì)上做好充分準(zhǔn)備，在上課時(shí)力求做到“五到，即耳到、眼到、口到、心到、手到；專心致志，勤于思考，思維與老師合拍。同時(shí)，上課時(shí)勇于發(fā)言，積極參加討論，有時(shí)機(jī)多動(dòng)手、多實(shí)踐，做好筆記，才能有效地把握課堂，把課堂變成自己學(xué)習(xí)的主戰(zhàn)場(chǎng)。