七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 豐富的圖形世界1.2《展開(kāi)與折疊》學(xué)案1（無(wú)答案）（新版）北師大版

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1、 1.2 展開(kāi)與折疊 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：? 1． 通過(guò)折疊幾何體，發(fā)展學(xué)生空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。 2． ?2．能根據(jù)展開(kāi)圖判斷和制作簡(jiǎn)單的立體模型。? 3．經(jīng)歷和體驗(yàn)圖形的變化過(guò)程，體會(huì)幾何體與它的展開(kāi)圖之間的關(guān)系。? 【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】：? ????利用模型將展開(kāi)圖折疊成幾何體是重點(diǎn)。? 【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】：不用模型，展開(kāi)想象，由展開(kāi)圖怎樣疊成幾何體。 基礎(chǔ)知識(shí) 1．棱柱的表面展開(kāi)圖 棱柱是由兩個(gè)完全相同的多邊形底面和一些長(zhǎng)方形側(cè)面圍成的．沿棱柱表面不同的棱剪開(kāi)就可以得到不同的表面展開(kāi)圖．如圖是棱柱的一種展開(kāi)圖． 棱柱的表面展開(kāi)圖是兩個(gè)完全相同的多邊形(底面)和幾個(gè)長(zhǎng)

2、方形(側(cè)面)． 【例題點(diǎn)撥1】 如圖，請(qǐng)你在橫線上寫(xiě)出哪種立體圖形的表面能展開(kāi)成下面的圖形． 解析： (1) 三棱柱 兩個(gè)底面是三角形 (2) 六棱柱 兩個(gè)底面是六邊形 (3) 長(zhǎng)方體 兩個(gè)底面是長(zhǎng)方形 (4) 三棱柱 兩個(gè)底面是三角形 答案：三棱柱 六棱柱 長(zhǎng)方體 三棱柱 2．圓柱、圓錐的表面展開(kāi)圖 (1)圓柱的表面展開(kāi)圖 沿著圓柱的一條高把圓柱剪開(kāi)，就得到圓柱的表面展開(kāi)圖．圓柱的表面展開(kāi)圖是兩個(gè)圓(底面)和一個(gè)長(zhǎng)方形(側(cè)面)，如圖所示． 如果兩個(gè)底面圓在長(zhǎng)方形的同一側(cè)(如圖所示)，折疊后上端沒(méi)有底，下端有兩個(gè)底，則它不能折疊成圓柱．

3、 (2)圓錐的表面展開(kāi)圖 如圖所示，圓錐的表面展開(kāi)圖是一個(gè)圓(底面)和一個(gè)扇形(側(cè)面)． 【例題點(diǎn)撥2】 如圖所示圖形都是幾何體的展開(kāi)圖，你能說(shuō)出這些幾何體的名稱嗎？ 分析：主要根據(jù)頂點(diǎn)、棱、面的數(shù)量及側(cè)面展開(kāi)圖的形狀進(jìn)行判斷． 解：圓錐、圓柱、五棱柱． 3．平面圖形的折疊 平面圖形沿某些直線折疊可以圍成一定形狀的立體圖形，與立體圖形展開(kāi)成平面圖形是一個(gè)互逆過(guò)程．我們已經(jīng)見(jiàn)過(guò)很多平面圖形了，但并不是所有的平面圖形都能折成幾何體． 根據(jù)平面展開(kāi)圖判斷立體圖形的方法： (1)能夠折疊成棱柱的特征： ①棱柱的底面邊數(shù)＝側(cè)面的個(gè)數(shù)． ②棱柱的兩個(gè)底面要分別在側(cè)面展開(kāi)圖的兩側(cè)

4、． (2)圓柱的表面展開(kāi)圖一定是兩個(gè)相同的圓形和一個(gè)長(zhǎng)方形． (3)圓錐的表面展開(kāi)圖一定是一個(gè)圓形和一個(gè)扇形． (4)能夠折疊成正方體的特征： ①6個(gè)面都是完全相同的正方形． ②正方體展開(kāi)圖連在一起的(指在同一條直線上的)正方形最多只能為4個(gè)． ③以其中1個(gè)為底面，前、后、左、右、上面都有，且不重疊． 4．正方體展開(kāi)圖上的數(shù)字問(wèn)題 正方體是立體圖形的展開(kāi)與折疊的代表圖形，與正方體的展開(kāi)圖有關(guān)的數(shù)字問(wèn)題主要是相對(duì)面的找法，確定了三組相對(duì)面，數(shù)字問(wèn)題便可迎刃而解． 正方體的平面展開(kāi)圖共有11種，可分為四類： (1)1－4－1型 相對(duì)面的確定：①第一行與第三

5、行的正方形是相對(duì)面；②中間一行的4個(gè)正方形中，相隔一個(gè)是相對(duì)面． (2)1－3－2型 相對(duì)面的確定：①第一行的正方形與第三行的左邊第1個(gè)正方形是相對(duì)面；②中間一行第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；第2個(gè)與第三行第2個(gè)為相對(duì)面． (3)2－2－2型 相對(duì)面的確定：①第一行的第1個(gè)與第二行的第2個(gè)是相對(duì)面；②第二行第1個(gè)與第三行的第2個(gè)是相對(duì)面；③第三行的第1個(gè)與第一行的第2個(gè)為相對(duì)面． (4)3－3型 相對(duì)面的確定：①第一行的第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；②第二行的第1個(gè)與第3個(gè)為相對(duì)面；③第一行的第2個(gè)與第二行的第2個(gè)為相對(duì)面． 【例題點(diǎn)撥3－1】 如圖所示，哪些圖形經(jīng)過(guò)折疊可以圍成

6、一個(gè)棱柱？ 分析：(1)底面是四邊形，側(cè)面有3個(gè)，顯然與三棱柱、四棱柱的特征不符；(3)的兩個(gè)底面在側(cè)面同側(cè)，折疊后也不能圍成棱柱；(2)(4)折疊后可以圍成棱柱． 解：(2)(4)可以． 【例題點(diǎn)撥3－2】 生活中我們經(jīng)常可以見(jiàn)到各種各樣的包裝盒，你能用線將圖中的實(shí)物和它的平面展開(kāi)圖連接起來(lái)嗎？ 分析：根據(jù)能折疊成不同幾何體的特征去判斷即可． 解：如圖所示． 【例例題點(diǎn)撥4－1】 如圖所示，假定用A，B表示正方體相鄰的兩個(gè)面，用字母C表示與A相對(duì)的面，請(qǐng)?jiān)谙旅娴恼襟w展開(kāi)圖中填寫(xiě)相應(yīng)的字母． 分析：先判斷屬于哪種類型，再確定相對(duì)面．前三種的相對(duì)面都是隔一個(gè)即可；

7、第四種的A與上面第一行中的第2個(gè)是相對(duì)面． 解：如圖所示． 【例例題點(diǎn)撥4－2】 要使圖中平面展開(kāi)圖按虛線折疊成正方體后，相對(duì)面上兩個(gè)數(shù)之和為6，則x＝__________，y＝__________. 解析：這里關(guān)鍵是要找到相對(duì)的面，折疊之后可知，x與1相對(duì)，所以x＝5，y與3相對(duì)，所以y＝3. 答案：5 3 【例例題點(diǎn)撥4－3】 小麗制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒(如圖所示)，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開(kāi)圖可能是( )． 解析：這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖屬于1－4－1型的，根據(jù)規(guī)律可知，第一行的與第三行的為相對(duì)面，中間一行的第1個(gè)與第3個(gè)、第2

8、個(gè)與第4個(gè)為相對(duì)面，故應(yīng)選A. 答案：A 5．表面展開(kāi)圖的應(yīng)用 正方體與圖案 正方體前面、上面、右面有不同的圖案，按不同的類型展開(kāi)后，其圖案也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化．根據(jù)展開(kāi)圖判斷是否與模型對(duì)應(yīng)的方法： (1)三個(gè)面上的不同圖案不會(huì)對(duì)立，所以可排除三種圖案對(duì)立的情況； (2)位置判斷：相鄰三個(gè)面的圖案位置是否一致．當(dāng)前面和上面的圖案確定位置后，另一個(gè)圖案是在左面還是右面，圖案放置的角度是否正確． 【例5】 圖中給出的是哪個(gè)正方體的展開(kāi)圖？( )． 解析：顯然帶有黑色的面是相對(duì)的面，所以A，B錯(cuò)誤．又因?yàn)閮蓚€(gè)黑色小正方形應(yīng)該是相對(duì)的，所以選D. 答案：D 基本

9、方法 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.下列第二行的哪種幾何體的表面能展開(kāi)成第一行的平面圖形？請(qǐng)對(duì)應(yīng)連線。 2.下列說(shuō)法中正確的是 （ ） A、正方體是四面體 B、棱錐的底面一定是四邊形 C、長(zhǎng)方體是四棱柱，四棱柱是長(zhǎng)方體 D、圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形 1.有上圖每個(gè)圖形都是由6個(gè)全等的正方形組成的，其中不是正方體的展開(kāi)圖的是（ ） A　　　　　 B　　　 　C　　　　　　D 3.將左邊的正方體展開(kāi)能得到的圖形是 （ ）

10、 A B C D 4. 如左上圖是一個(gè)正四面體，它的四個(gè)面都是正三角形，現(xiàn)沿它的三條棱AC、BC、CD剪開(kāi)展成平面圖形，則所得的展開(kāi)圖是（ ） 5. 請(qǐng)你至少畫(huà)出同一個(gè)三棱柱的三種表面展開(kāi)平面圖． 6.如圖（1）是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開(kāi)圖，小正方體從圖（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，這時(shí)小正方體朝上一面的字是（ ） A．奧 B．運(yùn) C．圣 D．火 迎 接 奧 運(yùn) 圣 火 圖1 迎 接 奧 1 2

11、 3 圖2 5、下列圖形是某些幾何體的平面展開(kāi)圖，說(shuō)出這些幾何體的名稱： 6.圖3.3-4由六個(gè)正方形組成，將它們折疊可以組成一個(gè)正方體，正方體的表面編數(shù)碼為1、2、3、4、5、6。有3個(gè)面上的數(shù)字漏寫(xiě)了，如果每一對(duì)面上的數(shù)的和都是7，求k的值。 思路點(diǎn)撥：想象一下折疊成的正方體，如果k處于上面的話，3正好與k相

12、對(duì)處于底面。 【能力提升】 1．將如圖所示的正方體沿某些棱展開(kāi)后，能得到的圖形是（ C ） 2．下圖是某一立方體的側(cè)面展開(kāi)圖，則該立方體是（ D ） A． B． C． D． 3.如圖所示，用1、2、3、4標(biāo)出的四塊正方形，以及由字母標(biāo)出的八塊正方形中任意一塊，一共要用5塊連在一起的正方形折成一個(gè)無(wú)蓋方盒，共有幾種不同的方法？請(qǐng)選擇合適的方法。 1 2 3 4 4.如圖，正方體盒子中，一只螞蟻從B點(diǎn)沿正方體的表面爬到D1點(diǎn)，畫(huà)出螞蟻爬行的最短線路. 【解

13、 析】正方體是空間圖形，解決空間圖形的問(wèn)題，經(jīng)常是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，這正是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).將正方體展開(kāi)成平面圖形，如圖所示，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以，在圖中，BD1就是所要求的最短線路. 思維擴(kuò)展 1.如上圖，用白蘿卜等材料做一個(gè)正方體，并把正方體表面涂上顏色. （1）把正方體的棱二等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)，得到8個(gè)小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個(gè)，如圖①,那么a等于 ； （2）把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)小正方體.觀察其中三面被涂色的有a個(gè)，各面都沒(méi)有涂色的b個(gè)，如圖②,那么a+b=

14、 ； （3）把正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開(kāi)，得到64個(gè)小正方體.觀察其中兩面被涂成紅色有c個(gè)，各面都沒(méi)有涂色的b個(gè)，如圖③,那么b+c= . 2.某同學(xué)在制作正方體模型的時(shí)候，在方格紙上畫(huà)出幾個(gè)小正方形（圖上陰影部分），但是一不小心，少畫(huà)了一個(gè)，請(qǐng)你給他補(bǔ)上一個(gè)，可以組合成正方體，你有幾種畫(huà)法，在圖上用陰影注明。 答：畫(huà)圖如圖3.3-3，有四種方法。 思路點(diǎn)撥：想象折疊成正方體時(shí)各個(gè)面所處的位置，看看缺哪個(gè)面，再確定在什么位置補(bǔ)畫(huà)。 易錯(cuò)辨析：在想象困難時(shí)借助實(shí)物考慮。 方法點(diǎn)評(píng)

15、：平面圖形與立體圖形之間的轉(zhuǎn)換，在解題中應(yīng)盡可能充分地想象，或借助實(shí)物。 3.一只蜘蛛在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)A處，一只蚊子在正方體的頂點(diǎn)B出，如圖3.3-7所示，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫(huà)出來(lái)，這樣的最短路線有幾條？ 思路點(diǎn)撥：欲求從A到B的最短路線，在立體圖形中難以解決，可以考慮把正方體展開(kāi)成平面圖形來(lái)考慮。如圖3.2-8所示，我們都有這樣的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，在兩點(diǎn)之間，走直路路程最短，因而沿著從A到B的虛線走路程最短。然后再把展開(kāi)圖折疊起來(lái)，在正方體上，象這樣最短的路線一共有六條。 4.給出兩個(gè)等邊三角形紙片如圖3.3-

16、9，要求用其中一個(gè)剪成底面是等邊三角形的三棱錐，另一個(gè)剪成上下底面是等邊三角形的直三棱柱。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種剪拼的方法，分別在圖上用虛線畫(huà)出來(lái)。 6、把一個(gè)等腰三角形沿著中間的折痕剪開(kāi)，得到兩個(gè)形狀和大小完全相同的直角三角形，將這兩個(gè)直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同的幾何圖形？畫(huà)出這些圖形來(lái)。 1 2 3 6 4 5 4．下圖可以沿線折疊成一個(gè)帶數(shù)字的正方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是( A ) （還原正方體） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 10