《空間向量的數(shù)乘運算》教學設(shè)計

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1、 教學設(shè)計 3． 1.2 空間向量的數(shù)乘運算 整體設(shè)計 教材分析 本節(jié)課是在學習了空間向量的相關(guān)概念和空間向量加減法法則的基礎(chǔ)上學習的， 是空間 向量加減法法則的進一步應(yīng)用和補充． 本節(jié)課在介紹實數(shù)與向量乘積的意義的基礎(chǔ)上引入空 間向量共線定理， 類比平面向量基本定理得到空間向量共面定理， 為后面將要學習的空間向 量基本定理打下基礎(chǔ)，具有承上啟下的重要作用． 因為空間向量的數(shù)乘運算以及空間向量共線定理與平面向量數(shù)乘運算以及共線定理完 全一樣， 空間向量共面定理其實就是平面向量基本

2、定理的逆定理， 所以在教學中仍應(yīng)采用類 比、比較的教學方法，通過問題驅(qū)動、啟發(fā)式、自主探究式的教學方法引導學生自主地完成 本節(jié)課的學習． 課時分配 1 課時 教學目標 知識與技能 1．掌握空間向量的數(shù)乘運算及其運算律． 2．理解共線向量定理和向量共面定理． 過程與方法 1．運用類比方法，經(jīng)歷向量的數(shù)乘運算和向量共線定理由平面向空間推廣的過程； 2．引導學生借助空間幾何體理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義． 情感、態(tài)度與價值觀 1．培養(yǎng)學生的類比思想、轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)探究、研討、綜合自學應(yīng)用能力；

3、 2．培養(yǎng)學生的空間想象能力，能借助圖形理解空間向量數(shù)乘運算及其運算律的意義； 3．培養(yǎng)學生空間向量的應(yīng)用意識． 重點難點 教學重點： 1．空間向量的數(shù)乘運算及其運算律、幾何意義； 2．空間向量的加減運算在空間幾何體中的應(yīng)用； 3．空間向量共線定理和共面定理． 教學難點： 1．空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應(yīng)用； 2．空間向量的數(shù)乘運算及其幾何的應(yīng)用和理解； 3．空間向量共線定理和共面定理的理解． 教學過程 引入新課 提出問題： 請同學們回憶“平面向量的數(shù)乘運算”

4、的意義是什么， 么運算律． 活動設(shè)計：首先同學之間相互交流，教師適時介入，并一一板書出來． 活動結(jié)果： (板書 ) 1．實數(shù) λ和向量 a 的乘積 λa 是一個向量．  有什么性質(zhì)， 滿足什 2.|λa|＝|λ||a|. 3． λa 的方向 ①當 λ>0時， λa 的方向和 a 方向相同； ②當 λ<0時， λa 的方向和 a 方向相反． 4．數(shù)乘運算的運算律： ① λ( μa)＝ ( λμ)a； ② λ(a＋b)＝λa＋ λb. 設(shè)計意圖： 這既復習了“平面向量的數(shù)乘

5、運算”的意義、 性質(zhì)和運算律， 又為類比得出 “空間向量的數(shù)乘運算”的意義、 性質(zhì)和運算律作好了準備， 而且在下面得出“空間向量的 數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律時，只需將“平面向量的數(shù)乘運算”中的“平面”換成 “空間”即可．何樂而不為呢！ 探究新知 提出問題 1：上節(jié)課我們已經(jīng)學習了空間向量的加減法運算，請同學們類比“平面向量 的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律，猜想 (給出 )“空間向量的數(shù)乘運算”的意義、性質(zhì)和運算律．即實數(shù) λ和向量 a 的乘積 ( λa)的意義是什么？有什么性質(zhì)？滿足什么運算律？ 活動設(shè)計：教師從 2a，－ 2a

6、的意義中發(fā)現(xiàn)并類比平面中數(shù)乘的意義對學生進行引導，學生自己畫出 2a，－ 2a 并總結(jié) λa 的意義和運算律， 然后自由發(fā)言，教師進行補充．師生發(fā) 現(xiàn)“空間向量的數(shù)乘運算”實際上就是“平面向量的數(shù)乘運算” . 活動成果： ( 活動結(jié)果同“引入新課”中的活動結(jié)果，只需特別標明“空間向量的數(shù)乘 運算”即可 ) 設(shè)計意圖：引導學生利用已經(jīng)學過的平面向量的數(shù)乘運算的意義類比得出空間向量數(shù)乘 運算的意義，并利用空間向量的加減法運算來驗證． 提出問題 2：在學習平面向量時，共線向量是怎么定義的？我們?nèi)绾我?guī)定 0 與任意向量

7、 的關(guān)系？在空間向量中，又應(yīng)當怎樣定義和規(guī)定呢？ 活動設(shè)計：學生自由發(fā)言． 活動成果：同學們一致認為，只要照搬以前的定義和規(guī)定即可，即 (板書 ) 在空間，方向 相同或相反的向量稱為共線向量．我們規(guī)定 0 與任意向量共線． 設(shè)計意圖：復習平面向量共線的定義，類比得出空間向量共線的定義． 提出問題 3： a＝ λb 是 a， b 共線的什么條件？ 活動設(shè)計：先讓學生獨立思考，然后小組交流，教師巡視指導，并注意與學生交流．在 恰當?shù)臅r機提醒學生回憶“平面向量”中兩向量共線時的結(jié)論． 活動成果： (板

8、書 ) 若 a＝λb，則 a， b 方向相同或相反，或 a＝ 0，則 a， b 共線； 若 a，b 共線， b＝ 0，則不一定存在實數(shù) λ使得 a＝ λb.所以 a＝λb 是 a，b 共線的充分不 必要條件． 若 b≠0，則若 a， b 方向相同時，存在唯一確定的實數(shù)λ＝ |a| b ，使得 a＝ λb； | | 若 a，b 方向相反時，存在唯一確定的實數(shù) λ＝－ |a|，使得 a＝ λb； |b| 若 a＝0 時，存在唯一確定的實數(shù) λ＝ 0，使得 a＝ λb.

9、 空間向量共線定理： a， b 共線 (b≠ 0) 存在唯一確定的實數(shù) λ使得 a＝ λb. 推論：如果 l 為經(jīng)過已知點 A 且平行于已知非零向量 a 的直線，那么對于任意一點 O， 點 P 在直線 l 上的充要條件是存在實數(shù) t 滿足等式 → → OP＝ OA ＋ ta.其中向量 a 叫做直線 l 的方 向向量． 設(shè)計意圖：增強對空間向量數(shù)乘運算的

10、理解和運用，引出空間向量共線定理及其推論． 提出問題 4：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．對空間任意兩個不共線的向量 a、b，如果 p＝ xa＋yb，那么向量 p 與向量 a、b 有什么位置關(guān)系？反過來， 向量 p 與向量 a、 b 有什么位置關(guān)系時， p＝ xa＋ yb? 活動設(shè)計： 學生先獨立思考， 然后小組討論； 教師先提示同學們回憶平面向量基本定理， 然后巡視指導學生討論． 活動成果：空間向量共面定理：如果兩個向量 a、b 不共線，那么向量 p 與向量 a、 b 共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)

11、對 (x， y)，使 p＝xa＋ yb. 設(shè)計意圖： 引導學生由平面向量基本定理入手， 探究出空間三個不共線向量共面的充要 條件． 理解新知 →→ → 提出問題 1：空間三點 A 、B、C 共線， O 為直線外一點，若 OA ＝ xOB ＋ yOC，則 x＋ y ＝？ → → → 反之，空間四點 A 、B 、C、O，若滿足 OA＝ xOB ＋ yOC，且 x＋y＝ 1，能否得到 A 、B 、 C 三點共線？ 活動設(shè)計：學生自由發(fā)

12、言，說出自己解決問題的思路，教師進行補充． 活動成果：思路分析： A、B、C 共線 → → AB ∥AC ，利用向量共線的定理解決． → → →→ 解： ∵A 、 B、 C 三點共線， ∴ AB ∥ AC .∴ 存在唯一確定的實數(shù) λ使得 AB ＝λAC ， → →→ → → 1 → λ → 即 OB－OA ＝ λ(OC－ OA )．∴ OA ＝－ OB＋ λ－ 1 OC. λ－ 1 ∴ x＝－ 1 ， y＝ λ .∴ x＋ y＝ 1. λ－ 1

13、λ－1 → → → ，且 x＋y＝ 1， 反之 ∵OA ＝ xOB ＋yOC → → → → →→ → ∴ OA ＝ xOB ＋ (1－ x)OC ，即 OA － OC＝ x(OB －OC)． → → ∴ CA ＝ xCB . → → 三點共線． ∴CA∥CB .∴A 、B、C A 、B 、C 三點共線的充要條件是對于空間任一點 → → O，都存在 x＋ y＝ 1，使得 OA＝ xOB

14、＋ → yOC. 設(shè)計意圖： 指導學生將點共線和向量共線進行轉(zhuǎn)化， 培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的思想， 深化對向量 共線定理的理解． 提出問題 2：已知空間任一點 O 和不共線三點 A 、 B、 C，滿足向量關(guān)系式 → → OP＝xOA ＋ → → yOB ＋ zOC(其中 x＋y＋ z＝ 1)的點 P 與 A、 B、 C 是否共面？ 活動設(shè)計：教師指導學生根據(jù)問題 1 解決的方案思考四點共面應(yīng)該如何向向量關(guān)系轉(zhuǎn)化；學生自己在練習本上解決，不能解決的小組討論解決． 活動

15、成果： 1．P、A 、B、C 四點共面 → → → 向量 PA、 PB、 PC共面． 2．P、A、B、C 四點共面的充要條件是對于空間任一點 → O，都存在 x＋ y＋ z＝ 1，使得 OP → → → ＝xOA ＋ yOB ＋zOC. 設(shè)計意圖：指導學生將點共面和向量共面進行轉(zhuǎn)化，深化對向量共面定理的理解． 運用新知 如圖，已知平行四邊形 ABCD ，過平面 AC 外一點 O 作射線 OA ， OB ， OC，OD，在 四條射線上分別取點 E，F(xiàn)，G，H ，并且使 OAOE＝OBO

16、F＝ OGOC ＝ODOH＝ k，求證： E，F(xiàn)，G，H 四點共面． → → → 思路分析： 欲證 E， F， G，H 四點共面，只需證明 EH， EF，EG共面． 證明： 因為 OAOE ＝OBOF ＝ OGOC ＝OHOD＝ k， → → → → → → → → 所以 OE＝ kOA ， OF＝ kOB ， OG ＝ kOC， OH ＝ kOD . 由于四邊形 ABCD 是平行四邊形，所以 → → →

17、 AC ＝AB ＋AD . → → → → → → → → 因此 EG＝ OG－ OE＝ k(OC －OA )＝ kAC ＝ k(AB ＋ AD ) → → → → → → → → → → ＝ k(OB － OA ＋ OD － OA )＝ OF－ OE＋ OH－OE＝ EF＋EH . 由向量共面的充要條件知 E， F， G，H 四點共面． 點評： 解決四點共面問題要等價轉(zhuǎn)化成向量共面問題． 鞏固練習 已知 E， F， G， H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB ， BC ， CD ，DA 的中

18、點，證明： E， F，G， H 四點共面． 證明： ∵ E， F， G， H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB ， BC ， CD， DA 的中點， → → → ∴ EH＝ FG＝ 1BD . 2 → → → → → ∴ EG＝ EF＋ FG＝ EF＋ EH . ∴ E， F， G， H 四點共面． 變練演編 如圖，在四棱

19、錐 P— ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形， AC 、 BD 相交于點 O， E、F、 G、 H 分別是邊 PA、 PB、 PC、 PD 的中點． → (1)在圖中找出與向量 PA共線的一個向量； → → (2)在圖中找出與向量 OA ， PB共面的一個向量． → → → → 答案： (1)OG ，GO (2)AH ， CH 達標檢測

20、 1．下列命題中正確的是 ( ) A ．若向量 a 與非零向量 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 共線 B．向量 a， b， c 共面，即它們所在的直線共面 C．單位向量的模為 1 且共線 D．若 a∥ b，則存在唯一的實數(shù) λ，使 a＝ λb →→ → 2．空間四邊形 ABCD 中， M ，G 分別是 BC，CD 的中點，則 MG － AB ＋ AD 等于 () 3 → → →

21、 → A. 2DB B．3MG C． 3GM D ． 2MG 3．下列條件中，使 M 與 A，B，C 一定共面的是 ( ) →→→→ →1→1→ 1 → A.OM ＝ 2OA － OB －OC B.OM ＝ OA ＋ OB＋ 2 OC 5 3 → → → →→ → → C.MA ＋ MB＋ MC＝0 D.OM ＋OA＋OB＋OC＝ 0 4．有四個命題： ①若 p＝ xa＋ yb，則 p 與 a、 b 共面； ②若 p 與 a、 b 共面，則 p

22、＝ xa＋ yb； → → → ③若 MN ＝ xMA ＋ yMB ，則 M 、 N、A 、 B 共面； →→ → ④若 M 、N 、A 、 B 共面，則 MN ＝ xMA ＋ yMB . 其中真命題的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B． 2 C． 3 D ． 4 答案： 1.A 2.B 3.C 4.B 課堂小結(jié) 1．知識收獲：空間向量的數(shù)乘運算法則和運算律；空間向量共線定理及其推論；空間 向量共面定理． 2．方法收獲： 類比方法、數(shù)形結(jié)合方法． 3．思維收獲：類比思想、

23、轉(zhuǎn)化思想． 布置作業(yè) 課本本節(jié)練習 2,3 題；補充練習． 補充練習 基礎(chǔ)練習 → → → 1．在四面體 O— ABC 中， OA ＝ a， OB＝b， OC＝ c，D 為 BC 的中點， E 為 AD 的中 → 點，則 OE＝ ________.( 用 a，b， c 表示 ) a b |≠ 0，且 a，b

24、 不共線時， a＋b 與 a－ b 的關(guān)系是 ( ) 2．當 | |＝| A ．共面 B．不共面 C．共線 D ．無法確定 3．已知兩個向量 1 2 → ＝e1 2 → ＝ 2e1 2→ ＝ 3e1 2 e ， e 不共線，如果 AB ＋e ， AC ＋ 8e ， AD － 3e ，則 A ， B， C， D 四點的位置關(guān)系是 ________． 1 1 1 2.A 3.共面 答案： 1. a＋ b＋ c

25、 2 4 4 拓展練習 1．數(shù)列 {a } 為等差數(shù)列， S 為其前 n 項和，空間三點 A 、B 、C 共線， O 為直線外一點， n n →→ → 且OA ＝ a1OB ＋ a101OC，則 S101＝ ________. 2．已知點 M 在平面 ABC 內(nèi)，并且對空間任一點 →→ → → O，OM ＝ xOA ＋ 1OB ＋ 1OC，則 x 的 3 3 值為 ________． 答案

26、： 1.101 2.1 2 3 設(shè)計說明 本節(jié)課介紹了空間向量的數(shù)乘運算的意義以及空間向量的共線定理和共面定理． 空間向 量的數(shù)乘運算由平面向量的數(shù)乘運算類比得到， 在平行六面體中驗證． 空間向量的共線定理由數(shù)乘運算的意義中發(fā)現(xiàn)，并經(jīng)過學生證明．空間向量共面定理由平面向量基本定理發(fā)現(xiàn)， 并結(jié)合共線定理由學生進行證明． 在理解新知環(huán)節(jié)， 重點設(shè)計問題加深對共線定理和共面定理的理解，得到三點共線和四點共面的充要條件． 本節(jié)課突出教師的主導作用和學生的主體地位， 在教師所提問題的引導下， 學生自主完成探究新知和理解新知的過程， 在運

27、用新知時進行變練演編， 加深學生對知識的理解和問題轉(zhuǎn)化的能力． 備課資料 1 如圖，在平行六面體 ABCD — A ′B ′ C′ D′中， E， F， G 分別是 A ′ D′， D′ D， D′ C′的中點，請選擇恰當?shù)幕紫蛄孔C明： EG∥ AC. → → 思路分析： 要證明 EG∥ AC ，只需證 EG∥ AC . → uuuur →1 → 1 → 證明： ∵EG＝ ED '＋

28、 D′ G＝ AD ＋ AB ， 2 2 → → → → ， ∴EG∥ AC. AC ＝ AB ＋AD ＝ 2EG 2 已知向量 e1， e2 不共線， a＝e1＋ e2 ，b＝ 3e1－ 2e2， c＝ 2e1＋ 3e2，證明：向量 a， b， c 共面． 思路分析： 要證明向量 a， b， c 共面，只需證 a＝ mb＋ nc. 證明： 設(shè) a＝ mb＋ nc，則 e1＋ e2＝ m(3e1－ 2e2)＋ n(2e1＋3e2)． 即 e1＋ e2＝ (3m＋ 2n)e1＋ (3n－ 2m)e2. 3m＋2n＝ 1， m＝ 1 ， 13 ∴ 解得 5 3n－ 2m＝ 1， n＝ 13. 1 5 ∴ a＝13b＋ 13c. ∴ 向量 a， b， c 共面． (設(shè)計者：殷賀 )