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1、27.2.1 相似三角形的判定
第3課時 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
1.理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的含義,能分清條件和結(jié)論,并能用文字、圖形和符號語言表示;(重點)
2.會運用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似,并解決簡單的問題.(難點)
一、情境導(dǎo)入
利用刻度尺和量角器畫兩個三角形,使它們的兩條對應(yīng)邊成比例,并且夾角相等.量一量第三條對應(yīng)邊的長,計算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比是否相等.另兩個角是否對應(yīng)相等?你能得出什么結(jié)論?
二、合作探究
探究點:兩邊成比例且夾角相等的
2、兩個三角形相似
【類型一】 直接利用判定定理判定兩個三角形相似
已知:如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D、E分別是AB、CB延長線上的點,CE=9,AD=15,連接DE.若BC=6,AC=8,求證:△ABC∽△DBE.
解析:首先利用勾股定理可求出AB的長,再由已知條件可求出DB,進(jìn)而可得到DB∶AB的值,再計算出EB∶BC的值,繼而可判定△ABC∽△DBE.
證明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,∴AB==10,∴DB=AD-AB=15-10=5,∴DB∶AB=1∶2.又∵EB=CE-BC=9-6=3,∴EB∶BC=1∶2,∴EB∶BC=DB∶AB,又
3、∵∠DBE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DBE.
方法總結(jié):解本題時一定要注意必須是兩邊對應(yīng)的夾角才行,還要注意一些隱含條件,如公共角、對頂角等.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第2題
【類型二】 添加條件使三角形相似
如圖,已知△ABC中,D為邊AC上一點,P為邊AB上一點,AB=12,AC=8,AD=6,當(dāng)AP的長度為________時,△ADP和△ABC相似.
解析:當(dāng)△ADP∽△ACB時,=,∴=,解得AP=9.當(dāng)△ADP∽△ABC時,=,∴=,解得AP=4,∴當(dāng)AP的長度為4或9時,△ADP和△ABC相似.故答案為4或9.
方法總結(jié):添加條件
4、時,先明確已知的條件,再根據(jù)判定定理尋找需要的條件,對應(yīng)本題可先假設(shè)兩個三角形相似,再利用倒推法以及分類討論解答.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第5題
【類型三】 利用三角形相似證明等積式
如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點,ED的延長線交CA的延長線于F.求證:AC·CF=BC·DF.
解析:先證明△ADC∽△CDB可得=,再結(jié)合條件證明△FDC∽△FAD,可得=,則可證得結(jié)論.
證明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠DAC+∠B=∠B+∠DCB=90°,∴∠DAC=∠DCB,且∠ADC=∠CDB,∴△ADC∽△CDB,∴=.∵E
5、為BC的中點,CD⊥AB,∴DE=CE,∴∠EDC=∠DCE,∵∠EDC+∠FDA=∠ECD+∠ACD,∴∠FCD=∠FDA,又∠F=∠F,∴△FDC∽△FAD,∴=,∴=,∴AC·CF=BC·DF.
方法總結(jié):證明等積式或比例式的方法:把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個三角形的對應(yīng)邊,然后證明兩個三角形相似,得到要證明的等積式或比例式.
【類型四】 利用相似三角形的判定進(jìn)行計算
如圖所示,BC⊥CD于點C,BE⊥DE于點E,BE與CD相交于點A,若AC=3,BC=4,AE=2,求CD的長.
解析:因為AC=3,所以只需求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相似,再
6、利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出AD.
解:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB===5.∵BC⊥CD,BE⊥DE,∴∠C=∠E,又∵∠CAB=∠EAD,∴△ABC∽△ADE,∴=,即=,解得AD=,∴CD=AD+AC=+3=.
方法總結(jié):利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計算時,應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過作輔助線構(gòu)造相似三角形,然后利用相似三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題
【類型五】 利用相似三角形的判定解決動點問題
如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,點P從B出發(fā),沿BC方向以2c
7、m/s的速度移動,與此同時點Q從C出發(fā),沿CA方向以1cm/s的速度移動,經(jīng)過多長時間△ABC和△PQC相似?
解析:由AC與AB的關(guān)系,設(shè)出AC=3xcm,AB=5xcm,在直角三角形ABC中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,進(jìn)而得到AB與AC的長.然后設(shè)出動點運動的時間為ts,根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出PC與CQ的長,由△ABC和△PQC相似,根據(jù)對應(yīng)頂點不同分兩種情況列出比例式,把各邊的長代入即可得到關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,從而得到所有滿足題意的時間t的值.
解:由5AC-3AB=0,得到5AC=3AB,設(shè)AB為5xcm,則AC=3xcm,在
8、Rt△ABC中,由BC=8cm,根據(jù)勾股定理得25x2=9x2+64,解得x=2或x=-2(舍去),∴AB=5x=10cm,AC=3x=6cm.設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PQC相似,則有BP=2tcm,PC=(8-2t)cm,CQ=tcm,分兩種情況:①當(dāng)△ABC∽△PQC時,有=,即=,解得t=;②當(dāng)△ABC∽△QPC時,有=,即=,解得t=.綜上可知,經(jīng)過或秒△ABC和△PQC相似.
方法總結(jié):本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對應(yīng)頂點不同,分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來解決問題.
變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題
三、板書設(shè)計
1.三角形相似的判定定理:
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;
2.應(yīng)用判定定理解決簡單的問題.
本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法和參與式教學(xué)法為主,利用多煤體引導(dǎo)學(xué)生始終參與到學(xué)習(xí)活動的全過程中,處于主動學(xué)習(xí)的狀態(tài).采用動手實踐,自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法,使學(xué)生積極參與教學(xué)過程.在教學(xué)過程中展開思維,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力,進(jìn)一步理解觀察、類比、分析等數(shù)學(xué)思想.