教學(xué)資料 (2)

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1、高中數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練（教師版）—導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 一、選擇題 1．(2011·山東聊城)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是(　　) A．0

2、)＋9≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m≥　　　　　　　B．m> C．m≤ D．m< 答案　A 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝3是函數(shù)的一個最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥. 3．(2011·江蘇無錫)若a>2，則方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有(　　) A．0個根 B．1個根 C．2個根 D．3個根 答案　B 解析　設(shè)f(x)＝x3－ax2＋1，則f′(x)

3、＝x2－2ax＝x(x－2a)，當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，又f(0)f(2)＝1＝－4a<0，f(x)＝0在(0,2)上恰好有1個根． 4．(2010·山東卷，文)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為(　　) A．13萬件 B．11萬件 C．9萬件 D．7萬件 答案　C 解析　因?yàn)閥′＝－x2＋81，所以當(dāng)x>9時，y′<0；當(dāng)x∈(0,9)時，y′>0，所以函數(shù)y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞

4、增，所以x＝9是函數(shù)的極大值點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上只有一個極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在x＝9處取得最大值． 二、填空題 5．設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　解析　f′(x)＝x2＋2ax＋5，當(dāng)f(x)在[1,3]上單調(diào)減時，由得a≤－3；當(dāng)f(x)在[1,3]上單調(diào)增時，f′(x)＝0中，Δ＝4a2－4×5≤0，或得a∈[－，]∪(，＋∞)．綜上：a的取值范圍為(－∞，－3]∪[－，＋∞)． 三、解答題 6．已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，設(shè)兩曲線

5、y＝f(x)，y＝g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求證：f(x)≥g(x)(x>0)． 解　(1)設(shè)y＝f(x)與y＝g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線相同， ∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， 依題意得， 即 由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)． 即有b＝a2＋2a2－3a2lna＝a2－3a2lna. 令h(t)＝t2－3t2lnt(t>0)，則h′(t)＝2t(1－3lnt)，由h′(t)＝0得t＝e或t＝0(舍去)． 列表如下： t (0，e) e (e＋∞) h′(t)

6、 ＋ 0 － h(t)  極大值  于是函數(shù)h(t)在(0，＋∞)上的最大值為h(e)＝e，即b的最大值為e. (2)設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2lnx－b(x>0)，則F′(x)＝x＋2a－＝(x>0)，由F′(x)＝0得x＝a或x＝－3a(舍去)． 列表如下： x (0，a) a (a，＋∞) F′(x) － 0 ＋ F(x)  極小值  于是函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0. 故當(dāng)x>0時，有f(x)－g(x)≥0，即當(dāng)x>0時，f(x)≥g(x)． 7．

7、將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作：沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個有蓋的長方體水箱(⑦為底，①②③④為側(cè)面，⑤＋⑥為水箱蓋．其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米． (1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)如何設(shè)計x的大小，使水箱的容積最大？ 解析　(1)依據(jù)意水箱底的寬為(2－2x)米，長為＝(3－x)米， 則水箱的容積y＝(2－2x)(3－x)·x(0

8、16x＋6＝0得x＝， 當(dāng)00，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)

9、7. (2)因?yàn)閒′(x)＝， 又x>0，所以當(dāng)x>2時，f′(x)>0；當(dāng)00時原方程有唯一解，所以函數(shù)y＝h(x)與y＝m的圖象在y軸右側(cè)有唯一的交點(diǎn)． 又h′(x)＝4x－－1

10、4＝，且x>0， 所以當(dāng)x>4時，h′(x)>0；當(dāng)00時原方程有唯一解的充要條件是m＝h(4)＝－16ln2－24. 9．(2010·天津卷，文)已知函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0. (1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程； (2)若在區(qū)間[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍． 解析　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6.所以曲線

11、y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9. (2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. 以下分兩種情況討論： ①若00等價于即 解不等式組得－52，則0<<.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－，0) 0 (0，) (，)

12、f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  極大值  極小值  當(dāng)x∈[－，]時，f(x)>0等價于即. 解不等式組得0得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)． f′(x)＝2x＋2－＝. 由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1＋1， ∴x∈[－1，e－1]時，f(x)max＝e2－e. ∵不等式m