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1、§ 3.2 均值不等式
本節(jié)內(nèi)容是選自人教版高中數(shù)學(xué)B版必修五第三章第二節(jié)——均值不等式。它在不等式這一章中占有非常重要的地位，在不等式的證明中尤其突出。
一、 教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：均值不等式的基本表達(dá)式；均值不等式所表達(dá)的幾何意 義；能夠應(yīng)用均值不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明
過(guò)程與方法：掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法
情感態(tài)度價(jià)值觀：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，善于從生活中去探索數(shù)學(xué)的奧秘
二、 重難點(diǎn)
重點(diǎn)：均值不等式的證明與應(yīng)用；“=”成立的條件
難點(diǎn)：均值不等式的幾何意義；在怎樣的情況下應(yīng)用均值不等式
三、 教學(xué)方法
講授法
四、 教學(xué)過(guò)程
（一）
2、情境引入
某一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，我們將其中的幾何圖形抽象出來(lái)得到這樣一個(gè)圖形：已知的是直角三角形的兩直角邊分別為a，b，那我們能否從其中找出一些不等關(guān)系？
解答：圖中四個(gè)直角三角形的面積總和為：
大的正方形的面積為：
我們可以很直觀地得出：>
問(wèn)：同學(xué)們?cè)傧胍幌?，這個(gè)“>”可以換成“≥”嗎？
當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切蔚臅r(shí)候，也即是時(shí)，這時(shí)，正方形EFGH變?yōu)橐稽c(diǎn)，可以得到。
（二） 得出結(jié)論并證明（基礎(chǔ)）
一般地，,則.
證明：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
3、
綜上所述，可得.
（三） 均值不等式的變式（重點(diǎn)）
若則（當(dāng)時(shí)，“=”取到）
需明確的兩個(gè)概念：表示與的算術(shù)平均數(shù) ；
表示與的幾何平均數(shù) 。
證明（幾何意義）：
如圖：是圓的直徑，點(diǎn)是上任一點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)做交圓周于，連接.
則
又
4、，則
所以，也即
又，所以.
所以其幾何意義為：半徑不小于半弦
（四） 鞏固應(yīng)用
（1）已知都是正數(shù)，求證：.
證明： ，由均值不等式可得
，
當(dāng)且僅當(dāng)且同時(shí)成立，
即時(shí)，等號(hào)成立.
（2）已知都是正數(shù)，求證：
證明： ，，
5、
（五） 課堂小結(jié)
本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式；兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).
我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來(lái)解決問(wèn)題：ab≤，ab≤（）2.
（六） 板書設(shè)計(jì)
一、 引入
四個(gè)直角三角形的面積總和為：
大的正方形的面積為：
于是可得到>
6、 當(dāng)a=b時(shí)，也就是直角三角形變?yōu)榈妊苯侨?角形，中間的正方形EFGH變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)時(shí)，
二、均值定理1：一般地，,則
證明：
當(dāng)當(dāng)時(shí)，
綜上所述，可得
均值定理2：若則（當(dāng)時(shí)，“=”取到）
證明（幾何意義）：
如圖：AC是圓O的直徑，點(diǎn)D是AC上任一點(diǎn)，AD=a，CD=b，過(guò)點(diǎn)D做BDAC交圓周于B，連結(jié)OB.
則 OB=
又，則
所以，也即
又，所以
所以其幾何意義為：半徑不小于半弦
三、 應(yīng)用
已知都是正數(shù)，求證：
（
7、1）
證明： ，由均值不等式可得
，當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立，
即時(shí)，等號(hào)成立.
（2）
，，
，對(duì)每個(gè).
證明：用數(shù)學(xué)歸納法.
（1） 當(dāng)時(shí)，就是均值不等式，顯然成立；
（2） 設(shè)成立，證成立；
（3） 設(shè)成立，證成立；
即已知，對(duì)每個(gè)，
特別地取代入上式有
左=
右=
由于左≥右，所以
均值不等式教案
