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1、第20講 數(shù)列的綜合應用,第20講 數(shù)列的綜合應用 1.在公比為q且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,Sn為an的前n項和.若a1= , 則S5=S2+2,且q的值為 .,答案,解析 由an0及a1= ,則S5-S2=a3+a4+a5=a1q2+a1q3+a1q4=1+q+q2=2,解得q= (舍負).,2.設等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列,且a2+a5=4,則a8的值為 .,答案 2,解析 由S3,S9,S6成等差數(shù)列得S3+S6=2S9,則公比q1,q3+q6=2q9,2q6-q3-1=0,則q3 =- .又a2+a5=a2(1+q3)= a2=4,則a2=8,所以
2、a8=a2q6=8 =2.,3.設等差數(shù)列an的前項n和為Sn,若a5=3,S10=40,則nSn的最小值為 .,答案 -32,解析 設等差數(shù)列an的公差為d(d0),則a5=a1+4d=3,S10=10a1+ d=40,解 得a1=-5,d=2,則nSn=n(n2-6n)=n3-6n2.令f(x)=x3-6x2,x0,則f (x)=3x2-12x=3x(x- 4),x0,當x(0,4)時, f (x)0, f(x)遞增, f(x)min =f(4)=64-96=-32,所以nSn的最小值為-32.,題型一 數(shù)列中的最值問題,例1 (2018南京師大附中高三模擬) 已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列b
3、n均不 是常數(shù)列,若a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比數(shù)列,4b2,2b3,b4成等差數(shù)列. (1)求an和bn的通項公式; (2)設m,n是正整數(shù),若存在正整數(shù)i,j,k(ijk),使得ambj,amanbi,anbk成等差數(shù)列,求 m+n的最小值; (3)令cn= ,記cn的前n項和為Tn, 的前n項和為An.若數(shù)列pn滿足p1=c1,且 對n2,nN*,都有pn= +Ancn,設pn的前n項和為Sn,求證:Sn4+4ln n.,解析 (1)設等差數(shù)列的公差為d(d0),等比數(shù)列的公比為q(q1),由題意得: 解得d=1,q=2,所以an=n,bn=2n-1. (2)由ambj,
4、amanbi,anbk成等差數(shù)列,有2amanbi=amabj+anbk,即2mn2i-1=m2j-1+n2k-1,由 于i6. 所以m+n的最小值為6,當且僅當j-i=1,k-i=2 且 或 時取得. (3)證明:由題意得:p2= + c2,p3= + c3,pn= (c1+c2+cn-1)+ cn,又p1=c1,則Sn=p1+p2+p3+pn= (c1+c2+c3+ cn)= Tn. Tn=c1+c2+c3+cn, ,Tn= c1+ c2+ cn, ,-得 Tn=1+ + + + - =2-2 -n , 求得Tn=4-(n+2) 1),則f (x)= - = 0, 所以f(x)在(1,+)
5、上單調遞增,有f(x)f(1)=0,可得ln x1- .當k2,且kN*時, 1,有l(wèi)n 1- = ,所以 ln , ln , ln ,可得1+ + + 1+ln =1+ln n,所以Sn4 4(1+ln n),即Sn4+4ln n.【方法歸納】 數(shù)列是一 種特殊的函數(shù),不僅等差數(shù)列的最值問題可以利用函數(shù)的性質來解決,其他數(shù) 列的最值問題也可以借助函數(shù)的性質解決.,題型二 數(shù)列中的新定義問題,例2 (2018南京高三第三次模擬)若數(shù)列an滿足:對于任意nN*,an+|an+1-an+2| 均為數(shù)列an中的項,則稱數(shù)列an為“T數(shù)列”, (1)若數(shù)列an的前n項和Sn=2n2,nN*,求證:數(shù)列
6、an為“T數(shù)列”; (2)若公差為d的等差數(shù)列an為“T數(shù)列”,求d的取值范圍; (3)若數(shù)列an為“T數(shù)列”,a1=1,且對于任意nN*,均有an - an+1,求數(shù)列 an的通項公式.,解析 (1)證明:當n2時,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2.,又a1=S1=2=41-2,所以an=4n-2.所以an+|an+1-an+2|=4n-2+4=4(n+1)-2為數(shù)列an 的第n+1項,因此數(shù)列an為“T數(shù)列”. (2)因為數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,所以an+|an+1-an+2|=a1+(n-1)d+|d|. 因為數(shù)列an為“T 數(shù)列”, 所以任意nN*,存在mN
7、*,使得a1+(n-1)d+|d|=am,即有(m-n)d=|d|. 若d0,則存在m=n+1N*,使得(m-n)d=|d|; 若d0,則m=n-1. 此時,當n=1時,m=0不為正整數(shù),所以d0不符合題意.綜上,d0. (3)因為anan+1,所以an+|an+1-an+2|=an+an+2-an+1.,又因為an0),則有an=1+(n-1)t, 由an - an+1,得1+(n-1)t2t-t2-1. 若2t2-t ,則當nN0時,n(2t2-t)0,所以t= . 經(jīng)檢驗當t= 時,兩式對于任意nN*恒成立,所以數(shù)列an的通項公式為 an=1+ (n-1)= .,【方法歸納】 (1)解決
8、此類問題的主要方法是,先讀懂題目,理解新定義的 含義,再轉化為熟悉的知識進行求解.(2)常用的數(shù)列求和的方法有分組求和 法、裂項相消法、錯位相減法等,要根據(jù)數(shù)列通項公式的特征靈活選擇方法.,2-1 (2018江蘇鹽城中學高三階段性檢測)已知數(shù)列an的前n項和為An,對任 意nN*滿足 - = ,且a1=1,數(shù)列bn滿足bn+2-2bn+1+bn=0(nN*),b3=5,其前 9項和為63. (1)求數(shù)列an和bn的通項公式; (2)令Cn= + ,數(shù)列cn的前n項和為Tn,若對任意正整數(shù)n,都有Tn2n+a,求實 數(shù)a的取值范圍; (3)將數(shù)列an,bn的項按照“當n為奇數(shù)時,an放在前面;當
9、n為偶數(shù)時,bn放在 前面”的要求進行“交叉排列”,得到一個新的數(shù)列:a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,b6,求這個新數(shù)列的前n項和Sn.,解析 (1) - = , =1,數(shù)列 是首項為1,公差為 的等差數(shù)列, =1+(n-1) = n+ ,即An= (nN*), an+1=An+1-An= - =n+1(nN*), 又a1=1,an=n(nN*).,bn+2-2bn+1+bn=0,數(shù)列bn是等差數(shù)列, 設bn的前n項和為Bn,B9= =63且b3=5, b7=9,bn的公差為 = =1,bn=n+2(nN*). (2)由(1)知cn= + = + =2+2 , Tn
10、=c1+c2+cn=2n+2,=2n+2 =2n+3-2 ,Tn-2n=3-2 ,設Rn=3-2 , 則Rn+1-Rn=2 = 0, 數(shù)列Rn為遞增數(shù)列,(Rn)min=R1= , 對任意正整數(shù)n,都有Tn-2na恒成立,a . (3)數(shù)列an的前n項和An= ,數(shù)列bn的前n項和Bn= , 當n=2k(kN*)時,Sn=Ak+Bk= + =k2+3k; 當n=4k+1(kN*)時,Sn=A2k+1+B2k= + =4k2+8k+1, 特別地,當n=1時,S1=1也符合上式; 當n=4k-1(kN*)時,Sn=A2k-1+B2k= + =4k2+4k. 綜上,Sn=,題型三 數(shù)列中的簡單數(shù)論問
11、題,例3 (2018江蘇揚州高三第一次模擬)已知各項都是正數(shù)的數(shù)列an的前n項 和為Sn,且2Sn= +an,數(shù)列bn滿足b1= ,2bn+1=bn+ . (1)求數(shù)列an,bn的通項公式; (2)設數(shù)列cn滿足cn= ,求c1+c2+cn的值; (3)是否存在正整數(shù)p,q,r(pqr),使得bp,bq,br成等差數(shù)列?若存在,求出所有滿 足要求的p,q,r的值;若不存在,請說明理由.,解析 (1) 2Sn= +an,2Sn+1= +an+1, -得2an+1= - +an+1-an,即(an+1+an)(an+1-an-1)=0. 因為an是正數(shù)數(shù)列,所以an+1-an-1=0,即an+1-
12、an=1, 所以an是等差數(shù)列,其公差為1. 在2Sn= +an中,令n=1,得a1=1,所以an=n. 由2bn+1=bn+ 得 = ,所以數(shù)列 是等比數(shù)列,其首項為 ,公比為 ,所 以 = ,即bn= .,(2) cn= = ,裂項得cn= - , 所以c1+c2+cn= - . (3) 假設存在正整數(shù)p,q,r(pq0,a1=1,a2=3, 且當n2時,anan+1=(an+1-an)Sn. (1)證明:數(shù)列Sn是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項公式; (2)令bn= ,記數(shù)列bn的前n項和為Tn,設是整數(shù),是否存在正整 數(shù)n,使等式Tn+ = 成立?若存在,求出n和相應的值;若不存在,說明
13、理由.,解析 (1)當n2時,an=Sn-Sn-1,an+1=Sn+1-Sn, 將其代入anan+1=(an+1-an)Sn中并化簡得 =Sn-1Sn+1(n2), Sn恒為正值, = = = =4. 又S1=a1=1, 數(shù)列Sn是首項為1,公比為4的等比數(shù)列, Sn=4n-1, 當n2時,an=Sn-Sn-1=34n-2,又a1=1,an= (2)當n2時,an=34n-2,此時bn= = = - ,又b1= = ,T1=b1= , 當n2時,Tn= + + + + = - . 若n=1,則等式Tn+ = ,即 + = ,解得= ,不符合題意; 若n2,則等式Tn+ = ,即 - + = ,則= =5- ,是,整數(shù),4n-1+1必是5的因數(shù), 又n2時,4n-1+15, 當且僅當n=2時, 是整數(shù),從而=4,符合題意. 綜上可知,當=4時,存在正整數(shù)n=2,使等式Tn+ = 成立. 當4,Z時,不存在正整數(shù)n使等式Tn+ = 成立.,
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