2013年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題四第二講 數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和教案 理

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1、 第二講　數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和 研熱點(diǎn)（聚焦突破） 類(lèi)型一 數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題 1．累加法求通項(xiàng)：形如an＋1－an＝f(n)． 2．累乘法求通項(xiàng)：形如＝f(n)． 3．構(gòu)造法：形如：an＋1＝pan＋q. 4．已知Sn求an，即an＝ [例1]　(2012年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． [解析]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝2S1－12. 因?yàn)門(mén)1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，解得a1＝1. (2)當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝Tn－Tn－1＝

2、2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1， 所以Sn＝2Sn－1＋2n－1，① 所以Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，② ②－①得an＋1＝2an＋2. 所以an＋1＋2＝2(an＋2)，即＝2(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋2＝3，a2＋2＝6，則＝2，所以當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式．所以{an＋2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋2＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－2. 跟蹤訓(xùn)練 數(shù)列{an}中，a1＝1，對(duì)所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 解析：由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，

3、a1·a2·a3·…·an＝n2，① 故當(dāng)n＝2時(shí)，有a1·a2＝22＝4， 又因?yàn)閍1＝1，所以a2＝4. 故當(dāng)n≥3時(shí)， 有a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，② 由，得an＝. 而當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，不滿足上式，n＝2時(shí)，滿足上式． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝ 答案： 類(lèi)型二 數(shù)列求和 數(shù)列求和的方法技巧 (1)轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開(kāi)或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見(jiàn)的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并； (2)錯(cuò)位相減法 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{

4、an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列； (3)裂項(xiàng)相消法 利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和． [例2]　(2012年高考浙江卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足an＝4log2bn＋3，n∈N*. (1)求an，bn； (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解析]　(1) 由Sn＝2n2＋n，得 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N*. 由4n－1＝an＝4log2bn＋

5、3，得bn＝2n－1，n∈N*. (2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*， 所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n， 所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)] ＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N*. 跟蹤訓(xùn)練 (2012年高考課標(biāo)全國(guó)卷)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為(　　) A．3 690　　　　　　　　 B．3 660 C．1 845

6、 D．1 830 解析：利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1 830. 答案：D 類(lèi)型三 數(shù)列的綜合應(yīng)用

7、 1．?dāng)?shù)列的綜合應(yīng)用多涉及函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)． 2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性的判斷方法： (1)作差：an＋1－an與0的關(guān)系； (2)作商：與1的關(guān)系． [例3]　(2012年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列． (1)求a1的值； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. [解析]　(1)∵a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列， ∴2(a2＋5)＝a1＋a3. 又2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴2S1＝a2－22＋1，2S2＝a3－23＋1， ∴2

8、a1＝a2－3，2(a1＋a2)＝a3－7. 由得∴a1＝1. (2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－2n＋1.② ①－②得2an＝an＋1－an－2n＋1＋2n， ∴an＋1＝3an＋2n. 兩邊同除以2n＋1得＝·＋， ∴＋1＝(＋1)． 又由(1)知＋1＝(＋1)，∴數(shù)列{＋1}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ∴＋1＝·()n－1＝()n，∴an＝3n－2n， 即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2n. (3)證明：∵an＝3n－2n＝(1＋2)n－2n ＝C·1n·20＋C·1n－1·21＋C·1n－2·22＋…＋C·10

9、·2n－2n ＝1＋2n＋2(n2－n)＋…＋2n－2n >1＋2n＋2(n2－n)＝1＋2n2>2n2>2n(n－1)， ∴＝<＝·， ∴＋＋…＋ <1＋[＋＋…＋] ＝1＋(1－＋－＋…＋－) ＝1＋(1－)＝－<， 即＋＋…＋<. 跟蹤訓(xùn)練 (2012年北京東城模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，(n≥2，n∈N)． (1)試判斷數(shù)列{＋(－1)n}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由； (2)設(shè)cn＝ansin ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求證：對(duì)任意的n∈N*，Tn<. 解析：(1)由an＝得 ＝＝(－1)n－， 所以＋(－1)n＝2·(－1)n－ ＝

10、－2[＋(－1)n－1]． 又－1＝3≠0， 故數(shù)列{＋(－1)n}是首項(xiàng)為3，公比為－2的等比數(shù)列． (2)證明：由(1)得＋(－1)n＝3·(－2)n－1. 所以＝3·(－2)n－1－(－1)n， an＝， 所以cn＝ansin ＝(－1)n－1 ＝<. 所以Tn<＝[1－()n]<. 析典題（預(yù)測(cè)高考） 高考真題 【真題】　(2012年高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同．公司要求企業(yè)從第一年開(kāi)始，每年年底上繳資金d萬(wàn)元，并將剩余資

11、金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬(wàn)元． (1)用d表示a1，a2，并寫(xiě)出an＋1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過(guò)m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)． 【解析】　(1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d. an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d ＝()2an－2－d－d ＝… ＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]． 整理得an＝

12、()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1] ＝()n－1(3 000－3d)＋2d. 由題意，知am＝4 000， 即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 即該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí)，經(jīng)過(guò)m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬(wàn)元． 【名師點(diǎn)睛】　本題考查利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法，考查綜合利用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是求出遞推關(guān)系an＋1＝an－d，并變形求an. 考情展望 高考對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)與求和的考查多以解答題形式出現(xiàn)，主要考查an與Sn的關(guān)系，以及錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)求和及分組轉(zhuǎn)化求和，難度中檔偏

13、上． 名師押題 【押題】　在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)不等式組(n∈N*)表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為an. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＋1＝2bn＋an，b1＝－13.求證：數(shù)列{bn＋6n＋9}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 【解析】　(1)由得0